Mình ko gõ latex dc

Bài 65:
(Bài viết của sát thủ)
Bài 1:
Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trên cạnh BC ( M khác B,C). Vẽ MD vuông góc AB và ME vuông góc AC ( D thuộc AB, E thuộc AC).Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MDE max.
Bài 2:
Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';R') với R'>R, cắt nhau tại hai điểm A,B. Tia OA cắt (O') tại C và tia O'A cắt đường tròn (O) tại D. Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh BC và BE.
Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của (O) lấy M bất kì khác A.Trên tiếp tuyến tại M của (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD=BE=BA.Đường thẳng BM cắt (O) tại điểm thứ hai N.
a) CM: BDNE nội tiếp.
b) CMR đường tròn ngoại tiép tứ giác BDNE tiếp xúc với (O).
PS:  đây là các bài toán bên box Hình học

$\bigtriangleup DBM$: DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}BM$
$\bigtriangleup MEC:$ ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}MC$
S tg MED=$\frac{1}{2}$$\sin DME.MD.ME=\frac{1}{2}\sin DME.\frac{3}{4}.BM.MC\leq \frac{1}{2}\sin DME.\frac{3}{4}.(\frac{BC}{2})^{2}$
Dấu "=" xảy ra khi BM=MC hay M là tr.đ BC

Lời giải bài 102:

Bổ đề quen thuộc với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác:

                                   $(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)\leq abc$

Áp dụng bổ đề ta được: $\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{abc}{abc}}=3$ (đpcm)

Dấu " = " tại a=b=c.

30. ĐK: $a,b,c\geq 0$; $a+b+c\geq 3$

$\frac{1}{a^{2}+b+c}+\frac{1}{a+b^{2}+c}+\frac{1}{a+b+c^{2}}\leq 1$

$\sum \frac{1}{a^{2}+b+c}\leq \sum \frac{1}{a^{2}-a+3}$

chứng minh bđt: $\frac{1}{a^{2}-a+3}\leq \frac{4}{9}-\frac{a}{9}$

thiết lập bđt tương tự ta được: $\sum \frac{1}{a^{2}-a+3}\leq \frac{-(a+b+c)}{9}+\frac{4}{3}\leq 1$

dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

19. ĐK: $a,b,c> 0$ $abc=1$

$\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}+\frac{c}{c^{2}+2}\leq 1$

http://diendantoanho...-1/#entry647858

27. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

Theo đk ta có: 0<a<$\sqrt{3}$ tương tự b,c cũng vậy.

Chứng minh bđt: $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^{2}}{2}+\frac{1}{2}$ (chứng minh bằng biến đổi tương đương) 
Thiết lập các bđt tương tự ta được: $\sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$

dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

40. ĐK: $a,b,c > 0$;  $a+b+c=3$

$\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2a^{3}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{3}}\geq 1$

hình như chỗ này lộn rồi bạn ơi

18.ĐK: $a,b,c> 0$

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a^{3}}{3(a^{2}+b^{2})}=\frac{2a(a^{2}+b^{2})-2ab^{2}}{3(a^{2}+b^{2})}=\frac{2a}{3}-\frac{2ab^{2}}{3(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{2a}{3}-\frac{b}{3}$

thiết lập các bđt tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm

42. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{a^{3}}{2b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{2c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{2a^{2}+b^{2}}\geq 1$

Bổ đề: $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

            $a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$\sum \frac{a^{4}}{2ab^{2}+ac^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2})}\geq \frac{9}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=1$

43. ĐK: $a,b,c> 0$; &a+b+c=1$
$\frac{1-2ab}{c}+\frac{1-2bc}{a}+\frac{1-2ca}{b}\geq 7$

Ta có: $\sum \frac{1-2ab}{c}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ac}{c}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+4(a+b+c)\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}.\frac{9}{a+b+c}+4=7$

 

Bạn đăng những bài chưa làm và bài còn lại đi!

 

21. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ac}\geq \frac{9}{3+a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{3}{2}$

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Cho $a,b,c > 0$. Tìm GTNN của $A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{b+a}+\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}$

$A=\sum \frac{a}{b+c}+\sum \frac{b+c}{4a}+\frac{3}{4}\sum \frac{a+b}{c}\geq \sum 2\sqrt{\frac{a}{b+c}.\frac{b+c}{4a}}+\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}}\geq 3+\frac{9}{4}\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=\frac{15}{2}$

dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Bài 23:

Chứng minh bổ đề: $3(a+b+c+d)^{2}\geq 8(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \sum \frac{a^{2}}{ab+2ac+3ad}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{\frac{3}{2}(a+b+c+d)^{2}}=\frac{2}{3}$

4) cách dùng AM-GM:

$4a+4b+4c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3(a+b+c)\geq 6\sqrt[6]{4^{3}}-3.\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$

cho mình hỏi câu hình cuối vòng 1 làm như thế nào

câu bất lúc làm em bí quá nên dùng bất đẳng thức hoán vị nên ko biết có đúng không 

Giả sử $x \geq y \geq z$ thì $\sum_{cyc}\frac{xy}{x^2+xz+yz} \leq \sum_{cyc}\frac{x^2}{x^2+xz+yz} \leq \sum_{cyc}\frac{x^2}{xy+yz+zx}$ 

Nếu bạn giả sử x$\geq y\geq z$ thì $\frac{1}{z}\geq \frac{1}{x}$ rồi. Phân số cuối ngược dấu rồi bạn ơi.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của $\angle$BAH và $\angle$CAH cắt BC lần lượt tại D,E. Gọi O là giao điểm của các đường phân giác. Tính $\angle$DOE. Nếu thấy hay thì like dùm mik nha  .

O là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ hả bạn?

Theo Ta-lét ta có: $\frac{MA}{MD}=\frac{NA}{NC}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{NC}{CA}=\frac{NP}{AB}=\frac{2}{3}\Rightarrow NP=\frac{2}{3}AB$

Mặt khác: $\frac{MA}{MD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{MN}{DC}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN=\frac{1}{3}DC=\frac{2}{3}AB$

Vậy: $\frac{MN}{NP}=1$

Nguồn: facebook thầy Võ Quốc Bá Cẩn

 

Bài 2: Tìm các số nguyên không âm x, y sao cho: $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

 

Xét $y=0\Rightarrow x=1$

Xét $y> 0$, ta có :

$y^{2}< y^{2}+\sqrt{y+1}< y^{2}+y+1< y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}$

$\Rightarrow y^{2}+\sqrt{y+1}$ không thể là số chính phương

Vậy cặp nghiệm nguyên không âm cần tìm là $(x;y)=(1;0)$

12) Đặt $a=x;b=\sqrt{1-x^{2}}$

có hệ $\left\{\begin{matrix} a^{3}+b^{3}=\sqrt{2}ab & & \\ a^{2}+b^{2}=1 & & \end{matrix}\right.$

Chịu khó giải hệ đối xứng loại I

8) $\Leftrightarrow x^{2}-x-1+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}-x=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x-1)(1+\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{(x^{4}-x^{2})^{2}}+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}.x+x^{2}})=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$

Em làm theo cách chuẩn hóa: 

Chuẩn hóa a+b+c=3

bđt cần CM tương đương:

$\sum \frac{(3-2a)^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Chứng minh bđt: $\frac{(3-2a)^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{23}{23}-\frac{18}{25}a$

Tương tự ta ta được:

$\sum \frac{(3-2a)^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{69}{25}-\frac{18}{25}(a+b+c)=\frac{3}{5}$

Dấu " = " tại a=b=c

7) Bình phương ra được:

$x(85x-4)=0$

Mình giải cũng chả có gì đặc sắc, không biết có đúng không

Bài 4:

Xét x=0, suy ra y không thỏa

Xét x=1, suy ra y không thỏa

Xét $x>1$, pt đã cho tương đương:

$2^{x}+135=y^{2}$

Ta có: $2^{x}\equiv 0(mod4); 135\equiv 3(mod4)\Rightarrow VT\equiv 3(mod4)$

Mà $y^{2}\equiv 0,1(mod4)$

Vậy không có cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn đề bài.

Bài 2:

$pt(1)+2.pt(2):(3x+y)^{2}+2(3x+y)-\frac{119}{25}=0$

                      $\Leftrightarrow 3x+y=\frac{7}{5} \vee 3x+y=\frac{-17}{5}$