1.Cho $0 \leq  a,b,c \leq 1$ và $a+b+c=7$. Tìm giá trị lớn nhất : $a^2+b^2+c^2$

2.Tìm $x$ : $x^4 + \sqrt{(x^2+1999)} = 1999$

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})\geq a+b+c$

Mình có cảm giác đề bài này sai sai. Mọi người giúp mình với

Cách khác nếu b cần . Gần giống cách của anh Sơn

Ta có

$\frac{a^{2}}{a+b}-a = \frac{-ab}{a+b}$

=> Ta cần cm :

$\sum \frac{\sqrt{ab}}{2} -\sum \frac{ab}{a+b} \geq 0$

Mà : 

$\sum \frac{\sqrt{ab}}{2} -\sum \frac{ab}{a+b} \geq \frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{ab}}{2}=0$( cauchy )

=> ĐPCM

a, b ,c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

1) $\frac{a}{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{2a^{2}+2c^{2}-a^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}\geq \sqrt{3}$

2) $ab+bc+ca\geq \frac{1}{5}(\sqrt{(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})(2a^{2}+2c^{2}-b^{2}})+\sqrt{(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})}+\sqrt{(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})})$

Chỗ này đề sai !

Cho a,b,c dương chúng minh:

$\sqrt{\frac{a}{c+b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\leq \frac{3}{2}$

Cách Khác : $(\sqrt{\frac{a}{c+b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}})^{2}\leq 3 (\sum \frac{a}{c+b+2a})=3(3-\sum \frac{a+b+c}{c+b+2a})=3\left [3-(a+b+c)(\sum \frac{1}{c+b+2a}) \right ]\leq 3\left [ 3-(a+b+c)(\frac{9}{4(a+b+c)}) \right ]^{2}=\frac{9}{4}$

=> Đpcm 

Dấu = xảy ra khi a=b=c

1.Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$ biết $a+b+c\geq 3$

2.Cho a,b,c dương thuộc $\begin{bmatrix} 3;5 \end{bmatrix}$*

3.Cho a,b,c>0.tìm gtln của $P=\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}$

4.Tìm min max của $A=\frac{x-y}{x^4+y^4+6}$

bài 3 nha <3

Ta có : $P=\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}} => 2P=\sum \frac{2\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}=3-\sum \frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\leq 3-\sum \frac{c}{a+b+c}=2$

=> Max P=1

Dấu = xảy  ra khi a=b=c <3

Cho a, b, c >0 thỏa abc=8 . CMR : $\sum \frac{a}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{2}{3}$

Bđt sai vs đ c=0,02 còn a=b=20 Bài này b chắc chế từ :

Cho a, b, c >0 thỏa abc=8 . CMR : $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{4}{3}$  Đúng không ?

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh

     $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\leq \frac{9}{4}$

P=$\sum \frac{a}{a+bc}=\sum \frac{a}{a(\sum a)+bc}=\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}=\frac{2(\sum ab)}{\prod (a+b)}$

Ấp dụng bđt : $\prod (a+b)\geq \frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)$

=> P$\leq \frac{2(\sum ab)}{\frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)}= \frac{9}{4}$(đpcm)

B1 có trong sách STBĐT nên mk lười gõ nữa nha :v

 

Cho các số thực không âm $a,b,c$ và $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{a}{a^{2}+b^{3}}+\frac{b}{b^{2}+c^{3}}+ \frac{c}{c^{2}+a^{3}}$

 

Ta có : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\sum a^{2})(\sum a^{2}+b^{3})\geq (a+b+c)^{3}=27(holder)$

Mà : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\sum a^{2})(\sum a^{2}+b^{3})\geq \sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\frac{(a+b+c)^{2}}{3})(\frac{(a+b+c)^{2}}{3} + (a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 3\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})} (30-\frac{8(a+b+c)^{3}}{9})\geq 18\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})} \geq 27$ ( đã cm trên )

=> Min : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}$ = $\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 

cho $0< a,b,c\leq 1$. Chứng minh : $\frac{1}{a+b+c} \geq \frac{1}{3} +(1-a)(1-b)(1-c)$

1. Từ giả thiết ta có:
$(a-1)(b-1)(c-1)-abc\leq 0\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ca)+a+b+c-abc-1\leq 0$
$\Rightarrow 2(a+b+c)\leq 2(ab+bc+ca)+2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq (a+b+c)^2-2(a+b+c)+2$
Đến đây thay số rồi tính
P/S: $a+b+c=7$ không thể xảy ra, bạn hãy sửa lại đề

= 2 b ạ !! Mình nhầm

Cho a,b,c>0 ; abc=1 .Tim Max : $\frac{1}{a^{5}+b^{5}+ab} + \frac{1}{b^{5}+c^{5}+bc} + \frac{1}{c^{5}+a^{5}+ac}$

Cho a,b,c là các số dương , Chứng minh :  $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(b+c)} + \frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$

Cho a,b,c dương . abc=3 . Chứng Minh : $(a+b+c)^{3}\geq 7(a+b+c) + \frac{2}{3}(a+b+c)^{2}$

.

Cho a, b, c dương thỏa a+b+c=3. CMR : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$

Ta có : P=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+bc+c^{2}}=\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$

Đặt : $\left ( \frac{b}{a};\frac{c}{b} ;\frac{a}{c}\right )->\left ( x;y;z \right )$

=>xyz=1

P=$\frac{1}{x^{2}+x+1}$

Tiếp tục đặt : $\left ( x;y;z \right )->\left ( \frac{np}{m^{2}};\frac{nm}{p^{2}};\frac{pm}{n^{2}} \right )$

Ta đưa bđt về cần cm : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}$

Mà : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}\geq \frac{(\sum m^{2})^{2}}{\sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}}$

BĐT sẽ được CM nếu chỉ ra : $(\sum m^{2})^{2}\geq \sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}$

Hay : $\sum m^{2}n^{2}\geq mnp(\sum m)$(bất đẳng thức này đúng theo cauchy)

Tài liệu này dc úp trên trang lttk mà giá mua là 50k khá chát. Nên mình đóng thành pdf  để mọi người in và dùng free . Nhớ like và share nếu thấy tài liệu bổ ích

https://drive.google...aXZrbmlHYXkxVVk

tks thím <3

Cho a, b, c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=6$

CMR: $\sum \frac{1}{3a+3b+2c}\leq \frac{3}{2}$

Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z ta có : $\sum \frac{1}{x}=6$

Mà : VT=$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\sum \frac{4}{x})=\frac{1}{4}(\sum \frac{1}{x})=\frac{3}{2}$ ( đpcm )

e nghĩ ko dc đặt ntn.Điều kiện bài toán sẽ bị thay đổi,

đặt được bình thường b à Vì khi mình đặt thì chỉ ở lần 2 mới liên quan đến diều kiện bài toán b ạ

Cái này hình như phải là $a$ chứ 

$\sum \frac{1}{a+b+c+\frac{b^{2}}{a}}\leq \sum  \frac{1}{2\sqrt{a+\frac{b^{2}}{a}}+b+c}$

Giải:

GT $\Rightarrow$ Tồn tại các số $x,y,z>0$ sao cho $a=\frac{y+z}{x};b=\frac{z+x}{y};c=\frac{x+y}{z}$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+z}}\leqslant \sqrt{3}$

Đến đây áp dụng BĐT Bunhiacopxki là ra

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

cái này là sao ạ

Cho a,b,c >0 . a+b+c=3 Chứng minh : $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + 9abc \geq 9$

Bạn có thể xem lại vế phải được không, dấu bằng xảy ra khi nào vậy?

Mình cũng k biết nữa K biết làm nên up lên cho m.n giải hộ thôi

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$. CM

$\frac{a}{a+b^{2}}+\frac{b}{b+c^{2}}+\frac{c}{c+a^{2}}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Ta có :

$\sum \frac{a}{a+b^{2}}=\sum \frac{1}{1+\frac{b^{2}}{a}}=\sum \frac{1}{a+b+c+\frac{b^{2}}{a}}\leq \sum \frac{1}{2b+b+c}\leq \frac{1}{16}(\sum \frac{4}{a})=\frac{1}{4}(\sum \frac{1}{a})$=) đpcm

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng

$(a^{2} + 2)(b^{2} + 2)(c^{2} + 2)\geq 9(ab + bc + ca)$

Đã có ở đây : 

http://diendantoanho...c2-geq-9abacbc/