bài này có cho a,b,c là 3 số dương không bạn

66% sắt có trong 25 tấn quặng =25.(66/100)=16,5 (tấn)

quặng loại 1 chứa 75% sắt = x.(75/100)=0,75x (tấn)

quặng loại 2 chứa 50% sắt=y.(50/100)=0,5y (tấn )

Giải hệ gồm x+y=25

                    0,75x+0,5y=16,5 

Cho tam giái ABC vuông tại C có BC=a: AC=b; AB=c

Tìm min của $\ P=\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc}$

ban

$P=(sin^2 \alpha +cos^2 \alpha)^3-3.sin^2\alpha.cos^2\alpha(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)$
$\geq 1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ (do theo $AM-GM: sin^2\alpha.cos^2\alpha \leq \frac{1}{4}(sin^2\alpha+cos^2\alpha)^2=\frac{1}{4})

bạn làm giúp bài tiếp dùm mình vs bạn

1.      Tìm min ::                P = sin⁶ a +cos⁶ a

 2.       Tìm max:        P=$3sin a +\sqrt{3}cosa$

3.         Chứng minh $\left | ab+cd \right |\leq \sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}$ với a,b,c,d là các số thực

$(x-1)^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}-2x+1\geq 0$

$2(y-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2y^{2}-4y+2\geq 0$

Suy ra$x^{2}+2y^{2}-2(x+2y)+3\geq 0\Rightarrow x^{2}+2y^{2}\geq 2(x+2y)-3=2.3-3=3$

Min=3 khi x=y=1

$a^{3}+b^{3}+ab=(a+b)((a+b)^{2}-3ab)+ab=1-2ab\geq 1-\frac{(a+b)^{2}}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Min=1/2khi a=b=1/2

Cho em hỏi tại sao $2a\mid(a-b, a+b)$ và $2b\mid (a-b,a+b)$ vậy ạ?

$(a+b;a-b)=d\Rightarrow (a+b)+(a-b)\vdots d\Leftrightarrow 2b\vdots d$

Giả sử a,b,c là các số thực, $a\neq b$ sao cho hai phương trình $x^{2}+ax+1=0$, $x^{2}+bx+c=0$ có nghiệm chung và hai phương trình $x^{2}+x+a=0$, $x^{2}+cx+b=0$  có nghiệm chung. Tính $a+b+c$

 UCLN(m;n)=150 =>m=150k₁ ; n=150k₂    ( k₁;k₂   thuộc N*)        (1)

 BCNN(m;n)=1800=>m=1800/q₁;       n=1800/q₂ (q₁;q_{2 thuộc} N*)       (2)

 Từ (1) và (2) =>    150k₁=1800/q_{1 ;}   150k₂=1800/q₂

                              => k₁q₁=12

                                    k₂q₂=12 

Giải phương trình nghiệm nguyên tìm được k, q thay vô là xong

Giải như sau:

Gọi$x_{0}$ là nghiệm chung của x^2+ax+1=0 và x^2+bx+c=0

     $x_{2}$ là nghiệm chung của x^2+x+a=0 và x^2+cx+b=0

Ta có $x_{0}^2+ax_{0}+1=x_{0}^2+bx_{0}+c=>x_{0}=\frac{c-1}{a-b}$

=>Nghiệm còn lại:$x_{1}=\frac{a-b}{c-1}$

Tương tự có nghiệm của pt:x^2+x+a=0 là $x_{2}=\frac{a-b}{c-1}$

=>x^2+ax+1=0 và x^2+x+a=0 có nghiệm chung

Thay vào ta có: (a-1)($x_{1}-1$)=0

=>Đến đây thì dễ rồi: kết quả a+b+c=-3  

lúc nãy ghi đề sai làm k ra

P/s: bạn làm y chang đáp án

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương

1.   Cho         $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh:         $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

2. Cho        $abc=1$

Chứng minh          $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

4. Cho   $x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=3$

Tìm Max     $M=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Bài 1:

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{16}{2x+y+z}$

 

tương tự ...........

 

$\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}.4\sum \frac{1}{a}=1$

 

Bài 2:

 

$a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2\geq 2(ab+a+1)$

 

tương tự ......................

 

$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{ab+a+1}=\frac{1}{2}$

(do $abc=1$)

 

Bài 3:

 

$b+c\geq 16abc\Leftrightarrow b+c\geq 16(1-b-c)bc\Leftrightarrow (b+c)(1+16bc)\geq 16bc$

 

Thật vậy:  $(b+c)(1+16bc)\geq 2\sqrt{bc}8\sqrt{bc}=16bc$       (ĐPCM)

Làm giúp bài 4 luôn bạn

Bài 1. giả sử 2ⁿ-1 là scp => 2ⁿ-1=(2k+1)²   biến đổi được 2ⁿ=4k²+4k+2 vô lý  (vì n>1 nên 2ⁿ chia hết 4) =>2ⁿ-1 ko cp

Bài 2: b=a+1; c=a+2; d=a+3 

 bacd= (a+1)a(a+2)(a+3)=1000(a+1)+100a+10(a+2)+a+3=1111a+1023 cp =>tận cùng =0,1,4,9,6,5 =>a thuộc 1,6,3,2(a<7) 

 mà cp=> chia 3 dư 1,0 => a thuộc  1,6,3 thay vào được 3 cần tìm

Bài 4: $\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{7}{25}\Rightarrow 7a^{2}-25a+7b^{2}-25b=0$

                    $\Delta =625-196b^{2}+700\geq 0\Rightarrow 4\geq b\geq 0$ vì b nguyên 

     nên b thuộc 0,1,2,3,4 thvào pt giải a nguyên :a=0,b=0            a=4,b=3          a=3,b=4

$\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{9}{4}x(1-x^{2})\geq \frac{3}{2}x$ .......

$\Rightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}}\geq \sum \frac{9}{4}x^{3}+\frac{3}{4}x\geq \sum \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(xy+yz+xz)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

giải kĩ câu 3 với bạn

Đặt x-y=a: y-z=b: z-x=c

Khi đó a+b+c=x-y+y-z+z-x=0

Ta có: $\sqrt{\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2(a+b+c)}{abc}}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}}=\sqrt{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

đoạn chữ đỏ sao suy ra đc thế bạn? Bé hơn hoặc bằng mà

viet nham

đặt $\ a=x^{3}$  b c tương tự

      khi đó $\ abc=1\Rightarrow (xyz)^{3}=1\Rightarrow xyz=1$

bài toán viết thành  $\ \sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1} $\dpi{200} \leqslant 1$

$\ x^{3}+y^{3}+1=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+xyz\geqslant (x+Y)(2xy-xy)+xyz=(x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)$

do đó   $\ \sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}\geqslant \sum \frac{1}{xy(x+y+z)}=\sum \frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}=1$

anh giải dùm em luôn đi

Ý tưởng: $\left\{\begin{matrix} c^{2}=a^{2}+b^{2} \\ \frac{ab}{2}=a+b+c \end{matrix}\right.$

Với $c$ là độ dài canh huyền còn $a;b$ là 2 cạch góc vuông.

vẫn chả giải ra

$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2} & & \\ \ \frac{ab}{2}=a+b+c& & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow ab=2(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})\Leftrightarrow ab-2a-2b=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+4a^{2}+4b^{2}-4a^{2}b-4ab^{2}+8ab=4a^{2}+4b^{2}\Leftrightarrow ab-4a-4b+8=0\Leftrightarrow (a-4)(b-4)=8$

Đến đây bạn phân tích 8=1.8=2.4 rồi giả sử a<b thì giải ra thôi

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

2.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow ac+bc=ab$

$\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc}=\sqrt{(a+b-c)^{2}}=a+b-c$

3.đặt x-y=a ... khi đó a+b+c=0

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2(a+b+c)}{abc}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

Với q>3 ; Tìm 2 số nguyên tố q và r biết 2^q+q²=r

Hướng giải 

$2^{q}+q^{2}\equiv 2$ ( mod 3 ) $\Rightarrow r-2=3k$

Mặt khác: theo định lý nhỏ Fermat: $2^{q}-2 \vdots q \Rightarrow r-2\vdots q$

Do đó $3k\vdots q$ đến đây làm sao để chứng minh (k;q)=1 vậy chỉ mình với