Đặt $\sqrt{x^{2}+1}-x=a$ $\sqrt{x^{2}+1}+x=b$

Ta có : $a.b=1$ và $a^{5}+b^{5}=123$

Suy ra : $a^{5}+\frac{1}{a^{5}}=123<=>a^{10}-123a^{5}+1=0$

Đến đây đặt $a^{5}=t$ để giải PT bậc hai ổn rồi

Ra nghiệm to lắm ạ .

Giải PT sau:

($(\sqrt{x^{2}+1} -x)^{5} +(\sqrt{x^{2}+1} +x)^{5}= 123$

 tính S = $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})...(1+\frac{1}{2}+..+\frac{1}{10})$

Chứng minh: 

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc} + \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+ab }+\frac{b^{2}+c^{2}}{bc+c^{2}} + \frac{c^{2}+a^{2}}{ac+ b^{2}}\geq \frac{9}{2}$

MOD : Lần sau chú ý nhé bạn ! (Sẽ phạt nếu tái phạm)

giải PT: 

$\frac{1007x^{4}+x^{4}\sqrt{2x^{2}+2014}+4x^{2}}{1005}=2014$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$

tìm Min: 

$\frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}$ + $\frac{\sqrt{2y^{2}+z^{2}}}{yz} + \frac{\sqrt{2z^{2}+x^{2}}}{xz}$ 

Dùng phương pháp làm trội nhé: 

A=$\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+...+ \frac{1}{n}$ 

2A=$\frac{2}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{2}{n}$

Ta thấy: $\frac{2}{n} < \frac{1}{n}.\frac{1}{n-1}$

Do đó : 2A < $\frac{1}{1}-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n-1} -\frac{1}{n }$

<=> 2A < $1-\frac{1}{n}$

<=> A<  1 

Lại có A>0 nên 0<A<1 

1. Cho $\frac{1}{3}\leq a;b;c \leq 1$ 

Chứng minh: $\frac{1}{2} \leq \frac{a}{1+bc} + \frac{b}{1+ca} + \frac{c}{1+ab}\leq \frac{19}{10}$

2. $x;y;z\geq 0$ thỏa mãn x+y+z=1 

Chứng minh $0\leq xy+xz+yz-2xyz\leq \frac{7}{27}$

Hướng dẫn tổng quát thôi bạn nhé     

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}= \frac{n+1-n}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}).(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})}{(n+1)\sqrt{n}}< \frac{2\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(n+1)\sqrt{n}}= \frac{2}{\sqrt{n}} -\frac{2}{\sqrt{n+1}}$ 

Cho n=1,2,3...n rồi cộng lại là ra thôi . 

chờ a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=1$

tim max $\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}+\frac{1}{1-ab}$

Nhân 4 cả tử mà mẫu lên bạn !

Hướng dẫn dùng các bbđt$(a+b)^{2}\geq 4ab$ , BĐt Cauchy- Schwarz, $2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}$

$\frac{1}{1-ab} = 1+\frac{ab}{1-ab} \leq 1+\frac{ab}{1-\frac{a^{2}+b^{2}}{{2}}}=1+\frac{2ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\leq 1+\frac{ab}{\sqrt{(c^{2}+b^{2})(c^{2}+a^{2})}} \leq 1+\frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{c^{2} +b^{2}}+ \frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}})$ 

Làm thế nhé