Ta có: $x+y+z=1 \Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$
Ta có: $\sum \frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}\leq \frac{7}{2} (*)$
Biến đổi tương đương có:
$\Leftrightarrow 2xz(x^{3}z-1)+2xy(y^{3}x-1)+2yz(z^{3}y-1)+2\sum x^{2}(x^{2}-1)-\sum x^{2}y^{2}-7x^{2}y^{2}z^{2}\leq 0$ (Đúng)
Dấu $(=) xảy ra \Leftrightarrow x=y=0;z=1$ và các hoán vị