Bài 81
Cho $a,b,c,d \ge 0 ; a+b+c+d=2$. C/m :
$\sum \frac 1{1+3a^2} \ge \frac{16}7$
cyndaquil nội dung
Có 61 mục bởi cyndaquil (Tìm giới hạn từ 25-05-2020)
#615455 Tiếp sức bất đẳng thức
Đã gửi bởi
on 16-02-2016 - 21:32
trong
Bất đẳng thức và cực trị
#614732 Tiếp sức bất đẳng thức
Đã gửi bởi
on 13-02-2016 - 18:18
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c>0$, C/m
Bài 74:$6\sum \frac{1}{a+5b} \le \sum \frac{1}{\sqrt{bc}}$
#602998 $\sum \frac 1{a+1} \ge 3$
Đã gửi bởi
on 13-12-2015 - 17:12
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c,d >0$ thõa mãn $\sum \frac 1{a+1} \ge 3$. Chứng minh $abcd \le \frac1{81}$
#602789 $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le x+y \le 2$
Đã gửi bởi
on 12-12-2015 - 19:21
trong
Bất đẳng thức và cực trị
1) Cho $x \ge y \ge z \ge 0 ; x^2+y^2+z^2=3$
Tìm GTNN : $A=(x+2)(y+2)(z+2)$
2) Cho $x,y>0$ thõa mãn $x^2+y^3=x^3+y^4$. Chứng minh $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le x+y \le 2$
3) Cho $x,y,z >0$ và $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN của $S=\sum \frac{1}{x+y}$
#601712 $\sum \dfrac{1+\sqrt{1+x^{2}}...
Đã gửi bởi
on 05-12-2015 - 12:33
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x, y, z> 0$ thoả mãn $x+y+z=xyz$. CMR:
$\dfrac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$
Dễ dàng c/m: $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx) \forall x,y,z$
$\Rightarrow \frac{xy+yz+zx}{x+y+z} \le \frac{x+y+z}{3}\Rightarrow \frac{xy+yz+zx}{xyz} \le \frac{x+y+z}{3}\Rightarrow \sum\frac1x \le \frac{x+y+z}{3}$
Ta có
$ VT=\sum \frac1 x+\sum \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} $
$\le \frac{x+y+z}3+\sum \frac{\sqrt{2}. \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{2}}}{x} \overset{Côsi}{\le} \frac{x+y+z}3+\sum\frac{2+\frac{x^2+1}{2}}{2x} $
$=\frac{x+y+z}3+\sum\frac{x^2+5}{4x}=\frac{x+y+z}3+\sum\frac{x}{4}+\frac54( \sum\frac{1}{x})$
$\le \frac{x+y+z}3+\frac{x+y+z}4+\frac{5}{4}.\frac{x+y+z}3=x+y+z=xyz=VP$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=\sqrt3$
#601500 $\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2...
Đã gửi bởi
on 03-12-2015 - 22:10
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Ở đây có vấn đề rồi bạn
mình sử dụng bđt này $\frac{1}{x+y+z} \le \frac{1}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ Với $x=b,y=1,z=1$ 
#601468 $\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2...
Đã gửi bởi
on 03-12-2015 - 20:38
trong
Bất đẳng thức và cực trị
cho ba số không âm thỏa mãn $a\geq b\geq c$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR:$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$
Áp dụng bđt Bunhiacốpski: $(1+1+1)(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2 \Leftrightarrow 9 \ge (a+b+c)^2 \Leftrightarrow a+b+c \le 3$
Lại có $3=a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$
$VP= \sum \frac{a}{b+1+1} \le \sum \frac{a}{9}(b+1+1)=\frac{\sum ab}{9}+\frac{2\sum a}{9} \le \frac{3}{9}+\frac{2.3}{9}=1$
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
#600884 $a+\frac{a}{1+ab}+\frac{4}{...
Đã gửi bởi
on 30-11-2015 - 18:59
trong
Bất đẳng thức và cực trị
2) $VT=(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt {b}}+\frac{1}{\sqrt {b}}+\frac 1{\sqrt {b}})+\frac 8{3c+2a} \ge \frac{16}{\sqrt a + \sqrt b+\sqrt b+\sqrt b}+\frac 8{3c+2a} \ge \frac{16}{2\sqrt{a+3b}}+\frac 8{3c+2a}=8(\frac1{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3c+2a}}) \ge 8.\frac{4}{\sqrt{a+3b}+\sqrt{3c+2a}} \ge \frac{8.4}{\sqrt{2(3a+3b+3c)}}=\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3(a+b+c)}} = VP $
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{3}{2}c$
#600730 Cho $x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}...
Đã gửi bởi
on 29-11-2015 - 21:02
trong
Đại số
Dễ thấy $x+y=-1;xy=\frac{-1}{2}$
Từ đó $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=2$
$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=\frac{-5}{2}$
Ta có $x^{11}+y^{11}=(x^5+y^5)(x^6+y^6)-x^5y^5(x+y)=[(x^3+y^3)(x^2+y^2)-x^2y^2(x+y)][(x^2+y^2)^3-3x^2y^2(x^2+y^2)]-x^5y^5(x+y)=\frac{-989}{32}$
#600616 Cho $a,b,c,d >0$ và $\sum a =2$ chứng minh...
Đã gửi bởi
on 29-11-2015 - 13:41
trong
Bất đẳng thức và cực trị
điều kiện ở tiêu đề ấy bạn, mà mình là mem mới có gì bỏ qua nha
#600614 Cho $a,b,c,d >0$ và $\sum a =2$ chứng minh...
Đã gửi bởi
on 29-11-2015 - 13:32
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh $\sum \frac{1}{1+3a^2} \ge \frac{16}{7}$
