$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y+x^{3}y+xy^{2}+xy=\frac{-5}{4} & & \\ x^{4}+y^{2}+xy(1+2x)=\frac{-5}{4} & & \end{matrix}\right.$

$\longrightarrow PT(1)=PT(2)$

$\longrightarrow x^4+y^2+xy(1+2x)=x^2+y+x^3y+xy^2+xy$

$\iff x^4-x^3y+x^2(2y-1)-xy^2+(y^2-y)=0$

$\iff (x^2-xy+y-1)(x^2+y)=0$

$\iff (x-1)(x-y+1)(x^2+y)=0$

Với $x=1$, thay vào (1) dễ dàng tìm được $y$

Với $y=x+1$, thay vào (1) ta đc phương trình bậc 4 đối xứng: $x^4+2x^3+4x^2+3x+\dfrac{9}{4}=0$

Với $y=-x^2$, thay vào (1) ta có: $x^3=\dfrac{5}{4} \longrightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{5}{4}}$

Cho hàm số $y=x^3+(102m)x^2+(2-m)x+m+2$ (1) $m$ là tham số.

Tìm tham số $m$ để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng $d: x+y+7=0$ một góc $\alpha$, biết $\cos \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{26}}$

cho $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$ và $3x+2y+z=4$

Tìm max $Q=3x^{2}+2y^{2}+z^{2}$

$P=3x^2+2y^2+z^2$

$=z(z-y)+(z+2y)(y-x)+x(z+2y+3x)$

$\leq 1.(z-y)+3(y-x)+4x=z+2y+x$

$=\dfrac{1}{3}[2(z+2y)+(z+2y+3x)]$

$\leq \dfrac{10}{3}$

Vậy $Max=\dfrac{10}{3} \iff y=z=1;x=\dfrac{1}{3}$

Giải BPT, PT sau:

2. $2+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2-x+2}(1+\sqrt{x^2-x+3})$

Ta có: $\sqrt{x^2-x+2}(1+\sqrt{x^2-x+3}) > 2 \rightarrow x\sqrt{x^2+1} >0 \rightarrow x>0$

Đặt $\sqrt{x^2-x+2}=a \rightarrow 2=a^2+x-x^2$

$\iff a^2+x-x^2+x\sqrt{x^2+1}=a+a\sqrt{a^2+1}$

$\iff -x^2+x+x\sqrt{x^2+1}=-a^2+a+a\sqrt{a^2+1}$

Xét hàm $f(t)=-t^2+t+t\sqrt{t^2+1}$ với $t>0$

có $f(t)'=-2t+1+\dfrac{2t^2+1}{\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{-2t\sqrt{t^2+1}+\sqrt{t^2+1}+2t^2+1}{\sqrt{t^2+1}}$

Xét $-2t\sqrt{t^2+1}+\sqrt{t^2+1}+2t^2+1=(t-\sqrt{t^2+1})^2+\sqrt{t^2+1}>0$

Vậy $f(t)'>0$ nên hàm số đồng biến trên $t>0$

Vậy $x=a \iff x=\sqrt{x^2-x+2}$

Đến đây ta bình phương 2 vế bình thường

Đặt $x^2=a$, thay vào ta có:

$\begin{cases} &  a^2-4a+y^2-6y+9=0 \\  &  ay+a+2y+22=0 \end{cases}$

$PT(1)+PT(2) \iff a^2+y^2+2ay-2a-2y+53=0$

$\iff (a+y)^2-2(a+y)+53=0$ (PT vô nghiệm)

Vậy hệ vô nghiệm.

$GTNN$ của $M=m^4+(3-m)^2$

$M=m^4+m^2-6m+9=(m^4-2m^2+1)+3(m^2-2m+1)+5=(m^2-1)^2+3(m-1)^2+5 \geq 5$

$\text{Min}=5 \iff m=1$

Bạn làm sao để định hướng tách ra như vậy?

Chắc đây là toán violympic, mình dùng máy tính thì ra tại $x=1$ thì đạt giá trị nhỏ nhất là $5$ nên nhóm ra như vậy thôi

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}x^4-y^4=\frac{121x-122y}{4xy} \\x^4+14x^2y^2+y^4=\frac{122x+121y}{x^2+y^2} \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z \in [1;2]$. Tìm GTNN của biểu thức

      $P=\frac{2(x+y)}{\sqrt{z^2+4xy}}+\frac{3z^2}{z^2+4xy}$

$P=\dfrac{2(x+y)}{\sqrt{z^2+4xy}}+\dfrac{3z^2}{z^2+4xy}$

$=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{z^2}{(x+y)^2}+\dfrac{4xy}{(x+y)^2}}}+\dfrac{3}{1+\dfrac{4xy}{z^2}}$

$\geq \dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{z^2}{(x+y)^2}+1}}+\dfrac{3}{1+\dfrac{(x+y)^2}{z^2}}$ (với $4xy \leq (x+y)^2$)

Đặt $\dfrac{z^2}{(x+y)^2}=a$ với ($\dfrac{1}{16} \leq a \leq 1$)

Ta có: $f(a)=\dfrac{2}{\sqrt{a+1}}+\dfrac{3a}{a+1}$

$\rightarrow f(a)'=\dfrac{3}{(a+1)^2}-\dfrac{1}{(a+1)\sqrt{a+1}} \rightarrow f(a)'=0 \iff \sqrt{a+1}=3 \iff a=8$

Ta có: $f(\dfrac{1}{16})=\dfrac{3+8\sqrt{17}}{17}; f(1)=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}; f(8)=\dfrac{10}{3}$

Vậy $Min=\dfrac{3+8\sqrt{17}}{17}$, dấu "=" có khi: $x=y=2; z=1$

Bài toán : Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn (C): $(x-3)^2+(y+2)^2=\dfrac{27}{2}$ có tâm $I$ và đường thẳng $d: x+y+5=0$. Từ điểm M thuộc $d$ kẻ các tiếp tuyến $MA, MB$ đến đường tròn $(C)$ (A,B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho diện tích $\Delta IAB=\dfrac{27\sqrt{3}}{8}$ và độ dài đoạn $AB$ nhỏ nhất.

$ $Tồn tại đường tròn $(C_2)$thỏa điều kiện trên khi dây cung nhỏ nhất qua M của $(C_1)$có độ dài không lớn hơn đường kính $(C_2) $
Kẻ dây cung CD qua M của $(C_1)$, kẻ dây cung AB qua M của $(C_1)$ và vuông góc OM
hạ OH vuông góc CD tại H
ta có $ CD^2 =4CH^2 =4(OC^2 -OH^2)\geq 4(OC^2 -OM^2) $
$ \Rightarrow $ dây cung CD qua M nhỏ nhất khi nó vuông góc OM hay $ CD\equiv AB $
pt tham số của dây cung trên là
$ \left\{\begin{matrix}x =1 +2t\\y =-2 +t\end{matrix}\right. $
=>tọa độ điểm A, B  là (-3, -4) và (5, 0)
=>độ dài cung AB =$4\sqrt{5}<4\sqrt{10}$
=>$ $tồn tại $(C_2) $
tâm O' của $C_2$ sẽ nằm trên OM sao cho $O'A =2\sqrt{10}$
 pt tham số của OM là
$\left\{\begin{matrix}x =t\\y=-2t\end{matrix}\right.$
=>O' =$(-1, 2)$ hoặc O'=$ (3, -6) $

đây ạ ( cách của thầy em)

Bài toán: 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường $(C_1)$ có phương trình $x^2+y^2=25$, điểm $M(1;-2)$. Đường tròn $(C_2)$ có bán kính bằng $2\sqrt{10}$. Tìm tọa độ tâm của đường tròn $(C_2)$, sao cho $(C_2)$ cắt $(C_1)$ theo một dây cung qua $M$ có độ dài nhỏ nhất

Cần phải xét giá trị của x mới đặt được như vậy bạn nhé

do điều kiện ta tìm được $0 \leq x \leq 3$, đến đây có thể đặt luôn vì phần dưới căn luôn dương

Giải bất phương trình :

1,$\left | 2x-3 \right |+\left | 2x-7 \right |\leq \sqrt{-x^2+4x+12}$

$|2x-3|+|2x-7| =|7-2x|+|2x-3| \geq |7-3|=4$

Lại có $\sqrt{-x^2+4x+12}=\sqrt{-16-(x^2-4x+4)}=\sqrt{16-(x-2)^2} \leq \sqrt{16}=4$

$\iff |2x-3|+|2x-7| \geq \sqrt{-x^2+4x+12}$

Mà theo đề bài: $|2x-3|+|2x-7| \leq \sqrt{-x^2+4x+12}$

Vậy dấu đẳng thức xảy ra: $|2x-3|+|2x-7| = \sqrt{-x^2+4x+12} \iff x=2$

Vậy $x=2$

Giải phương trình $\sqrt{5x+3}-\sqrt{x}=\sqrt{6+x-x^2}$

ĐK: $3 \geq x \geq 0$

$\sqrt{5x+3}=\sqrt{x}+\sqrt{-x^2+x+6}$

$\iff 5x+3=2x-x^2+6+2\sqrt{(3-x)(x+2)x}$

$\iff x^2+3x-3=2\sqrt{(3-x)(x^2+2x)}$

$\iff (x^2+2x)-(3-x)=2\sqrt{(3-x)(x^2+2x)}$

Đặt $\sqrt{x^2+2x}=a; \sqrt{3-x}=b$, thay vào pt ta có:

$\iff a^2-b^2=2ab$

$\iff a^2-2ab-b^2=0$

Đến đây ta được pt đối xứng bậc 2, tìm đc mối liên hệ giữa $a,b$ để thay vào pt tìm $x$

Nghiệm ra lẻ do pt $a,b$ ra nghiệm lẻ

Giải phương trình : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)(y-2)}+x+5=2y+\sqrt{y-2} \\ \frac{(x-8)(y+1)}{x^2-4x+7}=(y-2)(\sqrt{x+1}-3) \end{matrix}\right.$

ĐK: $\begin{cases} &  x \geq -1 \\  &  y \geq 2 \end{cases}$

(1) $\iff \sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)(y-2)}=-(x+1)+2(y-2)+\sqrt{y-2}$

Đặt $\begin{cases} &  \sqrt{x+1}=a \ (a>0) \\  &  \sqrt{y-2}=b \ (b>0) \end{cases}$. Thay vào ta có:

$(1) \iff a+ab=-a^2+2b^2+b$

$\iff (a-b)+(a-b)(a+2b)=0$

$\iff (a-b)(a+2b+1)=0$

$\iff a=b$

$\longrightarrow y=x+3$

Thay xuống pt (2) ta có: 

(2) $\iff \dfrac{(x-8)(x+4)}{x^2-4x+7}=(x+1)(\sqrt{x+1}-3)$

$\iff \dfrac{(x-8)(x+4)}{(x-2)^2+3}=\dfrac{(x+1)(x-8)}{\sqrt{x+1}+3}$

$\iff x=8$     v      $\dfrac{x+4}{(x-2)^2+3}=\dfrac{x+1}{\sqrt{x+1}+3}$

$\dfrac{x+4}{(x-2)^2+3}=\dfrac{x+1}{\sqrt{x+1}+3}$

$\iff \dfrac{(x+1)+3}{(x-2)^2+3}=\dfrac{(x-2)+3}{\sqrt{x+1}+3}$

$\iff [(x+1)+3](\sqrt{x+1}+3)=[(x-2)+3][(x-2)^2+3]$

$\iff (x+1)\sqrt{x+1}+3(x+1)+3\sqrt{x+1}+9=(x-2)^3+3(x-2)^2+3(x-2)+9$

$\longrightarrow \sqrt{x+1}=x-2$

$\longrightarrow x^2-5x+3=0$ $(x \geq 2)$

$\longrightarrow x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$

Vậy $x=8$      v      $x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$

Giải hệ pt sau:

$\begin{cases} a \not = b \\ (a-2)(b-2)+\dfrac{4ab}{(a-1)(b-1)}=0 \\ (a-2)^2+\dfrac{4a^2}{(a-1)^2}=(b-2)^2+\dfrac{4b^2}{(b-1)^2} \end{cases}$

Chào các anh chị, các ac cho em hỏi vài câu pt với ạ ?
1: $\frac{3}{4}-2sin2x-2(sinx+cosx)-\frac{cos4x}{2}=0$
2: $(sinx-cosx+1)*(sin2x+\frac{1}{2})=\frac{-1}{2}$

1, Đặt $a=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\dfrac{\pi}{4}) \rightarrow -\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2}$

$\rightarrow \cos x.\sin x=\dfrac{a^2-1}{2}$

Ta có pt đã cho tương đương:

$\dfrac{3}{4}-4\sin x.\cos x-2(\sin x+\cos x)-\dfrac{1-8\sin^2x.\cos^2x}{2}=0$

$\iff \dfrac{3}{4}-2(a^2-1)-2a-\dfrac{1-2(a^2-1)^2}{2}=0$

$\iff \dfrac{9}{4}-2a^2-2a+(a^2-1)^2=0$

đến đây bạn chỉ cần tìm đc $a \rightarrow x...$

Dạng này mk vừa học sáng ngày nhưng không biết tại sao nó ra lẻ thế...

http://www.wolframal...-2a+(a^2-1)^2=0

Tìm max: $a^{2}+ab+b^{2}-3a-3b+2002$

Đây là tim max hay min?

Giải hpt $\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2+2=\sqrt{y^3+3y^2} & & \\ 3\sqrt{x-2}=\sqrt{y^2+8}& & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x \geq 2; y \geq -3$

TH1: $y>0$

$(1) \iff x^3-3x^2+2=y\sqrt{y+3} \rightarrow (x-1)(x^2-2x-2) >0 \rightarrow x^2-2x-2>0$

$\iff (x^3-3x^2+3x-1)-3(x-1)=(y+3)\sqrt{y+3}-3\sqrt{y+3}$

$\iff (x-1)^3-3(x-1)=\sqrt{y+3}^3-3\sqrt{y+3}$

$\iff (x-1-\sqrt{y+3})[(x^2-2x-2)+(y+3)+(x-1)\sqrt{y+3}]=0$

$\iff x-1=\sqrt{y+3}$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

Đến đây bạn thay xuống pt (2)...

TH2: bạn làm tương tự: $-3 \leq y<0$

$\iff (x^3-3y^2+3y-1)-3(x-1)=-(y+3)\sqrt{y+3}+3\sqrt{y+3}$

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}> \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Ở đây

Cho các số x,y,z thuộc đoạn [0 ; 1]. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}\leq 2$

GPT:$2x+ (x+1)\sqrt{x^2+2x+3}+(x+2)\sqrt{x^2+4x+6}+3=0$

$\iff 4x+6+2(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}+2(x+2)\sqrt{x^2+4x+6}=0$

$\iff 10x+15+(x+1)(2\sqrt{x^2+2x+3}-3)+(x+2)(2\sqrt{x^2+4x+6}-3)=0$

$\iff 10x+15+\dfrac{(x+1)(2x+1)(2x+3)}{2\sqrt{x^2+2x+3}+3}+\dfrac{(x+2)(2x+5)(2x+3)}{2\sqrt{x^2+4x+6}+3}=0$

$\iff (2x+3)(5+\dfrac{2x^2+3x+1}{2\sqrt{x^2+2x+3}+3}+\dfrac{2x^2+9x+10}{2\sqrt{x^2+4x+6}+3})=0$

$\iff x=\dfrac{-3}{2}$    v    $5+\dfrac{2x^2+3x+1}{2\sqrt{x^2+2x+3}+3}+\dfrac{2x^2+9x+10}{2\sqrt{x^2+4x+6}+3}=0 \ (*)$

Xét $(*)$ ta có:

$\dfrac{2x^2+3x+1}{2\sqrt{x^2+2x+3}+3}+1=\dfrac{2x^2+3x+4+2\sqrt{x^2+2x+3}}{2\sqrt{x^2+2x+3}+3} >0$

$\dfrac{2x^2+9x+10}{2\sqrt{x^2+4x+6}+3}+1=\dfrac{2x^2+9x+13+2\sqrt{x^2+4x+6}}{2\sqrt{x^2+4x+6}+3} >0$

$3 >0$

Cộng các bđt lại ta có: 

$5+\dfrac{2x^2+3x+1}{2\sqrt{x^2+2x+3}+3}+\dfrac{2x^2+9x+10}{2\sqrt{x^2+4x+6}+3} >0$ 

Vậy (*) vô nghiệm, nghiệm pt là $x=\dfrac{-3}{2}$

Khi đó ta cần tìm GTNN của: $P=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{abc}$

Áp dụng BĐT quen thuộc: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$ nhờ sử dụng AM-GM

Chỗ AM-GM hình như bạn bị ngược dấu thì phải, đề yêu cầu tìm GTNN.

Giải phương trình:

$\sqrt[4]{\frac{x^{2}+4x+17}{x^{2}-x+17}} = 1 + \sqrt[4]{\frac{4x^{2}-5x+26}{x^{2}-x+7}}$

GS: $\sqrt[4]{\dfrac{x^2+4x+17}{x^2-x+17}}=a;\sqrt[4]{\dfrac{4x^2-5x+26}{x^2-x+7}}=b$

Ta có: $a=1+b$

$\rightarrow a-b-1=0$

$\iff \dfrac{a^4-b^4}{a^3+ab^2+a^2b+b^3}-1=0$

Xét : $a^4-b^4=\dfrac{(x^2+4x+17)(x^2-x+7)-(x^2-x+17)(4x^2-5x+26)}{A}=\dfrac{-3x^4+12x^3-79x^2+122x-323}{A}=\dfrac{-3(x^2-2x)^2-(67x^2-122x+323)}{A} <0$

Vậy $\dfrac{a^4-b^4}{a^3+ab^2+a^2b+b^3}-1<0$

$\rightarrow$ PT vô nghiệm