Cho ABC nhọn, chứng minh rằng :

1/ $cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}< 2(sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2})$

2/ $1< \frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}< 2$

Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 3. Chứng minh rằng

$\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{a^{3}+ca}\geq \frac{3}{2}$

bạn đăng bài này rồi mà   

http://diendantoanho...a3cageq-frac32/

Cho $x,y,z>0$. CM

$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

Ta có BĐT quen thuộc $(xy+yz+xz)(x+y+z)\leq \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)$

Do đó $4(xy+yz+xz)\leq \frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$

Ta chứng minh $\frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$ $\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}) \Leftrightarrow 9\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq (x+y+y+z+z+x)(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$ (Luôn đúng theo BĐT AM-GM)

Từ đó suy ra đpcm

Tính $lim(n.\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+n+1}.\sqrt[3]{n^{3}+n})$

$lim(n.\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+n+1}.\sqrt[3]{n^{3}+n})$ 

=$\lim n[\sqrt{n^{2}+n}-(n+\frac{1}{2})]}

-\sqrt[3]{n^{3}+n}[\sqrt{n^{2}+n+1}-(n+\frac{1}{2})]

-(n+\frac{1}{2})(\sqrt[3]{n^{3}+n}-n)$

= $\lim\left [ \frac{-0,25n}{\sqrt{n^{2}+n}+n+0,5}-\frac{0,75\sqrt[3]{n^{3}+n}}{\sqrt{n^{2}+n+1}+n+0,5}-\frac{n^{2}+0,5n}{\sqrt[3]{(n^{3}+n)^{2}}+n\sqrt[3]{n^{3}+n}+n^{2}} \right ]$

= $\frac{-0,25}{2}-\frac{0,75}{2}-\frac{1}{3}=\frac{-5}{6}$

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2(x-1)}+\sqrt{2(y+1)}=(x-3y)\sqrt{x+y} & & \\ (y+1)\sqrt{3x-y-4}=(2y+1)\sqrt{x+y} & & \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của $P=\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn $$x^{3}+y^{3}+xy=x^{2}+y^{2}$$. Tìm GTNN và GTLN của :

P = $$\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}$$

Giải phương trình : $\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{2x+1}=3$

Cho dãy số (U_n) xác định bởi $\left\{\begin{matrix} U_{0}=a, U_{1}=b, 0< a,b < 1& \\ U_{n+2}=\frac{1}{3}U_{n+1}+\frac{2}{3}\sqrt{U_{n}}, n=0,1,2,... & \end{matrix}\right.$

Tìm $lim U_{n}$.

Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa mãn :

$P(x).P(x^{2})=P(x^{3}+3x)$

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện $0<x\leq 2\pi$ ; $0<y\leq 2\pi$

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}+sinx=m & \\ \frac{y}{x}+siny=m & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình $\frac{2x+3}{x^{2}-4}=\sqrt{x+1}$

$x_{1},x_{2},x_{3}$ > 0 là 3 nghiệm của phương trình :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 (a\neq 0)$. Chứng minh $x_{1}^{7}+x_{2}^{7}+x_{3}^{7}\geq -\frac{b^{3}c^{2}}{81a^{5}}$

Giải phương trình :

$4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

1. Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+2y^{2}-2xy=1$

Tìm GTNN, GTLN của $P=\frac{1+xy-y^{2}}{1+3xy-y^{2}}$

2. Cho x,y $\epsilon$ R sao cho $x^{2}+xy+y^{2}\leq 3$

Tìm GTNN, GTLN của $P=x^{2}-xy+2y^{2}$

Cho tam giác ABC có AB=c, CA=b,BC =a và min(A,B,C)= 15⁰. Chứng minh $\sqrt{ab},\sqrt{bc},\sqrt{ca}$ cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác.