Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $n^2+3$ chia hết cho $\phi(n)$, trong đó $\phi(n)$ là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$ (Hàm phi Euler)

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $4n!-4n+1$ là số chính phương

Cho $a,b$ là các số nguyên dương thoả mãn: $54^a=a^b$. Chứng minh rằng: $a$ là một luỹ thừa của $54$

 

Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $I$ và $K$ thứ tự là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và$AC$. Đặt $AB=c;AC=b$

a/ tính $AI$,$AK$ theo b,c

b/ chứng minh rằng: $\frac{BI}{CK}=\frac{c^3}{b^3}$

 

Lời giải:  

 

a) Áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$. Ta có: $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2c^2}$

 

Nên từ đây ta suy ra được: $AH^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\implies AH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}$

 

Tiếp tục, áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{AHB}$, ta có: $AH^2=AI.AB\implies AI=\frac{AH^2}{AB}=\frac{\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}}{c}=\frac{b^2c}{b^2+c^2}$

 

Tương tự, áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{AHC}$, ta có: $AH^2=AK.AC\implies AK=\frac{AH^2}{AC}=\frac{\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}}{b}=\frac{bc^2}{b^2+c^2}$

 

b)

Ta có: $BI = AB-AI = c -\frac{b^2c}{b^2+c^2} = \frac{c(b^2+c^2)-b^2c}{b^2+c^2}=\frac{c^3}{b^2+c^2} $

 

và : $CK = AC-AK = b -\frac{bc^2}{b^2+c^2} = \frac{b(b^2+c^2)-bc^2}{b^2+c^2}=\frac{b^3}{b^2+c^2} $

 

Nên từ đây ta suy ra được $\frac{BI}{CK}=\frac{\frac{c^3}{b^2+c^2}}{\frac{b^3}{b^2+c^2} } = \frac{c^3}{b^2+c^2} . \frac{b^2+c^2}{b^3}=\frac{c^3}{b^3}$

 

Vậy ta có điều phải chứng minh !

mình muốn biết làm cách nào để xác định được khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách từ đường này tới đường kia ạ

Mình thấy trang này cũng có lý thuyết và bài tập đầy đủ, bạn xem thử nhé

Link: https://toanmath.com...manh-tuong.html

Chứng minh rằng phương trình: $3y^2=x^4+x$ không có nghiệm nguyên dương

cho $3$ số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2(a+b+c)$. Tìm $GTLN$ của

$Q=\frac{a-1}{a^{2}+4b}+\frac{b-1}{b^{2}+4c}+\frac{c-1}{c^{2}+4a}$

Bạn kiểm tra lại đề bài thử nhé, cụ thể xét các bộ số $(a,b,c)=(0.5,-0.062500...001,c)$ với $c$ thoả mãn phương trình: $a^2+b^2+c^2=2(a+b+c)$

Lần lượt thay $b$ bằng các số : $-0.062501,0.0625001,..$ thì ta thấy $Q$ càng tiến đến vô cùng.

Do đó không tồn tại giá trị lớn nhất của biểu thức $Q$

Cho các số nguyên dương $k,m,n$ thoả mãn: $m^2+n=k^2+k$. Chứng minh rằng: $m\le n$

Cho điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R). vẽ cát tuyến KAB đến đường tròn O sao cho A nằm giữa K và B,d là trung trực của d .H là hình chiếu vuông góc của O trên d, I là trung điểm OK. tính IH theo R.

Bạn ơi, xem lại đề nhé ! "d là đường trung trực của d" là sao nhỉ ? 

Cho các số thực khác 0 thoả mãn $a,b,c$ phân biệt từng đôi một và $a+b+c=0$. Chứng minh rằng: $(\frac{a}{b-c})+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ thoả mãn $2$ điều kiện sau:

1) $m,n$ nguyên tố cùng nhau và $m\le 2007$

2) Với số $k$ bất kì thuộc tập hợp $1,2,...,2007$ ta luôn có: $[\frac{nk}{m}]=[\sqrt{2}k]$

Ps: Bạn nào rãnh thì có thể gõ latex giúp mình với nhé, thanks ạ

[IMO 1989] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số nguyên tố.

Bài 44: cho tam giác ABCD và O là tâm đường tròn ngoại tiếp.
tìm M thuộc mặt phẳng để (MA+MB+MC+MO)min

Nguồn: https://diendantoanh...13-bai-cực-trị/.
tìm M thuộc mặt phẳng để (MA+MB+MC+MO)min

Bài 45: Cho tam giác ABC , D thuộc BC
CMR: $AB^2.CD + AC^2.BD+ AD^2.BC = CD.BD.BC$

Nguồn: https://diendantoanh...giup-em-thanks/

Bài 46: CMR : Trong một tứ giác toàn phần , đường tròn ngoại tiếp 4 tam giác đồng quy. (Điểm Miquel)

Nguồn: https://diendantoanh...22406-hinh-học/

 

(Còn cập nhật)

Mình xin trình bày lời giải bài này như sau:

Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1\implies \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Do đó: $S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{k}}$

Từ đây, bắt đầu tính toán $S_{m+n}+S_{m-n}$ và $S_m.S_n$, thu được kết quả như sau:

+ $S_{m+n}.S_{m-n} =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (I)$

 

+ $S_m.S_n =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (II)$

 

Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh

Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(a,b)$ thoả mãn: $ab-1$ là ước của $a^2+1$

Xin chào mọi người ạ, mình lập topic này để tổng hợp lại các bài toán THCS chưa có lời giải trên diễn đàn để mọi người mình cùng trao đổi ạ mong mọi người nhiệt tình ủng hộ ạ

 

 

Bài 1: Cho hình lục giác $ABCDEF$ có các cặp cạnh đối song song. Phía ngoài dựng các tam giác đều trên mỗi cạnh. CMR:Tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều tạo thành 1 hình lục giác có các cặp cạnh đối song song.

Nguồn: https://diendantoanh...nh-ly-napoleon/

 

Bài 2: Cho hình vuông cạnh 50. Một đường gấp khúc nằm trong miền hình vuông thỏa mãn điều kiện mọi điểm trong hình vuông đều có khoảng cách đến đường gấp khúc nhỏ hơn hoặc bằng 1. CMR độ dài đường gấp khúc lớn hơn 1248

Nguồn: https://diendantoanh...inh-học-tổ-hợp/

 

Bài 3: Cho tứ giác ABCD, M la một điểm trên CD( khác C,D). CMR:  MA+MB<max {CA+CB;DA+DB}

Nguồn: https://diendantoanh...16099-giup-voi/

 

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A , góc $BAC=45^0$. nội niếp đường tròn $(O;R)$. Tia $AO$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại $D$ khác A. Lấy diểmM trên cung nhỏ AB( M khác A, B).Dây MD cắt dây BC tại I.Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME= MB. Đường tròn tâm D bán kính DC cắt MC tại điểm thứ hai K.
1. Chứng minh rằng:
a)BE song song với DM.
b) Tứ giác DCKI nội tiếp.
2. Không dùng máy tính hoặc bảng lượng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác ACD quay 1 vòng quay cạnh AC sinh ra.

Nguồn: https://diendantoanh...ang-xom-ơi-cứu/

 

Bài 5: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn và có các cặp cạnh đối song song. Chứng minh rằng tổng 3 cặp cạnh đối của lục giác bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa 3 cặp cạnh đối của lục giác bằng nhau

Nguồn: https://diendantoanh...ay-về-lục-giac/

 

Bài 6: Cho $ABC$ vuông tại $A$ nội tiếp $(O)$ ,$M$ cung $BC$ không chứa $A$ . Xác định vị trí của $M$ để $MA+MB+MC$ max

Nguồn: https://diendantoanh...ic/16000-begin/

 

Bài 7: Cho hình bình hành $ABCD$ cố định.Tìm trong mặt phẳng tập hợp các diểm $M$ sao cho: $MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$ không đổi

Nguồn : https://diendantoanh...699-một-bai-dễ/

Bài 8: Cho ngũ giác lồi $ABCDE$. $BE$ cắt $AD,AC$ ở $M,N$ . $CE$ cắt $AD,BD$ ở $R,Q$. $AC$ cắt $BD$ ở $P$ .Biết diện tích các tam giác $AMN,BNP,CPQ,DRQ,EMR$ bằng 1.Tính diện tích $MNPQR$

Nguồn: https://diendantoanh...ưng-cung-ko-dễ/

 

Bài 9: Cho $(O)$ đường kính $AB$, trên cung $AB$ lấy $C,D$ sao cho cung $AD$ lớn hơn cung $AC$.Trên cung $AB$ còn lại lấy điểm $E$ , CE AD tại I,OI EB tại K. CMR : $KD$ vuông góc với $CD$

Nguồn: https://diendantoanh...-hinh-hinh-hoc/

 

Bài 10: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn $(O)$ qua B và C cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Một đường tròn (T) tiếp xúc với AE, AF và tiếp xúc vói cung EF của đưởn tròn (T) tại M (tiếp xúc ngoài). Chứng minh phân giác góc BMC đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Nguồn: https://diendantoanh...-cho-mấy-be-ne/

 

Bài 11: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh là $a$. Trên 2 cạnh $CD$ và $DA$ lấy lần lượt $2$ điểm $E, F$
sao cho $EF=1$. Chứng minh rằng $EA+EB+EC+ED \ge \sqrt{2}+1$

Nguồn: https://diendantoanh...-nghen-anh-chị/

 

Bài 12: CMR:
a) Mọi đa giác lồi với S=1 đều có thể đặt đc vào 1 hbh có S=2
b) Tồn tại tam giác với S=1 không đặt đc vào bất kì hbh nào có S<2

Nguồn: https://diendantoanh...9-dố-mọi-người/

 

Bài 13: Cho hai đường tròn (O)và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B dây CD của đường tòn (O) tiếp xúc với (O’)tại M .Tia AM cắt (0) tại N. CMR:  đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD tiếp xúc với DN

Nguồn: https://diendantoanh...9-ha-nội-93-94/

 

Bài 14: Cho tam giác ABC có A = 30 độ và C=60 độ. Xác định vị trí các điển M,N,P trên các cạn tam giác sao cho tam giác MNP đều và đạt chu vi nhỏ nhất.

Nguồn: https://diendantoanh...9-ha-nội-93-94/

 

Bài 15: Cho tam giác ABC, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp.
BD, CE phân giác trong. Tồn tại M trên BC sao cho tam giác MDE đều.
CMR:  AH = AO

Nguồn: https://diendantoanh...bai-thi-hd-nữa/

 

Bài 16: Cho góc xOy và một điểm M nằm trên cạnh Oy (M khác O ) Tìm điểm I trên Oy sao cho (I;IM) tiếp xúc với đường thẳng chứa tia Ox

Nguồn: https://diendantoanh...-9-ha-nội-9293/

 

Bài 17: Cho tứ giác ABCD trong đó chu vi tam giác ABD lớn hơn chu vi tam giác CDB Hỏi có thể tìm được hay không một điểm M sao cho MC > MA + MB + MD không tạo sao ?

Nguồn: https://diendantoanh...-9-ha-nội-9293/

 

Bài 18: Có một pháo đài hình tam giác ABC có các trạm gác là A, I, K, B, L, M, C, N, P sao cho I, K thuộc AB và AI = IK = KB; L, M thuộc BC và BL = LM = MC; N, P thuộc CA và CN = NP = PA. Qua thời gian, pháo đài và các trạm gác hầu như bị hủy hoại, chỉ còn các trạm gác I, L, N. Hãy dựng lại các trạm gác còn lại.

Nguồn: https://diendantoanh...-lại-dựng-hinh/

 

Bài 19: Ngày xưa có một tòa thành có dạng là một tam giác ABC. Người ta xây 9 trạm gác trên ba cạnh AB, BC, CA như sau : Trên AB là 4 trạm A, I, K, B sao cho AI = IK = KB. Trên BC là 4 trạm gác B, L, M, C sao cho BL = LM = MC. Trên CA là 4 trạm gác C, N, P, A sao cho CN = NP = PA. Qua thời gian các trạm gác và tòa thành dần bị hủy hoại, chỉ còn các trạm I, L, N. Hãy dựng các trạm gác còn lại.

Nguồn: https://diendantoanh...-lại-dựng-hinh/

 

Bài 20: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp=1, chu vi ABC =16.Tính 3 cạnh?

Nguồn: https://diendantoanh.../topic/18592--/

 

Bài 21: Cho hình bình hành ABCD. Vẽ 2 tam giác đều BE và EDF ra ngoài hình bình hành. Gọi M,I,K là các trung điểm của DB,AF,AE. Tính góc IMK

Nguồn: https://diendantoanh...bai-lớp-8-thoi/

 

Bài 22: Cho tam giác ABC ,góc A> 90 độ, AH BC . Dựng AD AB , AD=AB ; AE AC , AE=AC. Lấy M thuộc ED sao cho MD=ME.
a, AM= ? (dễ thui)
b, CM: A,H,M thẳng hàng
(cách lớp 7 thì càng tốt)

Nguồn: https://diendantoanh...iản-như-dan-rổ/

 

Bài 23: Cho tam giác ABC bất kỳ.1 đường thẳng l cắt các cạnh AC,BC tương ứng tại E,F
CMR:đường thẳng l đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC $\frac{BC.AE}{CE}+\frac{AC.BF}{CF} = AB$

Nguồn: https://diendantoanh...ột-bai-kha-hay/

 

Bài 24: Cho hv ABCD.AB=a.
M,N là TĐ AB,AD.
DM cắt AC tại I
NI cắt MC tại K
DK cắt NC tại R
Tính RC

Nguồn: https://diendantoanh...pic/18777-tinh/

 

Bài 25: Cho tứ giác ABCD, kẻ 2 đường thẳng song song với AC 1 đường cắt AB và BC lần lượt tại G và H,đường kia thì cắt CD và AD lần lượt tại E và F cm BD,GE và FH đồng quy

Nguồn: https://diendantoanh...-menalaus-seva/

 

Bài 26: Trên mp có 2 đg thg a,b vuông góc với nhau tại O,
A là một điểm ko nằm trên 2 đg thg đó.
Một góc vuông xAy có 2 cạnh Ax,Ay cắt a,b tại B,C.
Gọi M là điểm đối xứng của A qua BC.
Tìm quỹ tích của M khi góc A quay quanh đỉnh A

Nguồn: https://diendantoanh...0194-bai-hay-2/

 

Bài 27: Cho tam giác ABC, vẽ ra ngoài hai tam giác ABE,ACF vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: MA vuông góc với EF

Nguồn: https://diendantoanh.../topic/19598--/

 

Bài 28: Cho tam giác ABC, vẽ ra ngoài 3 tam giác đều ABE,ACF,BCK. Gọi G là trọng tâm tam giác BCK. Chứng minh rằng GA vuông góc với EF

Nguồn: https://diendantoanh.../topic/19598--/

 

Bài 29: Cho tam giac ABC. Tìm góc A sao cho: phân giác góc A đồng quy tại D với qua B vaC biết góc CBD=1/3 góc CBA va BCD=1/3 góc ACB

Nguồn: https://diendantoanh...lam-ho-tui-nhe/

 

Bài 30: Cho tam giác ABC với A1,B1,C1 bất kì thuộc ba cạnh tương ứng
A2,B2,C2 lần lượt là trung điểm của  AA1,BB1,CC1
CMR: S(A1B1C1)=4S(A2B2C2)

Nguồn: https://diendantoanh...94-lại-bai-nữa/

 

Bài 31: cho đt (O) và 2 đường kính AB,CD không vuông góc.M,N lần lượt thuộc CO,DO sao cho OM=ON.AM và AN cắt đường tròn (O) lần lượt tại E,F. EFgiao với CD tại I. tìm quĩ tích I

Nguồn: https://diendantoanh...-bai-kho-1-day/

 

Bài 32: cho goc xoy co dinh.A la diem di dong tren Ox,B di dong tren Oy sao cho AB=m(khong doi).Chung to trung diem I cua AB di dong tren 1 duong co dinh.

Nguồn: https://diendantoanh...p-quy-tich-day/

 

Bài 33: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi K là trung điểm đường cao. Giả sử D là tiếp điểm của (I) với BC. Đặt N là giao của DK và (I).
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc với (I) tại N

Nguồn: https://diendantoanh...4-một-bai-toan/

 

Bài 34: Cho hình vuông ABCD cạnh a.M là 1 điểm di động trên AC.ME,MF vuông góc với AD,DC.
C/m:a,BM vuông góc với EF
b,S của BDEF kô đổi với M di động trênAC
c,Xác định M sao choS của tam giác BEF nhỏ nhất

Nguồn: https://diendantoanh.../21633-kho-lắm/

 

Bài 35: Cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài nó. Hai đường tròn (O) và (O') cùng đi qua A và tiếp xúc d tai B, C tương ứng .Biết góc BAC = 90 độ, CMR :
a) (O) và (O') tiếp xúc nhau tại A
b) trung tuyến AM của tam giác ABC là tiếp tuyến chung của (O) và(O') tại A

Nguồn: https://diendantoanh...ễn-thanh-hoang/

 

Bài 36: Cho tam giác ABC co AD, BE, CF là ba đường phân giác, I là tâm đường tròn nội tiếp. CMR : Tam giác ABC cân tại A nếu hai đường tròn nội tiếp trong hai tam giác sau là bằng nhau :
a) IAF và IAE
b) IBF và ICF
c) IBD và ICD

Nguồn: https://diendantoanh...ng9imariecurie/

 

Bài 37: Cho tam giác ABC đều có cạnh là a . Một đường thẳng qua trực tâm G cắt lần lượt BC,AC,AB tại P,Q,R với điểm P ở ngoài tam giác với PC>PB. Chứng mình rằng: 1/GQ = 1/GR+1/GP

Nguồn: https://diendantoanh...3-tam-giac-deu/

 

Bài 38: cho t/giác đều ABC,1 điểm H trong đó .HBC=40o,HCB=35o tính BAH

Nguồn: https://diendantoanh...opic/21378-hay/

 

Bài 39: Cho CH và CM là các đường cao và trung tuyến trong tam giác không tù ABC. Phân giác gócABC cắt CH và CM lần lượt tại P và Q, biết rằng:  góc ABP= góc PBQ = góc QBC
CMR:
a/Tam giác ABC vuông
b/ BP=2CH

Nguồn: https://diendantoanh...pic/21377-giải/

 

Bài 40: Cho đường tròn (O) , có BC là một dây bất kì ;Một điểm A di động trên đường tròn.H là trực tâm của tam giác ABC . Xác định A sao cho (HA+HB+HC) max

Nguồn: https://diendantoanh...uen-qen-day-ma/

 

Bài 41: tam giác ABC. M bất kì thuộc đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm vị trí M để MA^2+MB^2+MC^2 đạt max, min

Nguồn: https://diendantoanh...-lam-dc-ko-nhỉ/

 

Bài 42: Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB CD. E chuyển động trên đường tròn, trên OE lấy M sao cho OM bằng tổng khoảng cách từ E đến các đường thẳng AB và CD.Tìm quỹ tích M.

Nguồn: https://diendantoanh...64-thử-ti-thoi/

 

Bài 43: Cho lục giác ABCDEF. Các điểm M,N,P,Q,R,S lần lượt di chuyển trên các cạnh AB,BC,CD,DE,EF,FA sao cho:

AM/AB = BN/BC = CP/CD = DQ/DE = ER/EF = FS/FS.

CMR: Chứng minh rằng trọng tâm hai tam giác MPR và NQS luôn đối xứng nhau qua một điểm cố định

Nguồn: https://diendantoanh...9-dung-kt-thcs/

(Còn cập nhật)

✨Ps: Bài nào được giải mình sẽ tô màu đen đậm để nhận diện ạ

Chứng minh rằng với một số nguyên dương $k$ bất kì, luôn tồn tại một số nguyên dương $n$ thoả mãn: $2^{k} $ là ước của $3^n+5$

Mình xin đề xuất bài tương tự:

Bài 1.1: Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn: $p^4+p^3+p^2+p=q^2+q$

Cho hình chữ nhật $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABM$. Biết: $\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{-a^2}{9}$.

Giá trị của $x$ là bao nhiêu? 

Hình chữ nhật hay và hình vuông vậy bạn ? 

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn: $1+p+p^2+p^3+p^4$ là số chính phương