Chứng minh rầng A=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}$ không là số tự nhiên.

Quy đồng hết lên, ta thấy trên tử số không chia hết cho 41 ( có thể chọn bất cứ số nguyên tố nào <100)

mà mẫu số chia hết cho 41 nên A không là số tự nhiên

Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$ , với x,y là các số tự nhiên

nhân hết lên. Viết delta theo x hoặc y. Là ra

Tìm các đa thức $f(x)$ thỏa mãn $x.f(x-1)=(x-3).f(x)$ và $f(2014)=1$

bạn thử làm dãy số xem sao. Mình nghĩ có thể thiết lập công thức truy hồi để tính. Sau đó tìm CTTQ của dãy số đó. Rồi kiểm tra và ra F(x)

Cho f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả:

f(f(n)) < f(n+1).

C/m f(n)=n , n$\in \mathbb{N}$

Cho f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả:

f(f(n)) < f(n+1).

C/m f(n)=n , n$\in \mathbb{N}$

Mình chỉ làm được 1 phần thôi nha.

Giả sử hàm cần tìm là 1 hàm đa thưc

Gọi f(n) có bậc là m

Suy ra f(f(n)) sẽ có bậc là m^2

Vì f(f(n))<f(n+1) với mọi n là số tự nhiên

nên m^2 <=m

Suy ra m=0 hoặc m=1

Với m=0 => f(n) là hằng => Vô lý

Với m=1 => f(n)=an+b

Thay vào ta đc a^2n+ab+b<ax+a+b. Suy ra f(n)=n

Giải PTH trên tập số thực:

$f(x^2+f(y))=xf(y)+2y$

Dễ thấy f  song ánh

khi đó tồn tại a sao cho f(a)=0

Khi đó, thay y=a, ta đc

f(x^2)=2a, với mọi x thuộc R

Do đó f(x)=2a với x>=0. Mà dễ thấy f là hàm lẻ

do đó f(x)=2a với mọi x thuộc R

Suy ra f(x)=2a. Thử lại không thỏa. Vậy không có hàm thỏa yêu cầu bài toán 

Tìm f:R->R thỏa mãn:

$f(x+1)=f(x)$

Hãy tìm 1 hàm thỏa mãn điều kiện trên, cho VD f(x) bằng gì ạ . 

Đây là hàm sai phân bậc 1

 

 

Câu 3: (5.0 điểm)

Cho ba số thực a,b,c thỏa : $0<a\leq 2$ ; $0<b\leq 2$ ; $0<c\leq 2$                             

CMR : $4[(abc+1)(a+b+c) + 3(ab+bc+ca)] \geq 45abc$ 

Câu 3:  Chia abc xuống, dùng AM-GM cho 45 số dựa vào điểm rơi a=b=c=2

 

1.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(xy)=y.f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

 

 

Thay x=1 => f(y)=yf(1)

Đặt f(1)=a=> f(x)=ax

Thử lại thõa. Vậy f(x)=ax

 

1.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(xy)=y.f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

2.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(x+y)=y+f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

3.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$x.f(y)+y.f(x)=(x+y)f(y).f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

4.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:$f(x+y)+f(xy)=x+y+xy$

 

5.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} f(0)=\dfrac{1}{2} & & \\ \exists a:f(a-y)f(x)+f(a-x)f(y)=f(x+y) & & \end{matrix}\right.\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

 

2/ 

Ta  có f(x+y)=y+f(x)=x+f(y)

Thay y=1, ta được

f(x)+1=x+f(1) => f(x)=x+c. 

Thử lại thõa. Vậy f(x)=x+c

 

1.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(xy)=y.f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

2.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(x+y)=y+f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

3.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$x.f(y)+y.f(x)=(x+y)f(y).f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

4.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:$f(x+y)+f(xy)=x+y+xy$

 

5.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} f(0)=\dfrac{1}{2} & & \\ \exists a:f(a-y)f(x)+f(a-x)f(y)=f(x+y) & & \end{matrix}\right.\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

 

3/ Thay y=x, ta được

2x.f(x)=2x.f(x)^2

Khi đó f(x)=f(x)^2 với x khác 0

<=> f(x)=0 hoặc f(x)=1. Thử lại thõa

 

1.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(xy)=y.f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

2.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(x+y)=y+f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

3.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$x.f(y)+y.f(x)=(x+y)f(y).f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

4.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:$f(x+y)+f(xy)=x+y+xy$

 

5.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} f(0)=\dfrac{1}{2} & & \\ \exists a:f(a-y)f(x)+f(a-x)f(y)=f(x+y) & & \end{matrix}\right.\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

 

4/

Thay y=0 => f(0)=0

Đặt g(x)=f(x)-x

Thay vào ta được

g(x+y)+g(xy)=0

Thay y=0, ta được

g(x)=0=>f(x)=x

Thử lại thấy thỏa

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi I và K là trung điểm của các đường chéo BD và AC. Chứng minh rằng: Ba điểm I,O,K thẳng hàng

Bài này có trong cuốn nâng cao và phát triển toán 9

Cho tam giác ABC.CMR: $\sum\frac{1}{l_{a}} \geq \frac{2}{\sqrt{3}}.\sum\frac{1}{a}$

 

Chế được bài này, các bạn giải thử xem   

Dùng công thức phân giác :3

Họ tên: Nguyễn Trường Hải

Nick trong diễn đàn: superpower

Năm sinh: 2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp THCS và THPT

Cho $a,b,n \in \mathbb{Z^+}$. Chứng minh rằng 

                             $(n^a-1,n^b-1)=n^{(a,b)}-1$

 

và                          $(n^a+1,n^b+1) | n^(a,b)+1$ khi $n$ chẵn  

Làm ý đầu nha

=>

đặt (n^a-1,n^b-1)=d

đặt ord(n)d=h

Khi đó h|a

           h|b

=> h|(a;b)

Suy ra n^(a;b)-1 chia hết cho d

<= Hiển nhiên nên có điều phải chứng minh.

Bài này còn 1 cách CM theo định lý bezout, bạn có thể tìm trên mạng

Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $x$,$y$,$z$ sao cho $x^3+y^3=z^3$ 

Ta dễ dàng chứng minh được a^3=0,1,6 ( mod 7) đồng dư nha 

Suy ra x^3+y^3 = 0,1,6 mod 7

TH1: x^3+y^3=0 mod 7=> x,y chia hết cho 7 hoặc x=1(mod7);y=6(mod 7)

         Khi x,y=0(mod 7)=> z=0(mod 7). Rút 7 2 vế, quay lại từ đầu

         Khi x=1(mod7),y=6(mod 7) => z=0(mod 7)

TH2: x^3+y^3=1 mod 7=> x=0(mod7);y=1(mod7)

TH3: x^3+y^3=6 mod 7=> x=0(mod7), y=6( mod 7)

Bạn làm theo hướng này thử nha 

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n! là số chính phương.

Theo mình nghĩ là không tồn tại n nhé

Vì lấy số nguyên tố gần nhất với n

Thì không còn số nào chia hết cho p hết ( Vì tích của n số tự nhiên đầu tiên )

Nên không thể là số chính phương. 

Bạn có lời giải không? Mình giải mãi không ra

n=1

n=1 xét riêng được mà. 1 thì đặc biệt quá. Lời giải trên kia còn nhiều chỗ hở

BĐT cần chứng minh tương đương với:$4\left ( 1+\frac{1}{abc} \right )(a+b+c)+12\left ( \frac{ab+bc+ac}{abc} \right )\geq 45$

 

$\Leftrightarrow 4(a+b+c)+4\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+12\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 45$

 

Thật vậy:Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:$4(a+b+c)+4\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+12\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 12\sqrt[3]{abc}+\frac{12}{\sqrt[3]{(abc)^2}}+\frac{36}{\sqrt[3]{abc}}$

 

Đặt  $t=\sqrt[3]{abc}$

 

Khi đó:$12\sqrt[3]{abc}+\frac{12}{\sqrt[3]{(abc)^2}}+\frac{36}{\sqrt[3]{abc}}=12t+\frac{12}{t^2}+\frac{36}{t}=\frac{12t^3+36t+12}{t^2}$

 

Xét hiệu:$\frac{12t^3+36t+12}{t^2}-45=\frac{12t^3-45t^2+36t+12}{t^2}=\frac{(t-2)^2(12t+3)}{t^2}\geq 0$

 

$\Rightarrow 4(a+b+c)+4\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+12\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 45$

 

$\Rightarrow \mathbb{ĐPCM}$

cũng dùng ý tưởng như bạn. Xét hàm rồi chứng minh >=0 bằng phân tích nhân tử. Chứ không dùng bđt như ban

Vậy thì ta phải cm $p<n<p^2$ trong đó p là ước nguyên tố lớn nhất của n. Điều này không hiển nhiên đâu nhé.

do n! mà. Nên cũng dễ hiểu. Mà bây giờ tìm cách chứng minh cho thuyết phục

làm cụ thể đi bạn

Chỉ cần dùng AM-GM. Đưa vế trái về toàn biến theo a.b.c, Sau đó xét hàm. Phân tích nhân tích. Là ra đpcm

có ai giải bài hình không?

Bài hình dùng hàng điểm điều hòa nha bạn. Mình làm ra mà không biết đánh latex nên không up được. Mình thấy đề này làm trong 2 tiếng thì hơi khó. Mình bí bài pt

Cách khác: BĐT tương đương $\sum \frac{4}{1-c}\leq \sum \frac{1}{c}+9$

Ta chứng minh: $\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\leq 18c-3$ $(1)$

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 5c-1\leq -18c^{3}+21c^{2}-3c\Leftrightarrow 18c^{3}-21c^{2}+8c-1\leq 0\Leftrightarrow \left ( 3c-1 \right )^{2}(2c-1)\leq 0$

Do $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên $a+b>c\Leftrightarrow c< \frac{1}{2}$

Vậy bđt cơ sở là đúng 

Tương tự $\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\leq 18a-3$ và $\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\leq 18b-3$

Cộng 3 bđt lại suy ra đpcm 

Điển hình của UTC :v

tìm số dư của $3^{2^{4n+1}}$ khi chia cho 22

Bạn chứng minh quy nạp nhé. Khá dễ

Bạn tính $3^{2^{4n}}$ đồng dư 3 mod 22

               $3^{2^{4n+1}}$ đồng dư 9 mod 22

              $3^{2^{4n+2}}$ đồng dư 15 mod 22

              $3^{2^{4n+3}}$ đồng dư 5 mod 22