Cho mình hỏi $AB^2+CD^2$ có bằng $\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{CD}^2$

Về phía ngoài tam giác $ABC$, ta dựng các tam giác đồng dạng $XBC,YCA,ZAB$. Chứng minh rằng các tam giác $ABC,XYZ$ có cùng trọng tâm

Cách khác:
Gọi $C'$ là điểm đối xứng với $C$ qua $A$ 

Ta có $AC=AF=AC'$ ; $AE=AB$ .

Lại có $\widehat{C'AB}=180^{\circ}-\widehat{BAC}$ và $\widehat{EAF}=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}$

Suy ra $\Delta BAC'=\Delta EAF$

Bởi vì các cạnh tương ứng của hai tam giác này đôi một vuông góc nhau ( tự kiểm tra) nên hiển nhiên $BC'$ cũng vuông $EF$ ,nhưng $AI$ song song $BC'$ nên ta có đpcm 

Cho mình hỏi thêm làm sao bạn biết cách vẽ tia đối thế, ngày mai mình nộp bài tập này cho cô dạy thêm nhưng lỡ cô hỏi làm sao mình nghĩ ra cách vẽ, mình không biết chắc mình chết quá 

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của các đường chéo $AC,BD$. Chứng minh rằng $I,E,F$ thẳng hàng

Cho tam giác $ABC$. Trên các cạnh $AB,AC$, dựng ra phía ngoài các tam giác $ABE$,$ACF$ vuông cân tại $A$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh rằng $AI$ vuông góc $EF$

Cho mình hỏi làm sao bạn có ý tưởng vẽ ra bức hình thứ hai hay quá vậy?

Cho tứ giác $ABCD$ có $AD=BC$. Về phía ngoài tứ giác ta dựng hai tam giác $ADE,BCF$ sao cho $\Delta ADE=\Delta BCF$. Chứng minh rằng trung điểm của các đaọn $AB,CD,EF$ cùng thuộc một đường thẳng

$pt(1)+\dfrac{1}{2}pt(2)=4x^2+3x-\frac{57}{25}+3xy+y+\frac{1}{2}(x^2+y^2-\frac{1}{5})=\frac{1}{50}(15x+5y-7)(15x+5y+17)=0$

$..$

cho mình hỏi làm sao bạn biết lấy $pt(2)+\dfrac{1}{2}pt(1)$ vậy

Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^4+c^4}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^4+a^4}{1+ac}}\geq 3$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=\frac{1}{5} & & \\ 4x^2+3x-\frac{57}{25}=-y(3x+1) & & \end{matrix}\right.$

Bổ sung thêm $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$ nhé 

Xét các khả năng sau :
a) Nếu $p$ là số nguyên tố chẵn $\Rightarrow p=2$

Thì tất cả các số có dạng $2^n-n$ với $n=2k,k\in \mathbb{N},k\geq 1$ đều chia hết cho số nguyên tố $p=2$

b) Nếu số nguyên tố $p$ lẻ .Theo định lý Fermat ta có :

                                    $2^{p-1}\equiv 1(mod p)$

                               $\Rightarrow 2^{k(p-1)}\equiv 1(mod p )$ 

      Nếu                          $k\equiv -1(mod p)$

  Thì ta có:                 $2^{k(p-1)}+k\equiv 0( mod p)$

                                $\Rightarrow 2^{k(p-1)}-k(p-1)\equiv (mod p)$

   Do đó ta có: 

                               $2^n-n\vdots p$     , $p$ là số nguyên tố lẻ

                         với  $n=k(p-1)=$$(mp-1)(p-1)$ , m là số tự nhiên   .Đpcm

xin lỗi vì đã làm phiền bạn nhưng bạn chỉ mình chỗ này được không mình chưa hiểu

Bổ sung thêm $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$ nhé 

Xét các khả năng sau :
a) Nếu $p$ là số nguyên tố chẵn $\Rightarrow p=2$

Thì tất cả các số có dạng $2^n-n$ với $n=2k,k\in \mathbb{N},k\geq 1$ đều chia hết cho số nguyên tố $p=2$

b) Nếu số nguyên tố $p$ lẻ .Theo định lý Fermat ta có :

                                    $2^{p-1}\equiv 1(mod p)$

                               $\Rightarrow 2^{k(p-1)}\equiv 1(mod p )$ 

      Nếu                          $k\equiv -1(mod p)$

  Thì ta có:                 $2^{k(p-1)}+k\equiv 0( mod p)$

                                $\Rightarrow 2^{k(p-1)}-k(p-1)\equiv (mod p)$

   Do đó ta có: 

                               $2^n-n\vdots p$     , $p$ là số nguyên tố lẻ

                         với  $n=k(p-1)=(mp-1)(p-1)$ , m là số tự nhiên   .Đpcm

mình chưa hiểu chỗ suy ra này

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ ,luôn tồn tại vô hạn số tự nhiên $n$ sao cho $2^n-n$ $\vdots$ $p$

đầu tiên ta thấy hệ độc lập theo biến x,y và bậc của chúng giảm dần từ mũ 3 xuống mũ 0 nên ta có ý tưởng là lấy pt(1)+k.pt(2) sao cho sau khi chuyển vế ta được như trên . Thật ra để tìm k thì khá dài dòng (theo chuẩn mực ) còn đây là cách làm riêng của mình . thấy 35=2^3+3^3 nên hằng số là 2 và 3 .           

bạn chỉ luôn cho mình cách tìm $k$ được không? hoặc nói tên của phương pháp tìm k cũng được

lấy $PT(1)-3PT(2)$  ta được $(x-2)^3=(y+3)^3\Rightarrow x=y+5$

he he tới đây là OK rồi .

cho mình hỏi sao bạn biết cách lấy phương trình (1) trừ ba lần phương trình (3) vậy

ta có a²b²+b²c²+c²a²$\geq$$a^2b^2c^2$ do đó $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 1$

đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ do đó$x^2+y^2+z^2=1$

và P=$\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{y^2+x^2}$=$\frac{x^4}{x(y^2+z^2)}+\frac{y^4}{y(z^2+x^2)}+\frac{z^4}{z(x^4+y^4)}$

ta có $x(y^2+z^2)=$$\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x^2}.\sqrt{y^2+z^2}.\sqrt{y^2+z^2}$$\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{\frac{(2x^2+2y^2+2z^2)^3}{27}}\geq \frac{2}{\sqrt{27}}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}$

chứng minh tương tự suy ra $x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)\leq \frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}$ nên P$\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

cho mình hỏi cách tách như trên có sử dụng phương pháp nào không hay dùng tư duy để tách vậy

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2b^2c^2$. Tìm GTNN của $A=\frac{a^2b^2}{c^3(a^2+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2+a^2)}$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^3-y^3=35 & & \\ 2x^2+3y^2=4x-9y & & \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

a) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$

b) $\frac{5b^2-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^2-b^3}{cb+3c^2}+\frac{5a^2-c^3}{ac+3a^2}\leq a+b+c$

Giải phương trình $\sqrt{1-x^2}+\sqrt[4]{x^2+x-1}+\sqrt[6]{1-x}-1=0$

đk $x^2\geq 2y+1\rightarrow x^2>2y\Leftrightarrow x=y$

thế vào ta có 

$2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2$

$2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{(x-2)^3+6(x^2-2x-1)}\geq \sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2$

$\Leftrightarrow vt\geq vp$

dấu = xảy ra khi $x^2-2x-1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y=1+\sqrt{2}\\ x=y=1-\sqrt{2} \end{bmatrix}$

 

Bất đẳng thức gì vậy bạn

Tìm tập hợp các điểm $M$ trong mỗi trường hợp sau

a) $\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=\left | \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right |$

b) $\left | 5\overrightarrow{MA}-7\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |=\left | \overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right |$

xét pt(1)

$\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}-2y)=0$

đến đây dễ rồi

mình cũng làm tới khúc đó nhưng thế $x=y$ hay $x^2=2y$ vào phương trình 2 thì không làm tiếp được bạn làm giúp mình với

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^3+2y^2=x^2y+2xy & & \\ 2\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=x-2 & & \end{matrix}\right.$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ

mình chưa hiểu chỗ này, đề đâu có cho đâu bạn