1 cách nữa

Nhìn vào đề bài như thế này ta thường hay nghĩ đến cách đổi biến

Với ý tưởng đó, ta đặt $\frac{x}{y}=a, \frac{y}{z}=b, \frac{z}{x}=c$ thì $abc=1$

$$T=\frac{1}{(a^4+1)(b+c)^3}+\frac{1}{(b^4+1)(c+a)^3}+\frac{1}{(c^4+1)(a+b)^3}$$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$$(b+c)^3\geq 8bc\sqrt{bc}=\frac{8}{a\sqrt{a}}\geq \frac{16}{a^2+a}$$

Suy ra

$$16T\leq \frac{a^2+a}{a^4+1}+\frac{b^2+b}{b^4+1}+\frac{c^2+c}{c^4+1}$$

Ta có 

$$\frac{a^2+a}{a^4+1}\leq \frac{3(a^2+a)}{2(a^2+a+1)}\Leftrightarrow (a-1)^2(a+1)(3a^2+4a+3)\geq 0$$ (đúng)

Suy ra 

$$\frac{a^2+a}{a^4+1}+\frac{b^2+b}{b^4+1}+\frac{c^2+c}{c^4+1}\leq \frac{3}{2}\sum \frac{a+1}{a^2+a+1}\leq 3$$

(BĐT quen thuộc:nếu $abc=1$ thì $\sum \frac{a+1}{a^2+a+1}\leq 2$)

Suy ra $T\leq \frac{3}{16}$

1 cách nữa

Nhìn vào đề bài như thế này ta thường hay nghĩ đến cách đổi biến

Với ý tưởng đó, ta đặt $\frac{x}{y}=a, \frac{y}{z}=b, \frac{z}{x}=c$ thì $abc=1$

$$T=\frac{1}{(a^4+1)(b+c)^3}+\frac{1}{(b^4+1)(c+a)^3}+\frac{1}{(c^4+1)(a+b)^3}$$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$$(b+c)^3\geq 8bc\sqrt{bc}=\frac{8}{a\sqrt{a}}\geq \frac{16}{a^2+a}$$

Suy ra

$$16T\leq \frac{a^2+a}{a^4+1}+\frac{b^2+b}{b^4+1}+\frac{c^2+c}{c^4+1}$$

Ta có 

$$\frac{a^2+a}{a^4+1}\leq \frac{3(a^2+a)}{2(a^2+a+1)}\Leftrightarrow (a-1)^2(a+1)(3a^2+4a+3)\geq 0$$ (đúng)

Suy ra 

$$\frac{a^2+a}{a^4+1}+\frac{b^2+b}{b^4+1}+\frac{c^2+c}{c^4+1}\leq \frac{3}{2}\sum \frac{a+1}{a^2+a+1}\leq 3$$

(BĐT quen thuộc:nếu $abc=1$ thì $\sum \frac{a+1}{a^2+a+1}\leq 2$)

Suy ra $T\leq \frac{3}{16}$

cho e hỏi làm sao lại tìm ra được BĐT đó (MÀU ĐỎ )

có vẻ đề câu 13 sai bác ạ

E gõ nhầm đã fix ạ  

Lời giải bài 14 https://diendantoanh...ông-góc-với-hn/

Đây là lời giải của 1 đứa bạn sử dụng tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp đơn thuần, hồi lớp 9 cũng nghĩ lâu phết nhưng không ra bây giờ thử cách khác xem sao.  

Bài 14 không cần trâu bò thế đâu bác, chỉ đơn giản sử dụng kết quả quen thuộc và đường tròn Euler thôi! Tối em up giải giờ có việc rồi           

@@: Bác Hoàng up vài bài nữa đi cho nó sôi nổi nào

đánh liên minh bác ạ mà bài 8 không có cách khác ngoài cách của nhện chúa ạ,

Bài 8 xem trong file mà bác Hoàng đưa thôi! Em không dám giải +    

Bài 13. (Bzasil MO 2017) Cho tam giác $ABC$, trên $AB$ lấy điểm $M$, $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $BM=MN=NC$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt $MN$ tại $P$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AMN$. Chứng minh rằng $PA=PI$.

Bài 14. (Sưu tầm) Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp $(O)$, kẻ ba đường cao $AD, BE, CF$. đồng quy tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $M, N$ ($M$ thuộc cung nhỏ AB, $N$ thuộc cung nhỏ $AC$). Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, $MI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$. Chứng minh rằng $AK$ vuông góc với $HN$.  

Không biết cách vẽ hình nên bác thông cảm

P/s: Bài 5 các bác thử áp dung phép nghịch đảo đx qua điểm $A$ sẽ thu đc bài quen thuộc

P/s: Chiều đánh không hoàng ( @Nhoang1608)

Mấy bác đánh cờ tướng ạ     . Bài 11 em có ghi xác định P, Q mà bác !

Bài 13 có thể giải được bằng hàng điểm. Còn đây là lời giải bài 14!

Bài 14. 

Gọi $S$ là giao điểm của $MN$ là $BC$.  Dễ thấy rằng các tứ giác $BNMC$ và $BFEC$ nội tiếp và bốn điểm $D, I, E, F$ cùng nằm trên đường tròn Euler của tam giác $ABC$.

Ta có rằng: $SD.SI=SE.SF=SB.SC=SM.SN$ nên bốn điểm $D, I, M, N$ cùng nằm trên một đường tròn!

Gọi $L$ là giao điểm của $AK$ và $BC$. Theo kết quả quen thuộc $OA$ vuông góc với $EF$ nên suy ra $A$ là điểm chính giữa cung $MN$.

Suy ra $AN^{2}=AE.EC=AH.AD\Rightarrow \bigtriangleup ANH$ ~ $\bigtriangleup ADN$.

Suy ra $\widehat{ANH}=\widehat{ADN}\Rightarrow AK$ vuông góc với $MN$.

Lời giải có vẻ thiếu sót ! bác xem lại thử.

Thiếu sót ở đâu bác nhỉ? Nếu đoạn cuối thì xoay góc tí là ra thôi!

Bài 20. Tứ giác $ABCD$ điều hòa, tiếp tuyến tại $A, C$ cắt nhau tại $P$. Điểm $T$ thuộc $AC$. Gọi $O'$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $TBD$. Tiếp tuyến với $(O')$ tại $T$ cắt $AP, CP$ tại $Q, R$. Chứng minh rằng tứ giác $BDQR$ nội tiếp.   

Em không nghĩ có tỉnh nào ra thi tâm tam giác đâu bác ơi. Đổi bài đi bác.

Bài 19:  Chứng minh rằng $IG$ đi qua điểm $Schiffler$ của tam giác $ABC$ với $I$ là tâm nội, $G$ là trọng tâm tam giác 

Điểm $Schiffler$ của tam giác $\triangle{ABC}$ là điểm đồng quy của các đường $Euler$ của các tam giác $\sum{\triangle{IBC}}\cup{\triangle{ABC}}$ với $I$ là tâm nội 

Cái này cao quá bác!

  Có lẽ phải đưa cái topic này về đúng với quỹ đạo của nó rồi! Nhiệt lên nào members! Bài mới đây!

Bài 18. Cho đường tròn $(O)$ cố định và hai điểm $B, C$ cố định thuộc đường tròn $(O)$, điểm $A$ di động trên đường tròn $O$ . Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $L$ là điểm Lemoine  của tam giác $DEF$ . $X$ là điểm đối xứng của $L$ qua $EF$. $AX$ cắt $(O)$ tại $Y$. Chứng minh rằng $YD$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bại 16: Cho $\triangle{ABC}$ nội tiếp $(O)$ với tâm nội $(I)$ . $AI$ cắt $(O)$ tại $D$. $P$ bất kì thuộc $BIC$. $K,L$ là hình chiếu $P$ lên $DY,DZ$. Gọi $Q,R$ là tâm ngoại các tam giác $KAD,LAD$. $E,F$ là hình chiếu của $Q,R$ lên $CA,AB$. CMR: $EF$ chia đôi $PA$ (Sưu tầm )

Y, Z là điểm gì thế bác?

Lời giải bài 8 trong tài liệu của thầy Hùng :http://khoia0.com/Th...-tron-Euler.pdf

xin đề xuất bài tiếp
Bài 9(sưu tầm): Cho $\triangle ABC$ $E,F$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $EF||BC$.$BF\cap CE\equiv D$. Đường tròn $(DBE)\cap (DCF)\equiv G$. Chứng minh $AG$ là đường đối trung.

Bài 9 là đề thi Balkan MO 2009 nhé bạn!

Lời giải bài 9  Đây là được coi là $1$ bổ đề cơ bản của đường đối trung. Chứng minh:

Kẻ $GM,GN$ vuông góc với$AB,AC$ thì ta cần chứng minh $\frac{AB}{AC}=\frac{d(G,AB)}{d(G,AC)}=\frac{GM}{GN}$. Mặt khác ta có tam giác $EBG$ đồng dạng tam giác $CFG$ (g.g) nên $2$ đường cao tương ứng có tỉ lệ bằng $\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{AC}$. Ta có điều phải chứng minh.

 

Liên quan đến đường đối trung thì mình sẽ đề suất tiếp $1$ bài cũng về đối trung.

Bài 10. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn $(O)$ và $(I)$.$(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $(ABD)$ cắt $AC$ tại $E$ và $(ACD)$ cắt $AB$ tại $F$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $DE,DF$. Chứng minh rằng $OI \perp AD$ khi và chỉ khi $AD,BN,CM$ đồng quy. 

Bài 10. 

Ta có bổ đề quen thuộc sau: $OI$ vuông góc với $AD$ khi và chỉ khi $AD$ là đường đối trung

Ta xét trường hợp thuận: $OI$ vuông góc với $AD$ ta sẽ chứng minh $AD, BN, CM$ đồng quy. Trường hợp còn lại chứng minh tương tự!

Từ bổ đề trên suy ra $AD$ là đường đối trung của tam giác $ABC$ ứng với đỉnh $A$ suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$

Dễ thấy tam giác $BFD$ ~ tam giác $ECD$ . Suy ra $\frac{BF}{CE}=\frac{DF}{CD}=\frac{DB}{ED}$.

Đến đây dùng định lý Ceva sin là xong 

3 bài toán đầu khá đơn giản và đã có ghi nguồn nên ta sẽ xét mở rộng của nó

Nhưng trc hết mik sẽ giải bài sưu tầm trc ( k vẽ hình ):

Bổ đề : Cho $\triangle{ABC}$. Đcao $BE,CF$, trung tuyến $AM$ trc tâm $H$ . $CMR$  $EF,BC$ và đường thẳng qua $H$ vuông góc $AM$ đồng quy

Trở lại bài toán: $MO,NO$ cắt $AC,AB$ tại $Q,P$ suy ra $O$ trc tâm $\triangle APQ$ suy ra $PQ,BC$ đối song trong góc $\angle{BAC}$.

Gọi $AT$ đối trung tg $BAC$ thì $AT$ là trung tuyến $APQ$. Từ đây áp dung bđề cho $\triangle{APQ}$ ta có đpcm

Khi sử dụng bổ đề để chứng minh bài toán bạn có thể chứng minh lại bổ đề đó cho mọi người, vì đấy là điểm mấu chốt của bài toán! ???     

Hy vọng bạn sẽ tham gia Topic nhiều hơn!

Lời nói đầu. Hàng năm mỗi Tỉnh, Thành Phố đều có một đề thi chọn ra những học sinh xuất sắc nhất để ôn tập phục vụ cho kì thi VMO. Với mục đích giúp các bạn có thêm tư liệu cũng như để học hỏi kinh nghiệm của bản thân, mình xin lập ra topic này! 

Yêu cầu:

-Nội dung các bài toán trong topic không giới hạn, miễn là ghi số thứ tự bài toán!

- Lời giải của bài toán phải đi kèm với hình vẽ, và yêu cầu gõ latex!

- Nhớ ghi nguồn cho bài toán, nếu không rõ nguồn có thể ghi '' Sưu tầm'' và nếu lời giải lấy của một ai đó thì nên tôn trọng người nghĩ ra lời giải đó và ghi tên người giải (tất nhiên có thể có những lời giải, ý tưởng trùng nhau)!

-Kiến thức giải toán là không giới hạn, các bạn có thể dùng nhiều phương pháp nhưng mình vẫn mong muốn có một phương pháp thuần túy nhất!

Hy vọng mọi người sẽ phục vụ cho topic này phát triển!

Còn bây giờ mình xin đề xuất một số bài toán sau!

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ với các đường đối trung $BE, CF$. Gọi $M, N$ là trung điểm của $BE, CF$. Chứng minh rằng $BN, CM$ và trung trực của $BC$ đồng quy. 

(IMO Shortlish 2006)

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB<AC)$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $N$ sao cho $BA=BN$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, đường tròn đường kính $AB$ cắt $(ANC)$ tại $P$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $MP$ cắt $PA$ tại $E$ . Đường thẳng qua $P$ song song với $MP$ cắt $PN$ tại $F$. Chứng minh rằng $PC$ đi qua trung điểm của $EF$.

(Trích đề thi HSG TP Hà Nội Vòng 2 năm 2016-2017)

Bài 3. Cho tam giác $ABC$. Gọi $E, F$ lần lượt thuộc $CA, AB$ sao cho $EF$ song song với $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE, ACF$ cắt nhau tại $G$ khác $A$. Gọi $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Đường tròn qua $E, F$ tiếp xúc với $BC$ tại $L$. Chứng minh rằng bốn điểm $A, L , G, D$ đồng viên.

(Trần Quang Hùng)

Bài 4. Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$, tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn cắt $BC$ tại $D$. Đường thẳng $DO$ cắt $AB, AC$ tại $E, F$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Chứng minh rằng $EN, FM, AO$ đồng quy.

(Sưu tầm)   

Bài 3. Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau, bổ đề này rất quen thuộc trong những bài toán về đường đối trung.

Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, $E$ và $F$ lần lượt là các điểm nằm trên $CA, AB$ sao cho $EF//BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE$ và tam giác $ACF$ cắt nhau tại $G$ khác $A$. Khi đó $G$ nằm trên đường đối trung xuất phát từ đỉnh $A$.

Chứng minh

Dễ thấy $\bigtriangleup GFB$ đồng dạng với $\bigtriangleup GEC\Leftrightarrow \frac{[GFB]}{[GEC]}=\frac{BF^{2}}{CE^{2}}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$.

Và ta có: $\frac{[GAB]}{[GAC]}=\frac{[GAB]}{[GFB]}.\frac{[GFB]}{[GEC]}.\frac{[GEC]}{[GAC]}=\frac{BA}{BF}.\frac{CE}{CA}.\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$.

Suy ra $G$ thuộc đường đối trung ứng với đỉnh $A$.

Quay trở lại bài toán

Gọi $T$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $E, F$ với đường tròn $(D)$. Theo bổ đề trên kết hợp tính chất quen của tứ giác điều hòa suy ra $A, G, T$ thẳng hàng. Và cũng dễ thấy $T, L, D$ thẳng hàng vì cùng nằm trên trung trực của $EF$.

Gọi $X$ là giao điểm của $TE$ và $BC$ thì ta có: $\widehat{NEC}=\widehat{AFE}=\widehat{ABN}$ suy ra tứ giác $AENB$ nội tiếp.

Mà tứ giác $DENL$ cũng nội tiếp suy ra $TL.TD=TN.TE=TG.TA$ suy ra tứ giác $ADLG$ nội tiếp.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 4. 

Có thể giải bài toán như sau:

Ta tạo dựng mô hình của hàng điểm bằng cách gọi $H$ và $G$ lần lượt là giao điểm của $MN$ với $AO$ và $EF$. Gọi $K$ là tiếp điểm của tiếp

tuyến thứ hai từ $D$ đến $(O)$. Ta có tứ giác  $ABKC$ là tứ giác điều hòa suy ra $A(DKBC)=-1$ . Mà $OM$ vuông góc với $AB$, $ON$ vuông góc

với $AC$, $OH$ vuông góc với $AD$ , $OG$ vuông góc với $AK$ nên theo định lý quen thuộc của hàng điểm suy ra $O(MNHG)=-1$ suy ra

$(MNHG)=-1$  suy ra $A(MNHG)$=-1 suy ra $A(EFOG)=-1$ suy ra $AO, EN,MF$ đồng quy .

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 5 hơi khó nên mình xin đề xuất một số bài toán mới!

Bài 6. (China TST 2008) Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ , đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$ . Trên $AD$  lấy điểm $K$ sao cho $CD=CK$ . Giả sử  $AD$ cắt $(I)$  tại điểm thứ hai là $G$ . Gọi $L$ là giao điểm của $GB$  và $CK$ . Chứng minh rằng $K$  là trung điểm của $CL$.

Bài 7. (Trần Minh Ngọc) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Gọi $P$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$  của đường tròn. Trên $AP$ lấy $E, F$ sao cho $BE// AC, CF//AB$. $BE$ cắt $CF$ tại $D$. $CD$, $BD$ tương ứng cắt $(ADE)$, $(ADF)$ tại điểm thứ hai là $M, N$. Chứng minh rằng: $AP$ vuông góc với $MN$.

em yêu trẩu quá cơ       

Bài 8: Cho $\triangle{ABC}$ tâm nội $I$ . CMR 4 đường thẳng Euler của $BIC,AIB,AIC,ABC$ đồng quy $(Schiffler)$

Bác show lời giải bài 5 được không ạ , tiện thể khi nào giải bác up hình đi kèm với lời giải ạ    như vậy bạn đọc sẽ tiện theo dõi hơn!

Bài mới:

Bài 11. (USA TST 2011) Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp là $O$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Các đường thẳng $MH, NH$ cắt $(O)$ tại $P$ và $Q$. Giả sử $MN$ cắt $PQ$ tại $T$. Chứng minh rằng $TA$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Bài 12. (Đề chọn HSG Duyên Hải Lớp 11 Chuyên Thái Bình 2013-2014) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Hình chữ nhật $MNPQ$ thay đổi sao cho $M$ thuộc $AB$, N thuộc $AC$, $P, Q$ thuộc $BC$. ${K}=BN\cap MQ, {L}=CM\cap NP, {X}=MP\cap NQ, {Y}=KP\cap LQ$. Chứng minh rằng:

• a) $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$
• b) $XY$ đi qua một điểm cố định.   

Bài 6.

a. Dùng hai kết quả sau:

1. Cho tam giác $ABC$ với $M, N$ thuộc $BC$. Khi đó $(AMN)$ tiếp xúc với $(ABC)$ khi và chỉ khi $\angle MAN$ và $\angle BAC$ có chung phân giác.

2. Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$, $T$ thuộc $BC$. Khi đó $AT=TD$ khi và chỉ khi $AT$ tiếp xúc với $(ABC)$

b. Bổ đề. Cho $(O)$ và hai điểm $A, B$ nằm ngoài nó. Qua $A, B$ kẻ các tiếp tuyến $AC, AD, BE, BF$. $CD$ cắt $EF$ tại $G$. Lúc này $OG\perp AB$ tại $H$ thỏa $OG.OH=R^2$

Bổ đề này chứng minh thế nào anh? Nó đã xuất hiện ở những bài toán nào ? Sách nào ?

BĐT Schur tổng quát:

Với $a, b, c, k \ge 0$ thì: 

$$a^k (a - b)(a-c) + b^k (b-c)(b-a) + c^k (c-a)(c-b) \ge 0$$

Khi $k=1$ ta có các kết quả tương đương sau:

$1) a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \ge 0.$  

$2) a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b$

$3) a^3 + b^3 + c^3 + 5abc \ge (a+b)(b+c)(c+a)$

$4) a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \ge (a+b+c)(ab + bc+ ca)$

$5) 2(a^3 + b^3 + c^3) + 3abc \ge (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)$

$6) (a+b+c)^3 + 5abc \ge 4(a+b)(b+c)(c+a)$

$7) (a+b+c)^3 + 9abc \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$8) 4(a^3 + b^3 + c^3) + 15abc \ge (a+b+c)^3$

Ngoài ra còn có các biến đổi tỉ số từ 8 dạng trên...

anh ơi còn trường hợp với k=2 ,3 thì sao anh

Còn câu nữa xử nốt cho nó lành

Câu II 

2)Gọi $X_{n}$ là số cách sắp xếp n người ($n\geq 0$) thỏa mãn đề bài (coi như $X_{0}=1$ vì khi không có người nào đứng thì chỉ có một cách sắp xếp duy nhất )

Giả sử chiều cao của $n$ người trên lần lượt là $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ sao cho với $i>j$ thì $a_{i}>a_{j}$

Khi đó; giả sử người có chiều cao là $a_{1}$ đứng ở vị trí thứ $k$($0\leq k\leq n$) thì mỗi người đứng ở vị trí từ $1\rightarrow k$ luôn cao hơn tất cả những người đứng trước vì nếu ngược lại thì tồn tại một người có chiều cao nhỏ hơn $a_{1}$ (vô lý) $\Rightarrow$ người đứng ở vị trí thứ 1 là người cao nhất và có chiều cao $a_{n}$

Tương tự; người đứng ở vị trí thứ 2 có chiều cao là $a_{n-1}$

                 người đứng ở vị trí thứ 3 có chiều cao là $a_{n-2}$

                 .............

                 người đứng ở vị trí thứ $k-1$ có chiều cao là $a_{n-k}$

Do đó với mọi $0\leq k\leq n$ thì chỉ có một cách sắp sếp những người đứng ở vị trí từ 1 đến k sao cho thỏa mãn đề bài. Từ đó suy ra số cách sắp xếp n người thỏa mãn đề bài khi người thấp nhất (có chiều cao $a_{1}$) đứng ở vị trí thứ $k$ chính bằng số cách sắp xếp $n-k$ người đứng từ vị trí thứ $k+1$ trở đi ($=X_{n-k}$).

Vì vậy; khi cho $k$ lần lượt bằng $n;n-1;...;1$ thì ta nhận được số cách sắp xếp $n$ người lần lượt là $X_{0};X_{1};X_{2};...;X_{n-1}$

Mà tổng số cách sắp xếp $n$ người bằng tổng các số trên nên $X_{n}=X_{0}+X_{1}+...+X_{n-1}$

Lại có $X_{0}=1$ và $X_{1}=1$ nên từ công thức trên và bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được $X_{n}=2^{n-1} (n\geq 1)$

Thay $n= 10$ vào trên ta có $X_{10}=512$

P/S: Mới off có sáng với chiều chủ nhật để đi chơi mà tối lên diễn đàn đã thấy đề KHTN bị "xơi" gần hết rồi; còn mỗi cấu tổ

bác giỏi ghê :v trâu quá :V

Anh chỉ đề nghị đề cho thầy, tác giả là một bạn người TQ.

 

 

Không ai full hết, có một bạn gần full thôi (sai ý ở câu PTH).

anh còn phầm mềm Maple SOS của anh không ạ em kiếm link nhưng bị die rồi 

Câu bất đẳng thức khối 11 là do một bạn người bạn người Trung Quốc nhờ mình đề nghị.

Bài này là của anh ?