Bài 1: a) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện  $a^{2}+a=2b^{2}+b$. Chứng minh rằng a-b và a+b+1 đều là các số chính phương        

Giải: Ta có $a^{2}+a=2b^{2}+b\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}+a-b=b^{2}\Rightarrow (a-b)(a+b+1)=b^{2}$

Tích của hai số là một số chính phương nên hai số a - b và a + b + 1 là các số chính phương

Tích 2 số là 1 số chính phương chưa suy ra được 2 số đó chính phương đâu.

Gọi d là ước nguyên tố chung của a-b và a+b+1.

$\left\{\begin{matrix} a-b\vdots d & \\ a+b+1\vdots d & \\ b^{2}\vdots d & \end{matrix}\right.$ mà d nguyên tố

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d & \\ a+b+1\vdots d & \\ a\vdots d & \end{matrix}\right. \Rightarrow 1\vdots d$

=> không có d  thỏa mãn

=> a-b và a+b+1 nguyên tố cùng nhau

=> đpcm

Bạn giải thích rõ hơn được không

 ^^

bạn cần giải thích chỗ nào

Cho đường tròn (O;R), 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi E là điểm bất kì trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M. Nối EB cắt OD tại N.

 a)Chứng minh:tích $\frac{OM}{AM}.\frac{ON}{DN}$ là một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng $\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{DN}$ ?

b) Gọi GH là dây cung cố định của (O) đã cho và GH không phải là đường kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác định vị trí của K để chu vi tam giác GHK max

Bạn làm tốt chứ.Mình thấy có mấy bài Đại số lạ đó...

Mà bài 2: b, 2 nghiệm nguyên dương hay dương thui bạn. Nếu là nguyên thì giống đề

TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂNG KHIẾU TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2012- 2013

 kí hiệu $\sum \prod$  mình chưa lần nào viết, gần đây vào diễn đàn thấy viết thế tiết kiệm nhiều TG nhưng ko biết đi thi tỉnh được viết ko các bạn????

 

ĐỀ THI HSG TOÁN 9, THANH HÓA NĂM HỌC 2014-2015

Ngày thi: 25/03/2015

 

 

Bài 2:    b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2x^{2}y^{2} & \\ (x+y)(1+xy)=4x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.$

 

Từ PT (1)=> $(x+y)^2=2xy(xy+1)$                  (3)

Từ PT (2)=> $(x+y)^{2}(1+xy)^{2}=16xy^{4}$  (4)

Từ (3) và (4): $2xy(xy+1)^{3}=16xy^{4}$

+)xét xy=0=>x=y=0

+)xét xy khác 0 => $2(xy+1)^{3}=16xy^{3}$ => tìm được xy.Đến đây bạn tự giải được rồi nhé!

 

Ai làm Bài 3 b) đi. Ngồi trong phòng thi cày mãi mà chẳng ra.  Hu..hu    ...  ....

 

ĐỀ THI HSG TOÁN 9, THANH HÓA NĂM HỌC 2014-2015

Ngày thi: 25/03/2015

Bài 3:  b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại m là số tự nhiên thỏa mãn $\frac{pq}{p+q}=\frac{m^{2}+1}{m+1}$
 

Từ đề bài ta có: pq(m+1)=(p+q)$(m^{2}+1)$ (*)

+)xét p=q . Cái này bạn tự làm nhé!!!

+)xét p khác q: => $p+q$ không chia hết cho p, không chia hết cho q.Từ (*) => $(m^{2}+1)\vdots pq$ (1)

                       -)với m=0 : ta suy ra p=q=2

                       -)với m=1:  p=q=2

                       -)với $m\geq 2$ => $m+1< m^{2}+1$ .Do đó từ (*) suy ra: $pq\vdots m^{2}+1$               (2)

                    Từ (1) và (2) suy ra: $pq=m^{2}+1\Rightarrow p+q=m+1\Rightarrow (p-q)^{2}=-3m^{2}+2m-3$ (vô nghiệm)

$Neu 'm 'le thi sao$

ý bạn là ở trường hợp nào

Chắc là quy nạp ấy ???

mình biết là dạng đó rùi nhưng vẫn ko hiểu

Câu 5:
Đặt $x=u+v+1\Rightarrow x+1=u+v+1=(u+1)(v+1)$
Suy ra:cộng mỗi dãy số trên với 1 thì sau mỗi lần thực hiện xóa đi hai số u+1 và v+1 thì ta viết lên dãy (u+1)(v+1)
Nếu lúc đầu dãy số có u,v,a,b,c... thì sau đó có dãy số x,a,b,c...(xóa u,v và thay bằng x)
Vì (u+1)(v+1)(a+1)(b+1)(c+1)...=(x+1)(a+1)(b+1)(c+1)....
Lúc này tích các số trên dãy số sau mỗi lần thực hiện xóa và thay số là không đổi . Tức là giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy . Vậy, nếu cuối cùng còn số k thì$k+1=\left ( \frac{1}{1}+1 \right )\left ( \frac{1}{2}+1 \right )...\left ( \frac{1}{2015}+1 \right )=2016\Rightarrow k=2015$ 
Suy ra k = 2015. Vậy số cuối cùng đó là 2015.

cảm ơn bạn nhé mình hiểu r.Nhưng chỗ đầu bạn viết nhầm : Đặt $x=u+v+uv \Rightarrow x+1=(u+1)(v+1)$

Câu 3/b

$PT\Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)=(2y-1)^2\Rightarrow (x^2+1;x+1)=1\Rightarrow x^2+1=a^2$.

 

Câu 5/

QN.

Với $n=3$ thì $3$.

Ta có: $1;\frac{1}{2};...;\frac{1}{j}\Rightarrow j$.

CM: $1;\frac{1}{2};...;\frac{1}{{j+1}}\Rightarrow j+1$.

Thật vậy: $LHS=j+\frac{1}{j+1}+\frac{j}{j+1}=j+1=RHS$.

Vậy với $2015$ số thì $2015$ là đáp án cần tìm.

p/s: Key thực sự rứt đẹp.

Lòng như MT

  mình chưa hiểu lắm.Bạn có thể giải rõ hơn được ko??? Mà LHS và RHS là gì vậy

Một hình chữ nhật và một hình vuông có chu vi bằng nhau nhưng diện tích hình chữ nhật kém diện tích hình vuông 49 cm². Đường chéo của hình chữ nhật dài 26cm. Vậy, diện tích hình chữ nhật bằng bao nhiêu cm2.

Gọi chiều dài hcn là x, chiều rộng là y (x>y>0), cạnh hình vuông là a(a>0).

Theo đề bài ta suy ra: x+y=2a                                            

                                   xy + 49 = $a^{2}$                                (1)

                              => xy + 49 = $\left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}$

                               $\Leftrightarrow 4xy+49=x^{2}+2xy+y^{2} \Leftrightarrow \left ( x-y \right )^{2}=14^{2} \Leftrightarrow x-y=14 (x>y)$

Ta có hệ: x+y=2a

               x-y=14

           <=> x= a+7 ; y=a-7.Thay vào (1) tìm được a rồi tinh x,y.đến đây chắc bạn tự làm được r

Ta có $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Và $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{3}\Rightarrow A\leq \sqrt{\frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq 1$

Do đó GTLN của A là 1

Mặt khác ta đặt $x=a^{2};y=b^{2};z=c^{2}\Rightarrow x,y,z\in [1;4]\Rightarrow 3A\geq \frac{2(x+y+z)+xy+yz+zx}{5(x+y+z)-12}=f(x,y,z)$

Dễ dàng chứng minh được $f(x,y,z)\geq min\left \{ f(1,y,z),f(4,y,z) \right \}\geq min\left \{ f(1,4,z),f(1,1,z),f(4,1,z) \right \}\geq \frac{7}{8}$

bđt đầu và chỗ 3A>= ... đó biến đổi kiểu gì hay vậy bạn???

Với n là số nguyên dương, gọi $a_{3n-3}$ là hệ số của $x^{3n-3}$ trong khai triển thành đa thức của $(x+1)^{n}.(x+2)^{n}$ . Tìm n . Xin các bạn giải dùm cám ơn trước.

Đặt $P(x)=(x+1)^{n}.(x+2)^n=(x^2+3x+2)^n$ => lũy thừa bậc cao nhất của P(x) là 2n.

Kết hợp đề bài ta suy ra $2n\geq 3n-3\Rightarrow$ n=1 hoặc n=2 hoặc n=3.

Mình thấy cách làm của mình chưa cần dùng đến hệ số a. Bạn tham khảo và chỉnh sửa nhé

Bạn có thể giải cụ thể hơn được không?. Vì theo mình biết bài toán này chi có 1 đáp số duy nhất. Nhưng dù sao thì mình cũng cám ơn bạn nhiều.

bạn muốn mình giải cụ thể chỗ nào???

Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích bằng 54cm². Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm.
Khi đó độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông dài hơn trên cạnh huyền là bao nhiêu cm
((((((((((((((((((((((((((((((((Nhập kết quả dưới dạng số thập phân gọn nhất.))))))))))))

Gọi cạnh góc vuông dài là a(a>0)

Ta có: $\frac{a(a-3)}{2}=54\Rightarrow a^{2}-3a-108=0\Rightarrow a=12(a>0)$

=> cạnh góc vuông nhỏ là 9 cm, cạnh huyền bằng 15

=>độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông dài hơn trên cạnh huyền là : $\frac{12^{2}}{15}=9,6$cm

=>

Mọi người cùng mình làm đề này nhé

tài liệu bổ ích. mọi người nên xem(có đề thi chuyên ĐHSP 2013-2014):http://docs.vietnamd...gchuyen2013.pdf

Cái tài liệu này hay thật!!!

Câu 1 : (2,5 điểm)

1, Các số thực  a,b,c đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức :

• (a+b)(b+c)(c+a)=abc
• $(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=a^{3}b^{3}c^{3}$

Chứng minh rằng abc=0

2, Các số thực dương a,b thỏa mãn ab>2013a+2014b. Chứng minh bất đẳng thức :

                     $a+b> (\sqrt{2013}+\sqrt{2014})^{2}$

Câu 2 : (2 điểm)

Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ (a;b) thỏa mãn hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-2y^{3}=x+4y & \\ 6x^{2}-19xy+15y^{2}=1 & \end{matrix}\right.$

Câu 3 : (1 điểm)

Câu 5 : (1 điểm)

Giải các pt

1,$x=(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{x+10}-4)$

2.$\frac{6x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{1-x}}=3+\sqrt{x-x^{2}}$

3,$\sqrt{4x^{2}+5x+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+7}=3$

4,$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}=8$

5,$3(x^{2}+4x+5)=10\sqrt{x^{3}+5x^{2}+9x+6}$

3) ĐKXĐ:$x\geq \frac{-1}{4} V x\leq -1$ Nhân liên hợp ta được:

$\frac{6}{\sqrt{4x^{2}+5x+7}-\sqrt{4x^{2}+5x+1}}=3\Rightarrow \sqrt{4x^{2}+5x+7}-\sqrt{4x^{2}+5x+1}=2$

Kết hợp pt đầu là bạn làm được rồi

Giải các pt

1,$x=(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{x+10}-4)$

2.$\frac{6x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{1-x}}=3+\sqrt{x-x^{2}}$

3,$\sqrt{4x^{2}+5x+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+7}=3$

4,$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}=8$

5,$3(x^{2}+4x+5)=10\sqrt{x^{3}+5x^{2}+9x+6}$

5)ĐKXĐ:x>=-2

PT<=>$3(x^{2}+4x+5)=10\sqrt{(x+2)(x^{2}+3x+3)}$

đặt $a=\sqrt{x+2};b=\sqrt{x^{2}+3x+3}$.Ta có pt mới:

$3(a^{2}+b^{2})=10ab\Leftrightarrow (a-\frac{b}{3})(a-3b)=0$

Đến đây bạn tự giải nhé ))

Giả sử $x^{2}\geq y^{2}\geq z^{2}\geq 0$$\Rightarrow x^{6}\geq y^{6}\geq z^{6}$

Từ (3)=>$2z^{2010}\geq x^{6}+z^6=2y^{2010}\Rightarrow z^2\geq y^2$

Tương tự $y^{2}\geq x^{2}\Rightarrow x^{2}\geq y^{2}\geq z^{2}\geq y^{2}\geq x^{2}\Rightarrow x^{2}=y^{2}=z^{2}$

Đến đây dễ dàng rùi bạn tự giải nhé )

Cho a, b, c là các số nguyên dương t/m điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$

CMR: $\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{8}{a^{2}+28}$

giải phương trình đã cho ra nghiệm chỉ có a=b=c=2 thỏa mãn => thay vô bđt

Bài 1: Cho 3 số a,b,c$\geq 1$ Tìm max của P=$\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abc+1}$

Bài 2: Cho các số x,y,z dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}\leq \sqrt{\left ( x+y+z \right )^{3}}$

hay. đánh giá theo kiểu này đỡ hơn tí xíu $x^{6}+64+64\geq 3.16.x^2\geq 6x^3(\frac{1+5-x^2}{2})\geq 6y^3(3+\sqrt{5-x^2})$

bđt thứ 2 từ đâu suy ra đó bạn???