Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn: $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{1+3a^2}+\frac{1}{1+3b^2}+\frac{1}{1+3c^2}+\frac{1}{1+3d^2}\ge \frac{16}{7}$

Ta có : $(\sum \frac{1}{1+3a^{2}})(\sum 1+3a^{2})(1+1+1+1)(1+1+1+1)\geq 256 ( holder)$

Mà : $(\sum \frac{1}{1+3a^{2}})(\sum 1+3a^{2})(1+1+1+1)(1+1+1+1)\geq (\sum \frac{1}{1+3a^{2}})(4+\frac{3(\sum a)^{2}}{4})X16\geq 112(\sum \frac{1}{1+3a^{2}})$

=> $\sum \frac{1}{1+3a^{2}}\geq \frac{16}{7}$( Q.E.D )

Cho a,b,c >1

Chứng minh $\frac{a^{2}}{b-1} + \frac{b^{2}}{c-1} + \frac{c^{2}}{a-1} \geq 12$

cho a,b,c là các số thực dương chung minh rang

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Ta có :

VT=$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \sum \sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{2c}} \geq \sum \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2c}}=\sum \sqrt{a}(\frac{1}{\sqrt{2b}}+\frac{1}{\sqrt{2c}})\geq \sum \sqrt{a}\frac{4}{\sqrt{2}(\sqrt{c}+\sqrt{b})}\geq \sum \sqrt{a}\frac{4}{2\sqrt{b+c}}=2(\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}})$=VP=> ĐPCM

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3abc.CMR:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}+\frac{3}{2}\geq 2(\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^2+ab})$

Từ giả thiết  : 

=> $\sum \frac{1}{2ab}=\frac{3}{2}$

Ta có : $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\sum \frac{1}{2ab}\geq \sum \frac{4}{(a+b)^{2}}$

Ta cần cm  : $\frac{1}{(a+b)^{2}} + \frac{1}{(b+c)^{2}}\geq \frac{1}{a^{2}+bc}$

<=> $a^{4}+bc(b^{2}+c^{2})\geq 2a^{2}bc+b^{2}c2$ ( đúng theo cauchy )

Cộng vế theo vế ta được ĐPCM

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR

 $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$

Ta có : $\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq \sqrt{(\sum a+c)(\sum \frac{2a}{(a+b)(a+c)})} = \sqrt{\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{\prod (a+b)}}$

Đến đây ta áp dụng bđt phụ : $\prod (a+b)\geq \frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)$

=> ĐPCM

Cho a,b,c>0.CMR $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}$

ta có : $\frac{1}{3a} + \frac{4}{3b}\geq \frac{9}{3(a+b)}=\frac{3}{a+b}$

   $\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c}\geq \frac{36}{6b+8c}=\frac{18}{3b+4c}$                          

 $\frac{1}{c}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}\geq \frac{9}{c+6a}$

Cộng vế theo vế ta được đpcm 

Đẳng thức xảy ra khi a=1;b=2;c=3

Từ giả thiết ta được : $x^{2}+y^{2}-xy=x^{2}y^{2}$

                                  $(x+y)^{2}=xy(xy+3) => x+y=\sqrt{xy(xy+3)}$ ( do x,y dương )

Ta có : 

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} = \frac{(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)}{x^{3}y^{3}} = \frac{(x+y)x^{2}y^{2}}{x^{3}y^{3}} = \frac{x+y}{xy}=\frac{\sqrt{xy(xy+3)}}{xy} = \sqrt{\frac{xy+3}{xy}} =\sqrt{1+\frac{3}{xy}}$

Bây h ta chỉ cần tìm min xy là bài toán được giải quyết .

$(x+y)^{2}=xy(xy+3) \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}(xy+3) => xy+3\geq 4 => xy\geq 1$

=> Max A = 2

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTLN:

 

$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$

Ta có :

P=$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}=\sum \frac{a(\frac{1}{a}+1+c)}{(a^{3}+b^{2}+c)(\frac{1}{a}+1+c)}\leq \frac{\sum a+\sum ab+3}{(\sum a)^{2}}\leq \frac{\sum a+\frac{1}{3}(\sum a)^{2}+3}{(\sum a)^{2}}=1$

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=1

http://diendantoanho...2b21frac2015ab/

Cho a,b,c >0 . Sao cho a+b+c=2

Tìm Min : $\sqrt{a^{2}+ b^{2} + c^{2}} + \frac{ab+bc+ca}{2} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cho a, b, c > 0 thỏa a+b+c=3. CMR : $\sum \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}\geq 3$

Ta có : $\sum \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c}{\sqrt{(a+b+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c)}}\geq 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c}{\sum a^{2}+\sum a}=\frac{4 \sum a^{2}+2\sum a}{\sum a^{2}+\sum a}=2+\frac{2\sum a^{2}}{\sum a^{2}+3}=2+\frac{2}{1+\frac{3}{\sum a^{2}}}\geq 2+\frac{2}{1+\frac{9}{(\sum a)^{2}}}=3$(đpcm)

Cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện : ab+4 $\leq$ 2b

Tìm Max : P = $\frac{ab}{a^{2}+2b^{2}}$

Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )\left ( \frac{1}{( a-b)^{2}}+\frac{1}{( b-c)^{2}}+\frac{1}{( c-a)^{2}} \right )\geq \frac{27}{4}$

bài toán 4 nha b  

link : https://julielltv.wo...huc-quan-trong/

2.cho a,b,c>0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ cmr  $\sum \frac{1}{3-ab}\leq \frac{3}{2}$

đã có ở đây : https://diendantoanh...32/#entry676259

Cho a,b,c dương .   ab+bc+ca=1  . Chứng Minh : $(a+b+c)^{3}\geq 4(a+b+c)^{2}$

Cần cm : $\sum x^{3}y \geq \sum y^{3}x$ . Gỉa sử z $\geq y\geq x$

Ta có : $\sum x^{3}y - \sum y^{3}x = xy(x-y)^{2} + (z-x)(z-y)(xy+xz - y^{2}) \geq 0 => right$

=> $( \sum x^{3}y )^{2} \geq (\sum x^{3}y )(\sum y^{3}x) \geq ($\sum$(xy)^{2} )^{2} => đpcm$

1.Cho a, b$\in$[1;2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P=$\frac{b+3}{a^{3}-2a^{2}+b+4}+\frac{a+3}{b^{3}-2b^{2}+a+4}+\frac{a+b}{25}$

2. Cho a, b, c, d$\in$[1;2]. Chứng minh rằng:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\leqslant 25$

3.Cho 3 số dương thỏa mãn abc=1.
CMR: (a+b)(b+c)(c+a)+7$\geq$5(a+b+c)

3.

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=abc,,,,

Chứng minh rằng $(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\leq 8$

 

Đây là đề thi tỉnh em hôm nay ,,đăng lên để mọi người tham khảo @@

Đào mộ

Đặt (x,y,z)->(a-1,b-1,c-1) => x,y,z>0

Ta có :

GT=> $\sum (x+1)(y+1)=\prod (x+1)<=>\sum x+2=xyz$

Ta cần cm : $\prod (a+b-c)\leq 8$

từ GT => $\sum x\geq 6$ => $xyz=\sum x+2\leq \frac{4(\sum x)}{3}$

Hay $\frac{xyz}{\sum x}\leq \frac{4}{3}$

Ta chỉ việc chứng minh : $\frac{xyz}{\sum x}\sqrt{\frac{27xyz}{\sum x}}\geq \prod (x+y-z)$

                           <=> $27x^{3}y^{3}z^{3}\geq (\sum x)^{3}\prod (x+y-z)^{2}$

Bây giờ lại đặt x+y-z=m ; y+z-x=n ; z+x-y=p => 2x=m+p ; 2y=m+n ; 2z=n+p 

Ta đưa bđt về cần cm : $27\prod (m+n)^{3}\geq 512m^{2}n^{2}p^{2}(\sum m)^{3}$

 Vì $9\prod (m+n)\geq 8( m+n+p)( mn+np+pm)$

Nên ta chỉ cần cm : $(m+n+p)^{3}( mn+np+pm)^{3}\geq 27m^{2}n^{2}p^{2}(m+n+p)^{3}$

              <=> $(mn+np+pm)^{3}\geq 27m^{2}n^{2}p^{2}$ ( đúng theo cauchy )

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=3

 

b,$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\leq \frac{a+b+c}{3}$

Ta có : $a+\sqrt{\frac{1}{2}a.2b}+\sqrt[3]{\frac{1}{4}a.b.4c}\leq a+\frac{1}{4}a+b+\frac{1}{12}a+\frac{1}{3}b+\frac{4}{3}c=\frac{4}{3}(a+b+c)$ => ĐPCM

Cho a,b,c là các số dương , Chứng minh :  $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(b+c)} + \frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$

Đặt $a=x+1,b=y+1,c=z+1 \rightarrow 0\leq x,y,z \leq 2 và x+y+z=3$
Giả sử x=max{x,y,z} $\rightarrow 1\leq x\leq 2$
$\rightarrow (x-1)(x-2) \leq 0$
Có $P=a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+9$
Mặt khác $x^2+y^2+z^2=x^2+(y+z)^2-2yz \leq x^2+(3-x)^2=2x^2-6x+9=2(x-1)(x-2)+5 \leq 5$ (vì $y,z\geq 0 \rightarrow -2yz\leq 0$)
Do đó$ P \leq 14$
Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0) \leftrightarrow (a,b,c)=(3,2,1)$ và các hoán vị
 

Tuyệt thật ! B lấy ý tưởng như thế nào ra đc thế này vậy

pt (1) <=> $2y^{2} - 9y +4 = \frac{4}{x} +2

<=> (2y^{2}-9y+4)^{2}=\frac{16}{x^{2}+\frac{16}{x}+4}

<=> \frac{16}{x^{2}} + \frac{16}{x} = (2y^{2}-9y+4)^{2} -4$

Do x khác 0 chia phương trình (2) choa x ta được : $4\sqrt{x+1} = -y\sqrt{y^{2}+4}

$=> y^{4} +4y^{2} = (2y^{2}-9y+4)^{2} -4 <=> (y^{2}+2)^{2} = (2y^{2}-9y+4)^{2} => y^{2}+2=\pm (2y^{2}-9y+4) =>y=>x .....$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &2y^{2}-9y-\dfrac{4}{x}=-2 \\ &4\sqrt{x+1}+xy\sqrt{y^{2}+4}=0 \end{matrix}\right.$

<=> \frac{16}{x^{2}} +\frac{16}{x} = y^{2}(y^{2}+4)$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &2y^{2}-9y-\dfrac{4}{x}=-2 \\ &4\sqrt{x+1}+xy\sqrt{y^{2}+4}=0 \end{matrix}\right.$

pt (1) <=> $2y^{2} - 9y +4 = \frac{4}{x} +2$

<=> $(2y^{2}-9y+4)^{2}=\frac{16}{x^{2}}+\frac{16}{x}+4$

<=> $\frac{16}{x^{2}} + \frac{16}{x} = (2y^{2}-9y+4)^{2} -4$

Do x khác 0 chia phương trình (2) choa x ta được : $\frac{4}{x}\sqrt{x+1} = -y\sqrt{y^{2}+4}<=> \frac{16}{x^{2}} +\frac{16}{x} = y^{2}(y^{2}+4)$

$=> y^{4} +4y^{2} = (2y^{2}-9y+4)^{2} -4 <=> (y^{2}+2)^{2} = (2y^{2}-9y+4)^{2} => y^{2}+2=\pm (2y^{2}-9y+4) =>y=>x .....$

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})\geq a+b+c$

Mình có cảm giác đề bài này sai sai. Mọi người giúp mình với

Cách khác nếu b cần . Gần giống cách của anh Sơn

Ta có

$\frac{a^{2}}{a+b}-a = \frac{-ab}{a+b}$

=> Ta cần cm :

$\sum \frac{\sqrt{ab}}{2} -\sum \frac{ab}{a+b} \geq 0$

Mà : 

$\sum \frac{\sqrt{ab}}{2} -\sum \frac{ab}{a+b} \geq \frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{ab}}{2}=0$( cauchy )

=> ĐPCM