Nếu mà tìm max thì dồn biến về b là xong

a, b càng nhỏ thì biểu thức chạy về 0 nhưng ko đạt cực trị tại 0 => ko có min

Bạn dùng khai triển Abel để phân tích rồi sử dụng giả thiết, ta tìm đuợc Min của biểu thức bằng 48.

max = 48 nha

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc$\LARGE \geq 1$.CMR

$\LARGE \frac{1}{1+a^3} + \frac{1}{1+b^3} + \frac{1}{1+c^3} \geq \frac{3}{1+abc}$

Trước tiên ta có bđt phụ : $\frac{1}{1+a^{2}} +\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$ ( Cái này b tự cm , nếu k cm được gì ib mình )

Ta có : $\frac{1}{1+a^{3}} + \frac{1}{1+b^{3}}\geq \frac{2}{1+\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}$

            $\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{4}}}$

        Cộng vế theo vế ta được :

 $\sum \frac{1}{1+a^{3}} +\frac{1}{1+abc}\geq 2(\frac{1}{1+\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{4}}})\geq 2\frac{2}{1+abc}=\frac{4}{1+abc}$

<=>$\sum \frac{1}{1+a^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} ( Q.E.D)$

Ta thuần nhất bất đẳng thức lại dưới dạng

\[(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geqslant 9abc(a^{3}+b^{3}+c^{3}),\]

hay là

\[\sum \left [a^4+11c^4+6b^3c+2ab^3+4ca^3+3c^2a^2+2(a^2-bc)^2+3(b^2-ca)^2+(c^2-ab)^2  \right ](a-b)^2 \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng.

Ah có thủ thuật gì khi phân tích được ra như thế không ạ

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$

Đối với những bài dạng như thế này , đầu tiên ta nhận thấy dấu = xảy ra tại a=b nên ta đưa nó về dạng : $\sqrt{(\alpha x+\beta y)^{2}+\gamma (x-y)^{2}}$ Để tìm Min

Mà : $\sqrt{(\alpha x+\beta y)^{2}+\gamma (x-y)^{2}} = \sqrt{(\alpha ^{2}+\gamma )x^{2}+(2\alpha \beta -2\gamma )xy+(\beta ^{2}+\gamma)y^{2} }$

Đồng nhất hệ số ta đưa nó về giải hệ : $$\left\{\begin{matrix} \alpha ^{2}+\gamma =2 \\2\alpha \beta -2\gamma =1 \\  \beta^{2}+\gamma=2\end{matrix}\right.$$

giải ra đươc : $\alpha =\beta =\sqrt{\frac{5}{2}} ; \gamma =\frac{3}{4}$

Sau đó đưa về cách giải của bạn le truong son đã đăng

Cho a,b,c $ \geq 0$ ;a+b+c=1.CMR

$\frac{a}{bc+1}+ \frac{b}{ac+1}+ \frac{c}{ab+1} \geq 1$

Ta có ; $\sum \frac{a}{bc+1} = \sum \frac{a^{2}}{abc+a} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3abc+\sum a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{(a+b+c)^{3}}{9}+\sum a}=\frac{9}{10}$

Uả ủa ủa ????  

 

Sai r T.T

1.tìm GTLN của B= ($(\sqrt{a}+ \sqrt{b})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{4}$ với a+b+c+d=1 và a,b,c,d>0

 

 

B xem lại đề dùm mình được không ? Hình như đúng phải là : $\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4}$

Ta có : $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4}=(a+b-2\sqrt{ab})^{2}=(a+b)^{2} -4(a+b)\sqrt{ab} + 4ab \leq (a+b)^{2} - 4ab = a^{2}+b^{2}-2ab$

Tương Tự ta được : $\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4} \leq 3(a+b+c+d)^{2}-8(ab+ac+ad+bd+bc+cd)\leq 3(a+b+c+d)^{2}=3$

Vậy max B =3 

Dấu = xảy ra khi (a;b;c;d)=(1;0;0;0) và các hoán vị

ngắn gọn

$(a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}\geq 4ab+\frac{a+b}{2}$

mà : $2ab+\frac{a}{2}\geq 2a\sqrt{b}$ 

        $2ab+\frac{b}{2}\geq 2b\sqrt{a}$

=>đpcm

Cho a,c,b là 3 số thực dương thỏa mãn ab + bc +ac +abc = 4 . Chứng minh :

$\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac} \leq 3$

Cho $abc=1$

Tìm GTNN : $A= \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a }$

Nếu đề cho a.b.c dương và tìm max thì mình có cách giải như sau

Ta có :

$\frac{1}{1+a+b}=\frac{c+2}{(1+a+b)(c+1+1)}\leq \frac{c+2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}=\frac{c+2}{a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}\leq \frac{c+2}{a+b+c+6}$

Thiết lập các bđt tương tự , cộng vế theo vế ta được Max A =1

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

????? hình như có gì sai sai nếu dùng cauchy thì nó phải là mu 2 chữ 

$\frac{5(a+b+c)^{2}}{3}+15\geq 2\sqrt{\frac{5(a+b+c)^{2}}{3}.15}=10(a+b+c)$

ok nha b

Chứng minh mọi $a,b,c>0$ ta có$ 2(a^2+b^2+c^2)+abc+8\geq  5(a+b+c)$

Ta có bđt phụ : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$ ( Bạn có thể xem cách cm tại đây : http://diendantoanho...geq-2abbcca/ ) 

Theo bài ta ta có : $P= 2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 <=> 2P= 3 (a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1)+15\geq 3 (a^{2}+b^{2}+c^{2}) + 2 ( ab+bc+ca)+15= 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}+15\geq \frac{5(a+b+c)^{2}}{3} +15 \geq 10(a+b+c)=) Q.E.D$

cái dòng cuối là sao bạn?

Cauchy đó b

Bài 1. Trong ba số $(2a^2-1)(2b^2-1), (2b^2-1)(2c^2-1), (2c^2-1)(2a^2-1)$ phải có một số không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử $(2b^2-1)(2c^2-1)\geqslant 0$ nên $4(b^2+1)(c^2+1)\geqslant 3(2b^2+2c^2+1)$

Do đó $4(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant 3(a^2+1)(1+2b^2+2c^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $(a^2+1)(1+2b^2+2c^2)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)(1+2b^2+2c^2)\geqslant (a+b+c)^2$

Do đó $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant \dfrac{3}{4}(a+b+c)^2$

Kỹ thuật anh dùng gọi là gì thế ạ

Cho a,b,c >0  ; abc$\geq$ 1

Chứng Minh : $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}} \leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

sorry mình nghĩ phức tạp quá ..........

Ah có cách nào giải dễ hiểu hơn k ạ

Ai có cách nào khác nữa k ạ

Cho a.b.c là các số dương thỏa mãn a+b+c=4 . Chứng minh :

$\sqrt[4]{a^{3}} + \sqrt[4]{b^{3}} + \sqrt[4]{c^{3}} > 2\sqrt{2}$

Đặt biểu thức là P

Sử dụng bất đẳng thức C-S, ta có:

$(a^5+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+b^2+c^2)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

Suy ra, ta có: $P\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{(a^2+b^2+c^2)^2}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}$

Ta chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a^2+b^2+c^2$

Thật vậy: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca= \frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Chỗ này sao lại đc 1/a + 1/b = 1/c b

Chỗ này sao lại đc 1/a + 1/b = 1/c b

Đặt biểu thức là P

Sử dụng bất đẳng thức C-S, ta có:

$(a^5+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+b^2+c^2)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

Suy ra, ta có: $P\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{(a^2+b^2+c^2)^2}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}$

Ta chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a^2+b^2+c^2$

Thật vậy: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca= \frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

từ 1/a + b^2 + c^2 sao lại ra được 1/a + 1/b + 1/c ?

\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}
=> \frac{a}{b+c}+ 1 + \frac{b}{a+c} +1 +  \frac{c}{a+b}+ 1\geq \frac{9}{2}
=> (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \geq \frac{9}{2}
=> 2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \geq 9
Đặt a+b = x ; b+c=y ; c+a = z

=> (x+y+z)\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \geq 9

Ta có : \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq  2

Nhân ra tự làm nhé )

cho : $a\geq 4$ Tìm Max của $S=a+\frac{1}{a^3}$

Nếu tìm Min thì chỉ cần cauchy là ra mà

<=>$$\frac{3a}{256}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{253a}{256} \geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{256^{3}}}+\frac{253a}{256}\geq \frac{1}{16} + \frac{253X4}{256} = 4\frac{1}{64}$$

Dấu = xảy ra khi a=4

.

VD a=2,b= -2 thì sao