Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

Chuẩn hóa này được sử dụng khi nhé

bất đẳng thức đồng bậc là gì vậy 

Trong mấy sách toán mình hay gặp mấy từ ''không mất tính tổng quát chuẩn hóa'' hay ''chuẩn hóa cho $a+b+c=3$'' .Không biết đó là gì nữa bạn nào giải thích dùm mình với

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}y^3=9x^2-27x+27 & & \\ z^3=9y^2-27y+27 & & \\ x^3=9z^2-27z+27 & & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình $x^3+2=5\sqrt[3]{5x-2}$

 $1$$-\frac{a}{a+1}$+$2$$-\frac{2b}{2+b}+$$3$$-\frac{3c}{3+c} \geq \frac{36}{7}$

hay quá! sau bạn nghĩ ra được phải thêm bớt các số này vậy

$\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{2+b}+\frac{3c}{3+c}\leq \frac{6}{7}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{4}{2+b}+\frac{9}{3+c}\geq \frac{36}{7}(*)$

Thật vậy : $VT(*)\geq \frac{(1+2+3)^{2}}{1+2+3+a+b+c}=\frac{36}{7}$

Nên BĐT được chứng minh

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{6} & & \\ b=\frac{1}{3} & & \\ c=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.$

mình chưa hiểu sao lại có tương đương chỗ này

Chữa đề 2:

Câu 2. a)

Đặt: $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a}{b^{3}}\\ y=\frac{b}{c^{3}}\\ z=\frac{c}{a^{3}} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=\frac{b^{3}}{a}\\ \frac{1}{y}=\frac{b^{3}}{c}\\ \frac{1}{z}=\frac{a^{3}}{b} \end{matrix}\right.$

Khi đó: $abc=1$ nên $xyz=1$ (1)

Từ đề bài suy ra: $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \Rightarrow x+y+z=yz+xz+xy$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $xyz+(x+y+z)-(xy+yz+xz)-1=0$$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=0$$ \Rightarrow Q.E.D$

sao bạn biết cách thêm bớt chỗ này thế!Chỉ mình với

Cho ba số thực khác không $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}xyz=1 & & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z & & \end{matrix}\right.$.Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn $1$

Cho $xy>1$ và $x>y$. Chứng minh $\frac{x^2+y^2}{x-y}\geq 2\sqrt{2}$

Em giải luôn cho hoàn chỉnh nhé

Ta có 

$a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$$\Leftrightarrow (a^{5}-a^{3}b^{2})+(b^{5}-a^{2}b^{3})\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$ (luôn đúng)

Thay vào BDT đã cho ta có

$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq \sum \frac{ab}{a^{2}b^{2}(a+b)+ab}=\sum$$\frac{1}{ab(a+b+c)}$

=$\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$ (đpcm)

bạn votruc ơi sao bạn biết bất đẳng thức này mà thay vào thế! chỉ mình từng bước tìm được $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$ đi

Bạn chứng minh $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$ rồi thay vào BĐT là được

Mình làm mẫu 1 cái nhé: $\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{a^2b+ab^2+1}=\frac{c}{a+b+c}$

bạn Hoang Nhat Tuan ơi chỉ mình cách chứng minh chỗ này với

Cho các số thực dương $a,b,c$ sau cho $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq 1$

em chưa học phương pháp chọn điểm rơi sao làm được những dạng thế này được 

bạn có tài liệu nào về phương pháp chọn điểm rơi không cho mình mượn,mình cũng mới học BDT thôi

Ta có : $16ab(a-b)^2=$$4.4ab.(a^2-2ab+b^2)$$\leq (4ab+a^2-2ab+b^2)^2=(a+b)^4$

Làm sao bạn biết tách chỗ này thế

bạn hướng dẫn kĩ hơn chút được không

AM-GM:

 

Ta có:$ab+\frac{1}{ab}=$$ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}$$\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$

làm sao bạn biết tách chỗ này thế ,chỉ mình với

Cho $a,b>0$ và $a+b\leq 1$. Chứng minh rằng $ab+\frac{1}{ab}\geq \frac{17}{4}$

 

Có thể làm theo cách của bạn Hướng

Mình thì làm theo cách này, nó cũng tương tự nhau thôi

Giải

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có 

$a^2b=4.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.b$$\leq 4.\begin{pmatrix} \frac{\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+b}{3} \end{pmatrix}^3=\frac{4(a+b)^3}{27}\leq \frac{4}{27}$

Bạn tách hợp lí để có thể sử dụng giả thiết là được 

 

làm sao bạn biết tách ở chỗ này thế

sử dụng phương pháp cân bằng hệ số đó em

phương pháp cân bằng hệ số là gì vậy bạn chỉ mình với

$1\geq$$2.\frac{a}{2}+b$$\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a^2b}{4}}\Rightarrow a^2b\leqslant \frac{4}{27}$

Cho mình hỏi từ đâu mà bạn suy nghĩ được là phải nhân 2 chỗ này vậy 

Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a+b\leq 1$.Chứng minh $a^2b\leq \frac{4}{27}$

$a\overrightarrow{IA}+(b+c)\overrightarrow{IA'}=\overrightarrow{0}$

tới chỗ này rồi sau nữa bạn

Cho đường tròn $(I)$ nội tiếp $\Delta ABC$; $a,b,c$ lần lượt là các cạnh $BC,AC,AB$.Chứng minh $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Giải

Ta có $BM=\frac{BM}{BC}.BC$ mà $BM, BC$ cùng hướng

 

Cho mình hỏi thêm giả sử nếu $BM, BC$ ngược hướng thì $BM=\frac{BM}{BC}.BC\Leftrightarrow \overrightarrow{BM}=-\frac{BM}{BC}\overrightarrow{BC}$ phải không?