cách này ngắn gọn
Nhok Tung nội dung
Có 219 mục bởi Nhok Tung (Tìm giới hạn từ 07-06-2020)
#561357 Xác định $a,b$ để hệ có nghiệm duy nhất
Đã gửi bởi Nhok Tung on 24-05-2015 - 18:31 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
#618073 Tìm Min: $A=\frac{a^{2}}{1+b}+\f...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 02-03-2016 - 20:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ dương thoả $abc=1$. Tìm $Min$ của $A=\frac{a^{2}}{1+b}+\frac{b^{2}}{1+c}+\frac{c^{2}}{1+a}.$
$A\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3+a+b+c}$
Đặt a + b+c = t, $t\geq 3$
$\frac{t^{2}}{3+t}\geq \frac{3t-3}{4}\Leftrightarrow (t-3)^{2}\geq 0 \Rightarrow A\geq \frac{3.3-3}{4}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1
#572978 Tìm min của $B=(1-\frac{1}{x^{2}})(1-...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 16-07-2015 - 10:02 trong Bất đẳng thức và cực trị
có ở đây : http://diendantoanho...c1y2geqslant-9/
#630425 Tìm Max của $P=x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 30-04-2016 - 21:51 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng BĐT AM-GM :
$x^{2}y\leq \frac{x^{4}+y^{2}}{2}$
=> $\sum x^{2}(y+z)\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3+\sqrt{3\sum x^{4}}=6$
Vậy max P = 6 và đạt được khi x=y=z=1
#672856 Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 26-02-2017 - 16:23 trong Bất đẳng thức và cực trị
Sao chứng minh được chỗ chữ đỏ vậy?
BĐT Bunyakovsky đó ạ
#672030 Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 18-02-2017 - 22:58 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z=3
Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$
$\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}=\frac{x\sqrt{y+2}}{\sqrt{(x^{2}+y+z^{2})(1+y+1)}}\leq \frac{x\sqrt{y+2}}{x+y+z}$
Do đó $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}\leq \frac{\sum x\sqrt{y+2}}{x+y+z} =\frac{\sum x\sqrt{y+2}}{3}$
Ta chứng minh $\sum x\sqrt{y+2}\leq 3\sqrt{3}$ (*)
Ta có $x\sqrt{y+2}=\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{y+2}\sqrt{3}\leq \frac{xy+5x}{2\sqrt{3}}$ (Theo BĐT AM-GM)
Cộng vế theo vế, kết hợp với $\sum xy\leq \frac{\sum x}{3}=3$ suy ra (*) được chứng minh
Từ đó suy ra $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$ $\leq \sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
#560325 tìm max $M=(a+b+c+3)\begin{pmatrix} \frac{1...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 19-05-2015 - 14:36 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cách này phải biết được M $\leq$ 10
#570738 Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: $x^3+2x^2+(m-5)x-2m-6=...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 09-07-2015 - 15:19 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
PT $\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}+4x+3+m)=0$
PT có 3 nghiệm phân biệt <=> PT $x^{2}+4x+3+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2
#570763 Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: $x^3+2x^2+(m-5)x-2m-6=...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 09-07-2015 - 16:22 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Đặt y=x-2 => x = y+2. thay vào ta có pt $y^{2}+8y+15+m=0$ (*)
Ta phải có pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
hay $\Delta '>0\Leftrightarrow m<1$ và 15+m $\neq -15$
Vậy m < 1 và m khác -15
#673263 Tìm lim Sn
Đã gửi bởi Nhok Tung on 02-03-2017 - 20:45 trong Dãy số - Giới hạn
Cho $S_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )$
Tìm lim Sn
#592732 Tìm GTNN, GTLN của $P=x^{2}-xy+2y^{2}$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 08-10-2015 - 16:58 trong Bất đẳng thức và cực trị
1. Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+2y^{2}-2xy=1$
Tìm GTNN, GTLN của $P=\frac{1+xy-y^{2}}{1+3xy-y^{2}}$
2. Cho x,y $\epsilon$ R sao cho $x^{2}+xy+y^{2}\leq 3$
Tìm GTNN, GTLN của $P=x^{2}-xy+2y^{2}$
#556701 Tìm GTNN và GTLN của : P= $x^{4}y+xy^{4}+x^{3...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 28-04-2015 - 07:49 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y không âm thỏa mãn x+y=4. Tìm GTNN và GTLN của : P= $x^{4}y+xy^{4}+x^{3}+y^{3}-5(x^{2}+y^{2})+14x^{2}y^{2}-58xy+6$
#560176 Tìm GTNN và GTLN của : A=$a^{2}-2a-b$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 18-05-2015 - 16:21 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này dễ sai lầm
#560162 Tìm GTNN và GTLN của : A=$a^{2}-2a-b$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 18-05-2015 - 15:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b $\geq$ 0 và 2a+3b$\leq 6$ ; 2a+b$\leq$ 4. Tìm GTNN và GTLN của :
A=$a^{2}-2a-b$
#557452 Tìm GTNN của: P=$a^{2}+b^{2}+c^{2}$.
Đã gửi bởi Nhok Tung on 02-05-2015 - 11:36 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}-1=abc$, Tìm GTNN của: P=$a^{2}+b^{2}+c^{2}$.
#556354 Tìm GTNN của M=x+y
Đã gửi bởi Nhok Tung on 26-04-2015 - 09:20 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn :
$x^{3}+y^{3}-3xy(x^{2}+y^{2})+4x^{2}y^{2}(x+y)-4x^{3}y^{3}=0$
Tìm GTNN của M=x+y
#610953 Tìm GTNN của biểu thức A = $\frac{3}{1-x}+...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 25-01-2016 - 20:14 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tìm GTNN của biểu thức A = $\frac{3}{1-x}+\frac{4}{x}$ với 0 < x <1
Do 0 < x < 1 nên có 1 -x > 0, x > 0. Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có :
$A=\frac{3}{1-x}+\frac{4}{x}\geq \frac{(\sqrt{3}+2)^{2}}{1-x+x}=7+4\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra <=> $\frac{\sqrt{3}}{1-x}=\frac{2}{x}\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}+2}$
KL : ...
#571386 Tìm GTNN của $P=\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 11-07-2015 - 12:39 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tìm GTNN của $P=\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x^{2}-x+1}$
#564250 Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 07-06-2015 - 21:49 trong Bất đẳng thức và cực trị
THCS mà, ko được dùng đạo hàm
#563974 Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 06-06-2015 - 18:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=2. Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
#630474 Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a}+\frac{ca...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 01-05-2016 - 07:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}$
đặt $\frac{ab}{c}=x,\frac{bc}{a}=y,\frac{ca}{b}=z$
Ta có xy+yz+xz=1
P = x + y + z $\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$=$\sqrt{3}$
#648882 Tìm GTNN của $P=\frac{b+2c}{1+a}+\frac...
Đã gửi bởi Nhok Tung on 10-08-2016 - 11:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
Lời giải.
Đặt
$$P=\frac{2a}{a^{2}+1}+\frac{2b}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1}=\frac{2\left ( a+b \right )\left ( ab+1 \right )}{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$$\left ( ab+1 \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )$$
$$\Leftrightarrow ab+1\leq \sqrt{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}$$
\begin{align*} \Rightarrow P &\leq \frac{2\left ( a+b \right )}{\sqrt{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \\ &= \frac{2\left ( a+b \right )}{\sqrt{\left ( a^{2}+ab+bc+ca \right )\left ( b^{2}+ab+bc+ca \right )}}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \\ &= \frac{2\left ( a+b \right )}{\left ( a+b \right )\sqrt{\left ( c+a \right )\left ( b+c \right )}}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \\ &= \frac{2}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \end{align*}
Ta sẽ chứng minh $\frac{2}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$.
Đặt $\sqrt{c^{2}+1}=t>0$. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$$\frac{2}{t}+\frac{t^{2}-2}{t^{2}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \left ( t-2 \right )^{2}\geq 0$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=2-\sqrt{3}$, $c=\sqrt{3}$.
Chỗ này là căn bậc 2 :v
- Diễn đàn Toán học
- → Nhok Tung nội dung