Mọi người Cho mình hỏi khi giả thiết cho các biến trên đoạn thì xử lí như thế nào ? chẳng hạn như cho a,b,c trên đoạn [1,3] thì khai thác như thế nào vậy ?

Gặp những bài như này, theo mình dùng ép biên là hiệu quả nhất. Còn một số cách sử dụng đạp hàm nhưng là cảu THPT nên mình không biết.

Ví dụ: nếu có điều kiện như vậy thì ta thường xét các đại lượng: $(x-1)(x-3)\leq 0$ hay $(x-3)^{2}(x-3)\geq 0$ hoặc $\left ( x-1 \right )^{3}(x-3)\leq 0$ tùy theo điều kiện đề bài! 

Cho mình hỏi bạn Phạm Nam Khánh đã được đi thi quốc gia rồi cơ à./

Theo mình biết thì đâu tuyển lớp 10./

Vẫn có người sinh năm 2000 mà đi thi đó thôi

Huỳnh Bách Khoa: dogsteven

viet nam in my heart: Chuyên Vĩnh Phúc./

không biết mình ở hà Nội, không biết hai bạn kia có được đi không

Được gần hết còn nửa bài cuối thì phải

nhưng mà đề cũng nhẹ, ngoài 2b 4b

vẫn chưa đến thời đại của 2000 ( trừ PNK )

đội Hà Nội năm nay có Nam Khánh siêu quá 

Vì không thấy ai đăng tiếp, mình xin góp một bài, xin lấy tiêu đề là bài toán 24, nếu các bạn không đồng ý thì có thể bỏ bài toán này!

Bài toán 24: (Nguồn: Juliel)

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh:

TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH, THÀNH PHỐ

(Phần I)

Đây là topic tổng hợp một số bài hình học không gian trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố vòng 1. Mong các bạn tham gia giải bài để xây dựng topic.

Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD có ba mặt (ABC),(ACD),(ADB) vuông tại A. M là một điểm trong tam giác BCD. Gọi $\alpha,\beta,\gamma$ lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng (ABC),(ACD),(ADB). Chứng minh rằng: $sin^{2}\alpha+sin^{2}\beta+sin^{2}\gamma =1$

Bài 2: Cho tứ diện ABC$ có AB,AC,AD vuông góc với nhau đôi một. Chứng minh rằng: Nếu mặt phẳng (BCD) hợp với các mặt phẳng (ABC,(ABD),(ACD) các góc lần lượt là $\alpha,\beta,\gamma$ thì ta có $cos^{2}\alpha+cos^{2}\beta+cos^{2}\gamma =1$

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình vuông cạnh $a$. $AA'=2a$. E,F lần lượt là trung điểm B'C',C'D'. Tình diện tích thiết diện tạo thành do mặt (AEF) cắt hộp đã cho.

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có khoảng cách từ A dến BD là $h$. Trên tia $Ax,Cy$ cùng vuông góc với ABCD và cùng chiều, ta lần lượt lấy hai điểm $M,N$. Đặt $x=AM,y=CN$. Chứng minh rằng: Điều kiện Cần và Đủ để hai mặt (BDM),(BDN) vuông góc là $xy=h^{2}$.

Bài 5:Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' đáy là tam giác cân tại A. Góc giữa hai đường AA',BC' là $30$ và khoảng cách giữa chúng là $a$. Góc giữa hai mặt chứa hai mặt bên AA' là $60$. Tính thể tích khối $ABC.A'B'C'$.

Bài 6: Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Tam giác ABC' có diện tích là $Q\sqrt{3}$ và hợp với mặt đáy một góc $\alpha \in \left ( 0,\frac{\prod  }{2} \right)$.

a, Tính $V_{ABC.A'B'C'}$ theo $Q,\alpha$.

b, Cho $Q=const$, $\alpha$ thay đổi. Tính $\alpha$ để V max.

Bài 7: Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Mặt (A'BC) cách A một khoảng bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ và hợp BC' một góc $\alpha$ biết $sin\alpha=\frac{\sqrt15}{10}$. Tính thể tích lăng trụ trên.

Bài 8: Cho tứ diện ABCD và IJ là đoạn vuông góc chung của AB,CD (I trên AB, J trên CD. $\alpha$ là góc của AB,CD. Chứng minh: thể tích tứ diện ABCD là $\frac{1}{6}AB.CD.IJ.sin\alpha$.

Bài 9:  Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian để $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}$ đạt min.

Bài 10. Trên đáy ABC của tứ diện OABC lấy điểm M. Các đường song song với các cạnh OA,OB,OC đi qua M, cắt mặt (OBC),(OCA),(OAB) lần lượt tại A',B',C'. Chứng minh rằng: $$\frac{MA'}{OA}+\frac{MB'}{OB}+\frac{MC'}{OC}=1$$

Bài 11: Cho M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Các đường MA,MB,MC,MD cắt các mặt đối diện tại A',B',C',D'. Chứng minh rằng: $$\frac{MA'}{AA'}+\frac{MB'}{BB'}+\frac{MC'}{CC'}=1$$

Bài 12: Cho tứ diện ABCD đáy là tam giác BCD cân ở D, $BC=a$ và góc $BDC=2\alpha$. Biết các cạnh bên nghiêng đều với đáy  một góc $\beta$. Chân đường cao H vẽ từ đỉnh A xuống (BCD) thuộc miền trong tam giác BCD. Tính thể tích của tứ diện theo $a,\alpha,\beta$.

Bài 13: Cho góc tam diện Oxyz và điểm M cố định trong góc đó. Mặt (P) lưu động qua M cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Tìm vị trí của (P) để diện tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Bài 14: Cho chóp S.ABC có $SA=x,BC=y$, các cạnh còn lại bằng 1. Tính thể tích chóp theo $x,y$.

Bài 15: Cho tứ diện ABCD có $AD=BC=a$, $AC=BD=b$, $AB=CD=c$. Tính thể tích tứ diện theo $x,y$.

Em xin tặng mọi người cái hình bài $8$ (Mặc dù không đẹp)

geogebra-export.pn

 

lời giải:  $\widehat{HAD}=\widehat{DAM}$

Qua H dựng đường vuông góc với AD cắt M tại E, AD tại F nên E đối xứng H qua AD

Có phương trình đường $HK:7x+y-40=0$ và tọa độ $E( \frac{27}{5}; \frac{1}{5})$.

Phương trình $EK:2x+11y-35=0$, $A(1;3)$

Phương trình BC qua $H(5;5)$ nhận vector $AH(4;2)$ là VTPT nên $BC:2x+y-15=0$

có $M( \frac{13}{2}; 2)$ nên pt đường tròn ngoại tiếp ABC là $(x- \frac{13}{2})^{2}+(y-2)^{2}= \frac{125}{2}$ do đó thu được $B(4:7)$, $C(9;-3)$

Vậy: $A(1;3)$ ; $C(9;-3)$ ;  $B(4:7)$.

câu 9: $(1)\Leftrightarrow \frac{x^{2}+x^{2}y^{2}-1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}(1+y^{2})}+\sqrt{1+x^{2}}}+xy-1=0\Leftrightarrow (xy-1)\left ( \frac{xy+1}{\sqrt{x^{2}(1+y^{2})}+\sqrt{1+x^{2}}} \right )=0$ dó đó $xy=1$

thế vào pt $(2)$ được: $5\sqrt{3x-2}-(3x+2)+5\sqrt{x+3}-(x+9)=4x^{2}-28x+24\Leftrightarrow (x^{2}-7x-6)\left ( 4-\frac{1}{5\sqrt{x+3}+(x+9)} +\frac{9}{5\sqrt{3x-2}+3x+2}\right )=0$

mà $x \geq \frac{2}{3}$ nên hpt có no $(1;1);(6; \frac{1}{6})$

Hướng cho câu 7: (lời giải Oxy khá dài nên không tiện trình bày)

Gọi tọa độ điểm D theo phương trình đường $d=x+2y-18=0$. Khí đó cho $\overrightarrow{DH}.\overrightarrow{DK}=0$ để tìm tọa độ điểm D.

Tiếp tục viết phương trình đường thẳng DC và DA, cho đường thẳng EH giao DC ra tọa độ điểm C và tươn tự ra tọa độ điểm A. 

Điểm B còn lại dễ dàng rồi 

P/s: ý tưởng các câu khá cũ trừ câu 10 

TRƯỜNG HÈ TOÁN HỌC MIỀN BẮC 2016

Nguồn: Thầy Trần Mạnh Sang- THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Bài 1: 

Cho 2016 tập hợp, mỗi tập có 45 phần tử, hai tập bất kì có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại 1 phần tử thuộc tất cả các tập.

Bài 2:

Cho tập $X$ hữu hạn phần tử. Các tập $A_{1},A_{2},...A_{50}$ là các tập con của $X$, mỗi tập có nhiều hơn một nửa số phần tử của $X$

Chứng minh: 

a, Tồn tại phần tử $a$ thuộc ít nhất 26 tập con đã cho.

b, Tồn tại $A\subset X$ thỏa mãn $\left | A \right |\leq 5$ mà $A\cap A_{i}\neq \oslash (i=\overline{1,50})$

Bài 3: Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 2016 thỏa mãn số đó chia hết cho 3 hoặc 4 nhưng không chia hết cho 5.

Bài 4: Cho S= \left \{ 1,2,...,2014 \right \} 

Cần phải bỏ đi ít nhất bao nhiêu phần tử của $S$ để tập còn lại thỏa mãn không phần tử nào bằng tích hai phần tử khác.

Bài 5: Tìm tất cả các tập hữu hạn $A\subset \mathbb{N}$  và $B\subset \mathbb{N}$ thỏa mãn $A\subset \mathbb{B}$ và $\sum x_{b}=\sum x_{a}^{2}$

Bài 6: Cho tập $S$ thỏa mãn 

+> Mỗi phần tử của $S$ là một dãy có 15 kí tự, chỉ sử dụng $a,b$

+> Hai phần tử trong $S$ được gọi là khác nhau nếu chúng khác nhau ở ít nhất ba phần tử 

CMR: $\left |S  \right |\leq 2^{11}$

Bài 7: Cho tập $S$ có 2008 phần tử và $S_{1},S_{2},...S_{50}$ là tập con của $S$ thỏa mãn

+> $\left | S_{1} \right |=100 (i=\overline{1,50})$

+> $S_{1}\cup S_{2}\cup ....\cup S_{i}=S$

CMR: tập $S_{i}, S_{j}$ $i$ khác $j$ thỏa $\left | S_{1}\cap S_{j} \right |\leq 3$

Bài 8: Cho $n,k\in N$ và $S=\left \{ 1,2,...,n \right \}$ 

$A_{1},A_{2},.....A_{k}$ là các tập con của $S$ thỏa:

+> $\left | A_{i} \right |\geq \frac{n}{2}\left ( i=\overline{1,k} \right )$

+> $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |\leq \frac{n}{4}(i\neq j)$

CMR: $\left | A_{1}\cup A_{2}....\cup A_{k} \right |\geq \frac{k}{k+1}$

Bài 9: Cho số tự nhiên dương $n$ nhỏ hơn $2014$ 

Tập $A=\left \{ a_{1},a_{2},...,a_{n} \right \}$ là tập con của $S= \left \{ 1,2,3,...,2014 \right \}$ thỏa nếu $a_{i}\neq a_{j}\leq 2014(i\leq i\leq j\leq n)$ thì $a_{i}+a_{j}\in A$

Chứng minh: $\frac{a_{1}+a_{2}+.....+a^{n}}{n}\geq \frac{2015}{2}$

Bài 10: Cho $S$ có 2016 phần tử. Tìm số bộ sắp thứ tự $(S_{1},S_{2},....,S_{n})$ với $S_{i}$ là tập con của $S$ thỏa $S_{1}\cap S_{2}\cap S_{3}\cap ....S_{2015}\neq \oslash $

Bài 11: Cho $S$ là tập các số nguyên dương nhỏ hơn $15$ thỏa không có hai tập con rời nhau của $S$ có tổng các phần tử bằng nhau. 

a, Chứng minh: số phần tử của $S$ không quá 5

b, Tìm tổng lớn nhất của số các phần tử của $S$

Bài 12: Cho $S\subset A= \left \{ 1,2,3,...n \right \}$n với $n$ nguyên dương. Tạo ra tập mới theo các luật sau: 

+> Nếu $1\notin S$ thì thêm $1$ vào $S$

+> Nếu $n\in S$ thì bỏ $n$

+> Với $1\leq t< n,t\in S,t+1\notin S$ thì bỏ $t$ thêm $t+1$

Ta bắt đầu từ tập rỗng.

Chứng minh $n= 2^{m}=1$ với m nguyên dương.

Bài 13: Cho các số nguyên dương $m,n$ không nhỏ hơn 2 thảo $S$ là tập có $n$ phần tử. $A_{1},A_{2},...,A_{m}$ là các tập con của $S$ mà mỗi tập có ít nhất 2 phần tử và thỏa mãn nếu $A_{i}\cap A_{j}\neq \oslash$, $A_{i}\cap A_{k}\neq \oslash$, $A_{j}\cap A_{k}\neq \oslash$ thì $A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\neq \oslash$

Chứng minh: $m\leq 2^{n-1}-1$

Bài 14: Có tồn tại hay không một tập có 2010 số nguyên dương thỏa mãn nếu bỏ bất kỳ một phần tử nào của tập này thì tập còn lại có thể chia thành hai tập mà tổng các phần tử trong mỗi tập này bằng nhau?

P/s: Chuyên đề này được thầy hoàn thành trong 6 giờ làm việc, và đây là những bài đã giải quyết xong trên lớp, mình gõ lên để cho các bạn không có điều kiện tham gia trường hè giải thử. Các bài tập ở đây về độ khó khá đa dạng, từ khá dễ đến khó, được thầy sưu tầm lại, minh đã xin phép thầy để đăng lên đây.

Mong các bạn ở trường hè các miền khác có thể chia sẻ các bài tập của các bạn để có thể trao đổi!

Mong các bạn tham gia giải quyết hết các bài tập trên.

Lời giải vắn tắt:

Gọi IM giao AB ở Q và IN giao AC ở Q.

Có: $\overrightarrow{MN}=(4;0)$

Ta có PQ là đường trung bình của tam giác ABC nên BC song song với MN.

Đường BC đi qua $K(2;-10$ nhận vector $\overrightarrow{MN}=(4;0)$ làm vector chỉ phương, do đó ta viết được phương trình đường BC.

Gọi $I(a,b)$ từ đó tính được $P(\frac{a}{2};\frac{b+1}{2})$ và $Q(\frac{a+4}{2};\frac{b+1}{2}$. Tính được tọa độ của B và C theo tham số a, b mà ta đã biết phương trình đường BC nên từ đó tìm được tọa độ B và C. 

Từ tọa độ B và C, ta tìm được tọa độ của A và của I, từ đó viết phương trình $(C)$

ai có tài liệu về phương pháp truy hồi trong tổ hợp cho em xin ạ

Ai có tài liệu về đa thức và đại số tổ hợp cho em xin với

             

đại số tổ hợp tớ có mấy cái này

ai có tài liệu về bổ đề ERIQ không ạ

đóng góp một bài hệ!

 

Bài 291: $\begin{cases} & 2x^{3}+3x^{2}-18=y^{3}+y \\ & 2y^{3}+3y^{2}-18=z^{3}+z\\ & 2z^{3}+3z^{2}-18=x^{3}+x \end{cases}$

 

Chém bài này:

Giả sử x>z lấy phương trình (3) trừ phương trình (2) ta được:

$\left ( z-y \right )\left ( 2z^{2}+2y^{2}+2yz+3y+3z \right )= \left ( x-z \right )\left ( x^{2}+z^{2}+xz+1 \right )$

Rõ ràng vế phải dương nên vế trái dương, do đó dẫn tới z>y.

Làm tương tự ta lại có y>x Mẫu thuẫn.

Do vậy ba biến x=y=z

Ta có phương trình:

$x^{3}+3x^{2}-x-18=0$

Phương trình có nghiệm là 2, có thể giải dễ dàng!

Bài 11: Giải PT: $(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=5x^{2}+\frac{3}{2}x-3$

Bài 12: Giải PT: $2\sqrt{2x-5}=27x^{2}-144x+191$

Bài 13: Giải HPT: $\begin{cases}& \sqrt{12-2x^{2}}= 4+y\\ & \sqrt{1-2y-y^{2}}=5-2x \end{cases}$

Bài 14: Giải PT: $(x-1)(2\sqrt{x-1}+3\sqrt[3]{x+6})=x+6$

bài 12 có một phương pháp có thể hữu dụng là đặt $3\sqrt{2x-5} là a. khí đó đưa vế phải về dạng alpha a^4 + beta a^3 + gama a^2 + omega a sau đó khai triển và hệ số bất định!

Bài 393: $\begin{cases} & (x+2)\sqrt{x-2}+x=y^{3}+y^{2}+4y+2 \\ & y+2\sqrt{5y^{2}+11}=x^{3}-3x-9 \end{cases}$

 

điều kiện: $x\geq2$

đưa phương trình 1 về dạng $(x-2)\sqrt{x-2}+4\sqrt{x-2}+(x-2)+2=y^{3}+y^{2}+4y+2$

xét hàm: $f(t)=t^{3}+t^{2}+4t+2$ 

Có: $f'(t)=2t^{2}+t+4>0$ nên hàm đồng biến trên R

từ đó thu được $\sqrt{x-2}=y$

đến đây thì hơi khó

Lời giải cho 277

lâu lâu không thấy hệ phương trình nhỉ

mình xin góp một bài này

mời các bạn

Mình thấy thi đại học đa phần những bài phương trình hệ phương trình sẽ rất lằng nhằng, đánh đố và hầu như chỉ có một, hai phương pháp giải quyết

Đóng góp một bài trong số đó

Một vài bài khá hay mình sưu tầm mời các bác thử

Sao $\left ( 2z^{2}+2y^{2}+2yz+3y+3z \right )$ dương mà suy ra $z>y$ nhỉ

trước hết giả sử các biến dương. rồi làm tương tự với các biến âm

http://diendantoanho...endmatrixright/

Bạn ghi lại bài vào topic này được không? để nếu có bạn nào tổng hợp lại thì còn biết chứ