Chứng minh rằng: $\frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geq \left ( \sqrt{x+y} +\sqrt{y+z} +\sqrt{z+x} \right )^{2}\geq 6\sqrt{3}$

với  $\forall x,y,z>0;xy+yz+zx=1$

Áp dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz và Minkopxki ta có:

$( \sqrt{x+y} +\sqrt{y+z} +\sqrt{z+x})^{2}=2(x+y+z+\sum \sqrt{(x+y)(y+z)})\geq 2(\sqrt{3(xy+yz+zx)}+\sum \sqrt{x^{2}+1})=2(\sqrt{3}+\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}})\geq 2\sqrt{3}+2\sqrt{(x+y+z)^{2}+3(\sqrt{3})^{2}}\geq 2\sqrt{3}+2\sqrt{3(xy+yz+zx)+9}=2\sqrt{3}+2\sqrt{12}=6\sqrt{3}\rightarrow \square $

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cho các số thực dương a,b. Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức : \[\frac{k}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\geq \frac{16+4k}{\left ( a+b \right )^{3}}\]  

Biến đổi BĐT đã cho thành
$ ( \frac{k}{a^{3}+b^{3}}-\frac{4k}{(a+b)^{3}}  )+ ( \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}-\frac{16}{(a+b)^{3}})\geq 0$
$\Leftrightarrow ( \frac{a-b}{a+b})^{2}[ \frac{(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2}}{a^{3}b^{3}(a+b)}-\frac{3k}{a^{3}+b^{3}} ]\geq 0$
Nên BĐT sau phải đúng:
$ [ (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2} ](a^{3}+b^{3})\geq 3ka^{3}b^{3}(a+b)$
Cho $a=b$ suy ra $k\leq 8$. Mặt khác, khi k=8 thì theo AM-GM:
$(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2}\geq 24a^{2}b^{2}$
$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$ (đpcm)
Hằng số $k$ tốt nhất là $k=8$

Giải hệ phương trình

 $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2} \\ x+y-xy = 9 \end{matrix}\right.$

ĐK:$x>0;x>-y$

Đặt $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} =a\Rightarrow  \sqrt{\frac{x+y}{6x}} =\frac{1}{a}\Rightarrow a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2(a^{2}+1)=5a\Leftrightarrow (2a-1)(a-2)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{6x}{x+y}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow 23x=y & \\ a=2\Leftrightarrow\frac{6x}{x+y}=4\Leftrightarrow x=2y   & \end{bmatrix}$

Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn:

(x² -3) chia hết cho (xy+3)

$x^{2}-3\vdots xy+3\Rightarrow y(x^2-3)\vdots xy+3\Rightarrow x(xy+3)-3(x+y)\vdots xy+3\Leftrightarrow 3(x+y)\vdots xy+3\Leftrightarrow 3(x+y)\geq xy+3\Leftrightarrow (3-x)y\geq 3-3x$

Xét $x=1,2$ rồi tìm y

Xét $x \geq 3$ ta có $y\leq \frac{3x-3}{x-3}=3+\frac{6}{x-3}\leq 9\Rightarrow 1\leq y\leq 9$

Xét các trường hợp của $y$ để tìm $x$

Hơi nhiều trường hợp nhỉ =))

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:   

ĐK:$2\geq x\geq 1$

Đặt biểu thức ban đầu là A ta có $A=1-\frac{4\sqrt{2-x}}{\sqrt{x-1}+2\sqrt{2-x}+3}\leq 1$.

$A=1-\frac{4\sqrt{2-x}}{\sqrt{x-1}+2\sqrt{2-x}+3}\geq 1-\frac{4\sqrt{2-1}}{\sqrt{1-1}+2\sqrt{2-1}+3}=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\Rightarrow \frac{1}{5}\leq A\leq 1$

$A_{max}=1\Leftrightarrow x=2;A_{min}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow x=1$

Cho $a,b,c>0$.Tìm Max:$\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=a+2b+3c=14$.Tính $A=abc$

Cho $a,b,c>0$.Tìm Max:$\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn a+b+c=2.CMR:$\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leq 1 $

Tìm tất cả các số nguyên $n$ thoả mãn $n!\vdots n^{2}$