Chứng minh rằng với một số nguyên dương $k$ bất kì, luôn tồn tại một số nguyên dương $n$ thoả mãn: $2^{k} $ là ước của $3^n+5$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn $p^2-3p+7$ và $p^2-7p+17$ đều là số nguyên tố

Mình xin trình bày lời giải bài này như sau:

Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1\implies \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Do đó: $S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{k}}$

Từ đây, bắt đầu tính toán $S_{m+n}+S_{m-n}$ và $S_m.S_n$, thu được kết quả như sau:

+ $S_{m+n}.S_{m-n} =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (I)$

+ $S_m.S_n =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (II)$

Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh

Bài 5: Lời giải:

Điều kiện xác định: $x\ge \frac{2}{3}$

Ta có: $\sqrt{x}+\sqrt{3x-2} = x^2+1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

 $\sqrt{x}\le \frac{x+1}{2}(1)$

 $\sqrt{3x-2}\le \frac{3x-2+1}{2}(2)$

Cộng (1) và $(2)$ vế theo vế ta được: $\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}\le 2x$

Hay $x^2+1\le 2x \iff (x-1)^2\le 0$

Mặt khác: $(x-1)^2\ge 0$ nên từ đây ta suy ra được: $(x-1)^2=0$ hay $x=1$

Thử lại thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là $x=1$

Mình xin đóng góp hình đề 1 ạ

Mình xin đăng đề thứ 2 ạ:

Mình xin tiếp tục đề số 4:

💦Mình xin chào tất cả toàn thể anh(em) trong diễn đàn ạ, chỉ còn vài tuần nữa thôi là khắp các tỉnh thành sẽ diễn ra kì thi THPT vào lớp 10, nên hôm nay mình quyết định lập một TOPIC được mang tên: "ÔN THI VÀO LỚP 10 (2024-2025)" nhằm giúp cho mọi người có thể giao lưu, học hỏi lẫn nhau, nhằm củng cố lại những kiến thức đã học, cũng như phát triển thêm khả năng tư duy những bài toán khó hơn ở các dạng toán khác nhau, hy vọng được mọi người đón nhận và ủng hộ ạ.

💦Nội quy của topic:

* Mọi người có thể đăng những đề hoặc bài toán hoặc vấn đề mà mình đang vướng để mọi người có thể trao đổi và giải đáp

* Tuyệt đối không đăng các bài nhằm mục đích gây rối hoặc spam

* Mọi người cố gắng viết các công thức toán học bằng công cụ Latex

* Đối với lời giải các bài hình học, thì các bạn cố gắng đăng hình kèm theo để mọi người tiện theo dõi ạ

✨Cuối cùng, mình xin chúc mọi người sức khoẻ và đạt được kết quả tốt nhất trong kì thi sắp tới ạ !!!

🎶Mình xin bắt đầu với ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TOÁN 9 - TRƯỜNG THCS PHÚ LA - QUẬN HÀ ĐÔNG (2022-2023)

Nguồn: FB

Mình xin đăng tiếp đề số 3

Mình xin đề xuất bài tương tự:

Bài 1.1: Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn: $p^4+p^3+p^2+p=q^2+q$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn: $1+p+p^2+p^3+p^4$ là số chính phương

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ thoả mãn $2$ điều kiện sau:

1) $m,n$ nguyên tố cùng nhau và $m\le 2007$

2) Với số $k$ bất kì thuộc tập hợp $1,2,...,2007$ ta luôn có: $[\frac{nk}{m}]=[\sqrt{2}k]$

Cho các số thực khác 0 thoả mãn $a,b,c$ phân biệt từng đôi một và $a+b+c=0$. Chứng minh rằng: $(\frac{a}{b-c})+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$

Cho các số nguyên dương $k,m,n$ thoả mãn: $m^2+n=k^2+k$. Chứng minh rằng: $m\le n$

cho $3$ số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2(a+b+c)$. Tìm $GTLN$ của

$Q=\frac{a-1}{a^{2}+4b}+\frac{b-1}{b^{2}+4c}+\frac{c-1}{c^{2}+4a}$

Bạn kiểm tra lại đề bài thử nhé, cụ thể xét các bộ số $(a,b,c)=(0.5,-0.062500...001,c)$ với $c$ thoả mãn phương trình: $a^2+b^2+c^2=2(a+b+c)$

Lần lượt thay $b$ bằng các số : $-0.062501,0.0625001,..$ thì ta thấy $Q$ càng tiến đến vô cùng.

Do đó không tồn tại giá trị lớn nhất của biểu thức $Q$

Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(a,b)$ thoả mãn: $ab-1$ là ước của $a^2+1$

Cho điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R). vẽ cát tuyến KAB đến đường tròn O sao cho A nằm giữa K và B,d là trung trực của d .H là hình chiếu vuông góc của O trên d, I là trung điểm OK. tính IH theo R.

Bạn ơi, xem lại đề nhé ! "d là đường trung trực của d" là sao nhỉ ? 

Chứng minh rằng phương trình: $3y^2=x^4+x$ không có nghiệm nguyên dương

Cho hình chữ nhật $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABM$. Biết: $\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{-a^2}{9}$.

Giá trị của $x$ là bao nhiêu? 

Hình chữ nhật hay và hình vuông vậy bạn ? 

Ta giải tổng quát với $p_A, p_B$ lần lượt là xác suất $A,B$ tung ra mặt ngửa.

Gọi $X_n$ là biến cố "trò chơi dừng lại ở lượt tung xu thứ $n$". Ta sẽ tính $P(X_n)$.

TH1: Nếu $n$ lẻ (tức là A thắng). Đặt $n=2k+1$ thì để đạt trạng thái này, $A,B$ phải thay phiên nhau tung ra mặt sấp $k$ lần, và lần $2k+1$ A tung ra mặt ngửa. Vì thế

\[P(X_{2k+1}) = {p_A}{\left( {1 - {p_A}} \right)^k}{\left( {1 - {p_B}} \right)^k}\]

TH2: Nếu $n$ chẵn (tức là B thắng). Đặt $n=2k$. Trạng thái này chỉ xảy ra khi $A,B$ thay phiên nhau tung ra mặt sắp $k-1$ lần, rồi $A$ tung mặt sấp và cuối cùng $B$ tung mặt ngửa. Do đó:

\[P(X_{2k}) = {\left( {1 - {p_A}} \right)^k}{\left( {1 - {p_B}} \right)^{k - 1}}{p_B}\]

Do đó, kỳ vọng $A$ thắng (biến cố $Y_A$) là:

\[\mathbb{E} \left( {{Y_A}} \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {P\left( {{X_{2k + 1}}} \right)}  = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{p_A}{{\left( {1 - {p_A}} \right)}^k}{{\left( {1 - {p_B}} \right)}^k}}  = {p_A}\frac{1}{{1 - \left( {1 - {p_A}} \right)\left( {1 - {p_B}} \right)}} = \frac{{{p_A}}}{{{p_A} + {p_B} - {p_A}{p_B}}}\]

 

Phần còn lại là thế số $p_A=\frac{1}{3}$ và $p_B=\frac{2}{5}$, ta có $\mathbb{E} \left( {{Y_A}} \right) = \frac{5}{9}$

Bài giải hay anh ! Anh cho em hỏi cái đoạn $\sum\limits_{k = 0}^\infty {{p_A}{{\left( {1 - {p_A}} \right)}^k}{{\left( {1 - {p_B}} \right)}^k}} = {p_A}\frac{1}{{1 - \left( {1 - {p_A}} \right)\left( {1 - {p_B}} \right)}}$ có phải anh dùng hàm sinh: $\sum\limits_{k=0}^{+\infty}x^{k}=1+x+x^2+...=\frac{1}{1-x}$ trong đó $x=(1-p_A)(1-p_B)$ đúng không ạ ? 

Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $I$ và $K$ thứ tự là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và$AC$. Đặt $AB=c;AC=b$

a/ tính $AI$,$AK$ theo b,c

b/ chứng minh rằng: $\frac{BI}{CK}=\frac{c^3}{b^3}$

Lời giải:  

a) Áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$. Ta có: $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2c^2}$

Nên từ đây ta suy ra được: $AH^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\implies AH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}$

Tiếp tục, áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{AHB}$, ta có: $AH^2=AI.AB\implies AI=\frac{AH^2}{AB}=\frac{\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}}{c}=\frac{b^2c}{b^2+c^2}$

Tương tự, áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{AHC}$, ta có: $AH^2=AK.AC\implies AK=\frac{AH^2}{AC}=\frac{\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}}{b}=\frac{bc^2}{b^2+c^2}$

b)

Ta có: $BI = AB-AI = c -\frac{b^2c}{b^2+c^2} = \frac{c(b^2+c^2)-b^2c}{b^2+c^2}=\frac{c^3}{b^2+c^2} $

và : $CK = AC-AK = b -\frac{bc^2}{b^2+c^2} = \frac{b(b^2+c^2)-bc^2}{b^2+c^2}=\frac{b^3}{b^2+c^2} $

Nên từ đây ta suy ra được $\frac{BI}{CK}=\frac{\frac{c^3}{b^2+c^2}}{\frac{b^3}{b^2+c^2} } = \frac{c^3}{b^2+c^2} . \frac{b^2+c^2}{b^3}=\frac{c^3}{b^3}$

Vậy ta có điều phải chứng minh !

mình muốn biết làm cách nào để xác định được khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách từ đường này tới đường kia ạ

Mình thấy trang này cũng có lý thuyết và bài tập đầy đủ, bạn xem thử nhé

Link: https://toanmath.com...manh-tuong.html

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $n^2+3$ chia hết cho $\phi(n)$, trong đó $\phi(n)$ là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$ (Hàm phi Euler)

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $4n!-4n+1$ là số chính phương

Cho $a,b$ là các số nguyên dương thoả mãn: $54^a=a^b$. Chứng minh rằng: $a$ là một luỹ thừa của $54$