Bài 2: cho a+b+c = 3

chứng minh  $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{b+ac}}\geq 3$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\prod \frac{a+b}{c+ab}}$

Cần chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)\geq (c+ab)(b+ac)(a+bc)$

Ta có :

$(c+ab)(a+bc)(b+ca)\leq \frac{1}{8}(a+b)(b+c)(c+a)(1+a)(1+b)(1+c) \leq \frac{1}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\frac{1}{27}(1+1+1+a+b+c)^{3}=(a+b)(b+c)(c+a)$

-> đpcm

Bài 1: Cho a,b,c > 0 và ab+bc+ac > 0

Chứng minh: $\sqrt{\frac{1+a^{2}}{b+c}}+\sqrt{\frac{1+b^{2}}{a+c}}+\sqrt{\frac{1+c^{2}}{a+b}}\geq 3$

$\sum \sqrt{\frac{1+a^{2}}{b+c}}\geq 3\sqrt[6]{\prod \frac{1+a^{2}}{b+c}}$

cần chứng minh $\prod (1+a^{2})\geq \prod (a+b)$

Ta có : $(1+a^{2})(1+b^{2})\geq (a+b)^{2}$

thiết lập tương tự rồi nhân vế theo vế các bđt, ta có đpcm

Ở đây a,b,c >0 thì ab+bc+ca >0 rồi     

Tìm m để phương trình sau có nghiệm $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x^{2}}=m$

Giải phương trình : $\sqrt{2x+3}+2\sqrt{3-x}+6\sqrt{-2x^{2}+3x+9}=20+3x$

Thế giải HPT này thế nào vậy?

sao có a+2b=9

Giải phương trình :

$\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2}+4}+x^{2}-7x+1=0$

Dễ thấy nếu x < 0 thì pt vô nghiệm, xét x > 0 :

PT $\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-2x+4}-(x+1)+\sqrt{5x^{2}+4}-(2x+1)+x^{2}-4x+3=0$

<=> $(x^{2}-4x+3)(\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-2x+4}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{5x^{2}+4}+2x+1}+1)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc x = 3

ĐK x $\geq -1$ 

PT $\Leftrightarrow \sqrt{22(2x+1)^{2}+14(x+1)}=2[2(2x+1)+\sqrt{x+1}]$

Đặt a = 2x+1, b = $\sqrt{x+1}$ ( b$\geq$0)

Ta có : $\sqrt{22a^{2}+14b^{2}}=2(2a+b)$ $\Leftrightarrow 3a^{2}-8ab+5b^{2}=0\Leftrightarrow (a-b)(3a-5b)=0$

Đến đây rõ rồi     

Sorry bạn. Mình nhìn nhầm.

Giải:

ĐK: $x\geq 5$ (chắc quên chỗ nào đó )

pt $\Leftrightarrow 5x^{2}+14x+9=25(x+1)+x^{2}-x-20+10\sqrt{(x+1)(x^{2}-x-20)}$

    $\Leftrightarrow 2x^{2}-5x+2=5\sqrt{(x^{2}-4x-5)(x+4)}$

    $\Leftrightarrow 2(x^{2}-4x-5)+3(x+4)=5\sqrt{(x+4)(x^{2}-4x-5)}$

Nhận thấy $x=-4$ không phải là nghiệm của pt nên chia cả hai vế của pt cho $x+4$ ta được: 

$2\frac{x^{2}-4x-5}{x+4}+3-5\sqrt{\frac{x^{2}-4x-5}{x+4}}=0$

Đến đây thì rõ rồi.

 Đắng lòng quá. Mai kiểm tra văn mà chưa ôn gì

đề là x - 1 mà

Giải phương trình : $\sqrt{5x^{2}-14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x-1}$

ĐK x $\geq$5 chứ

Áp dụng BĐT Bunhiakowsky ta có :

$(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{2}\leq (1+1+1)(2a+2b+2c)=6(a+b+c)=6\Leftrightarrow \sum \sqrt{a+b}\leq \sqrt{6}$

BĐT $\Leftrightarrow ab+bc+2\sqrt{abcd}\leq ab+ad+bc+cd\Leftrightarrow (\sqrt{ad}-\sqrt{cd})^{2}\geq 0$ (đúng)

Giải phương trình : $\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{2x+1}=3$

Giải phương trình : $\sqrt[3]{7x-8}+\sqrt{\frac{7-2x^{2}}{6}}=x$

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2(x-1)}+\sqrt{2(y+1)}=(x-3y)\sqrt{x+y} & & \\ (y+1)\sqrt{3x-y-4}=(2y+1)\sqrt{x+y} & & \end{matrix}\right.$

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

1. Cho $a,b,c\geq 0,a+b+c=3$. Chứng minh :

$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq 4$

2. Cho a,b,c > 0, a+b+c = 3. Chứng minh :

$\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

 Cho a,b,c dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

 

      $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}$.

Ta có $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{3+\sum ab}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$

Cho a,b,c là các số thực dương, chứng minh các BĐT :

1. $\left ( a+\frac{bc}{a} \right )\left ( b+\frac{ca}{b} \right )\left ( c+\frac{ab}{c} \right )\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

2. $(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

3. $\sum \frac{1}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+3b}$

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$

Cho a,b,c > 0, chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{a+b}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

ok. đã fix

Chứng minh bất đẳng thức $\sum \frac{2x^{2}}{2x^{2}+(y+z)^{2}}$\geq$ 1$

sao mình thay x =1, y=2, z =3 được 0,913043... nhỉ