Ta có $f(0)=0;f(2)=4a+4b+4c=4(a+b+c)=0 $ Theo đl Roll
$\Rightarrow f(0)=f(2)\Rightarrow \exists c \in (0;2) f'(c)=0$
$ \Leftrightarrow pt ax^{3}+2bx+2c=0$có nghiệm$ (0;2)$
Có 43 mục bởi LangTu Mua Bui (Tìm giới hạn từ 05-06-2020)
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 18-11-2015 - 17:12 trong Giải tích
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 18-12-2015 - 18:14 trong Giải tích
Cho $f(x)$ liên tục trên R ;giả sử tồn tại 2 số $x_{1};x_{2}$ sao cho $f(x_{1}).f(x_{2})< 0$.
CMR tồn tại 3 số $a,b,c$ sao cho $a< b< c;a+c=2b$ và $15f(a)+2f(b)+2014f(c)=0$
----Nguyên bản BK2014---------
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 15-10-2018 - 15:39 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Đặt $ u_{1}=(1,2,1),u_{2}=(2,1,0)$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 17-11-2015 - 15:05 trong Giải tích
$ \Rightarrow \int_{0}^{1}C^{k}_{n}x^{n-k}m^{k}f(x)dx =0 $
$ \Rightarrow \left ( \sum_{k=0}^{n}C^{k}_{n}x^{n-k}m^{k}f(x) \right )=0 $
$\Leftrightarrow \int_{0}^{1}(m+x)^{n}f(x)dx \forall n\in N ;m\in R $
Đặt $m+x=t \Rightarrow \int_{0}^{m+1}x^{n}f(x-m)dx=0 ;n=1 \Rightarrow \int_{0}^{m+1}f(x-m)dx=0 $;
Đặt $ g(m)=\int_{0}^{m+1}f(x-m)dx=0 \forall m \in R \Rightarrow g(m)=c \Rightarrow g'(x)=0 $ $ \Rightarrow f(1)=0 $
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 17-11-2015 - 13:27 trong Giải tích
Có thêm điều kiện về f(x) như liên tục hay khả vi gì k bạn
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 16:15 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Gọi $u,v,w$ là ba nghiệm của phương trình $x^3-10x+11=0$. Tính giá trị của biểu thức $$\arctan u+\arctan v+\arctan w$$.
Tạp chí KoMaL, Hungary.
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 23-08-2018 - 23:25 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Viết J(X,Y)=$\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{i}}$ là không ổn vì dễ nhầm là phép cuộn .Để tránh nhầm lẫn nên viết lại thành $\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}$
Ở bài này nên biết đến tích tensor của 2 ma trận thì dễ hiểu hơn $J=B^{T} \bigotimes A$
Biến đổi từ đề bài ta được : $\Rightarrow y_{ij}= \frac{\partial y_{ih}}{\partial x_{mn}}= \frac{\partial \left ( \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ij}x_{jk}b_{kh} \right ) }{\partial x_{mn}}$
$y_{ij} $ Chỉ khác 0 khi mn trùng với jk .Suy ra ma trận Jacobi biến đổi là 1 ma trận $n^{2}\times n^{2}$
Đặt $c_{ij}=b_{ij} $ và viết dạng ma trận khối
$J=\begin{bmatrix} c_{11}A &c_{12}A&.. &c_{nn}A \\ c_{21}A & .. &...& .. \\ ... &...& ...\\ c_{n1}A & ..&.. & c_{nn}A \end{bmatrix}$
Do cách tính định thức là tổng các tính các hoán vị nên khi nhân các phần tử của $c_{ij}$ với A thì không làm thay đổi hoán vị
Gọi F là trường vector các ma trận vuông cấp n là cấp của mỗi khối , R là trường các ma trận vuông $n^{2} $ của ma trận J
Điều này dẫn đến : $det J=det_{F}(det_{R} J) $
$ =det_{F}\left (sum _{\pi \in S_{n}}(sgn \pi)c_{1\pi_{i_{1}}}c_{2\pi_{i_{2}}}...c_{n\pi_{i_{n}}}A^{n} \right )$
$det_{F}$ là tính định thức với dạng ma trận khối ,$det_{R}$ là tính định thức coi các ma trận thông thường bằng cách coi các khối như phần tử vô hướng.
Do $A^{n} $là ma trận vuông cấp n $=det_{F}A^{n}(\left (sum _{\pi \in S_{n}}(sgn \pi)c_{1\pi_{i_{1}}}c_{2\pi_{i_{2}}}...c_{n\pi_{i_{n}}}\right )^{n}$
$=detA^{n}detC^{n}$
$=detA^{n}(detB^{T})^{n}$
$ \Rightarrow det J=(detA)^{n}(detB)^{n}$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 27-12-2015 - 20:29 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên
cho số thực A khác 0.xét hàm số $f(x)$ xác định;liên tục trên [0;$+\infty $] và thỏa mãn $\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}f(x)=A$. tính
$\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}\int_{0}^{1}f(nx)dx$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 02-04-2016 - 22:12 trong Giải tích
Phải là $\arctan{(\frac{2}{n^{2}})} $chứ nhỉ
$\frac{2}{n^{2}}=\frac{n+1-(n-1))}{1+(n-1)(n+1)} \Rightarrow \arctan{\left ( \frac{(n+1)-(n-1)}{1+(n+1)(n-1)} \right )}=\arctan{(n+1)}-\arctan{(n-1)}$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 15:04 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Giải phương trình $$ \arcsin x +\arcsin (x\sqrt{15})=\frac{\pi}{2} $$
Tạp chí Komal, Hungary.
$\arcsin{x}+\arcsin{x\sqrt{15}}=\frac{\pi}{2}$
Đk :x>0
Xét hàm $y=\arcsin{x}+\arccos{x} ;y'=0$ y là hàm hằng
$ \Rightarrow y=c $ thay giá trị bất kị vào để tìm c $;y(0)=c=\frac{\pi}{2}$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 21-08-2018 - 13:35 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
C(A) là tập hợp các ma trận nên mọi ma trận thuộc C(A) đều thuộc không gian chứa các ma trận vuông $ M_{n\times n }$ thuộc
Chứng minh dimC(A)>n
Với không gian các ma trận ta biết số chiều là $n^{2} $
Theo định lý số chiều :
Ta có $dim (Im F(X)) +dim(ker F(X)) =n^{2} $ Vì thế yêu cầu bài toán tương đương với số chiều $ker F(X) >n $
Ta sẽ đi chứng minh dim$ Im(F(X)) <n^{2}-n $
Xét ánh xạ F(X)=AX-XA với X và A là các ma trận vuông cấp n
Ánh xạ F là 1 ánh xạ tuyến tính do nó thỏa mãn 2 tính chất
Thật vậy :$ F(M+N)=A(M+N)-(M+N)A=AM-MA+AN-NA=F(M)+F(N)$
và $F(kX)=k(AX-XA)=kF(X) $
Bằng biển đổi thông thường ta luôn có F(X) là 1 ma trận có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0 với mọi ma trận X
VÌ vậy số chiều của$ Im F(X) $luôn nhỏ hơn $n^{2}-n$
Yêu cầu bái toán đã được chứng minh .
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 23:20 trong Dãy số - Giới hạn
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 22:03 trong Giải tích
$\int_{0}^{1}\frac{\ln{(1+x^{n+k})}}{\ln{(1+x^{n})}}=\int_{0}^{1-\varepsilon }\frac{\ln{(1+x^{n+k})}}{\ln{(1+x^{n})}}+\int_{1-\varepsilon }^{1}\frac{\ln{(1+x^{n+k})}}{\ln{(1+x^{n})}} =I_{1}+I_{2} $
$I_{2}=\varepsilon \frac{\ln{(1+{c}^{n+k})}}{\ln{(1+{c}^{n})}}=0 I_{1}=\int_{0}^{1-\varepsilon }\frac{x^{n+k}}{x^{n}}=\int_{0}^{1-\varepsilon }x^{k}$
$=\lim_{\varepsilon \to\ 0}\frac{x^{k+1}}{k+1}|^{1-\varepsilon }_{0} =\frac{1}{k+1}$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 21-08-2018 - 22:24 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Gọi f và g là các ánh xạ tưng ứng với 2 ma trận A và B
Xét đa thức $P(x)=x^{2017} $ và P(A)=0 suy ra đa thức tối thiểu có dạng $x^{k}$ tồn tại trị riêng $\lambda =0 $ tức $kerf \neq 0 $
$ker fg =kerf +kerg mà ker f \geq 1 \Rightarrow ker fg -1\geq ker B $
Sử dụng thêm định lý dim $ker \varphi =n-dim im \varphi $
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 18-11-2015 - 16:59 trong Giải tích
Khai triển taylor tại $x=2015 \Rightarrow P(x)=P(2015)+\sum_{k=1}^{n}\frac{P^{k}(2015)(x-2015)^{k}}{k!}$
$P(x)=1+\sum_{k=1}^{n}(-1^{k})(x-2015)^{k}=1+\sum_{k=1}^{2015}(2015-x)^{k}$
$\Rightarrow P(2014)=1+2015=2016$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 18:39 trong Giải tích
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}e^{\frac{\ln{a_{n}}}{n}} =e^{\dfrac{\ln{a_{n+1}-\ln{a_{n}}}}{n+1-n}}(Stole)=e^{\ln{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 22-11-2015 - 19:15 trong Dãy số - Giới hạn
Đặt $S=\sum_{i=0}^{k}(1+\sqrt{5})^{k-i}(1-\sqrt{5})^i$.
Ta thấy $S$ là tổng của $k+1$ số hạng đầu của 1 cấp số nhân có $u_1=\left ( 1+\sqrt{5} \right )^k$ và $q=\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$
$\Rightarrow S=\frac{u_1(q^{k+1}-1)}{q-1}=...=\frac{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}{2\sqrt{5}}$
$\Rightarrow \frac{2^k}{\sum_{i=0}^{k}(1+\sqrt{5})^{k-i}(1-\sqrt{5})^i}=\frac{2^{k+1}.\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}=\frac{\sqrt{5}}{\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}}=\frac{1}{F_{k+1}}$
trong đó $F_{k+1}$ là số hạng thứ $k+1$ trong dãy Fibonacci.
Vậy tổng cần tính bằng $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{F_{k+1}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{F_k}\approx 3,359885...$
Cái đoạn chứng minh nghịch đạo dãy đó trên mạng sao k thấy bạn ạ,Bạn có thể chứng minh hãy chỉ rõ hơn không
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 13-11-2015 - 23:07 trong Giải tích
$x_{n}=\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{2^{n}})=2.\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\prod_{k=1}^{n}\left ( 1+\frac{1}{2^{k}} \right )=2(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})..(1+\frac{1}{2^{n}})=2\left ( 1-\frac{1}{2^{2^{n}}} \right )\Rightarrow $ Dãy số có giới hạn =2
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 03-12-2015 - 14:52 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên
Câu :3
Đặt $a_{n}=\int_{0}^{1}f^{n}(x)dx $
$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty}e^{\frac{\ln{a_{n}}}{n}}=\lim_{n \to \infty}e^{\ln{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} $
Như ta đã biết $ \int_{0}^{1}f^{n}(x)dx=\sum_{i=0}^{i=n}f^{n}(\frac{i}{n})$
$\Rightarrow \frac{\int_{0}^{1}f^{n+1}(x)dx}{\int_{0}^{1}f^{n}(x)dx}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=0}^{i=n}f^{n+1}(\frac{i}{n})}{\sum_{i=0}^{i=n}f^{n}(\frac{i}{n})}$
Do hàm f(x) liên tục$[0;1] \Rightarrow $ tồn tại $x_{0} $ sao cho$ f(x_{0})=maxf(x) ;x_{0} \in [0;1]$
Theo quy tắc ngắt bỏ VCL$\Rightarrow \frac{\int_{0}^{1}f^{n+1}(x)dx}{\int_{0}^{1}f^{n}(x)dx}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=0}^{i=n}f^{n+1}(\frac{i}{n})}{\sum_{i=0}^{i=n}f^{n}(\frac{i}{n})}
=\lim_{n\to\infty}\dfrac{f^{n+1}(x_{0})}{f^{n}(x_{0})}=f(x_{0})=Maxf(x)$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 03-12-2015 - 16:57 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 13-08-2018 - 18:22 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Đầu tiên ta đi tìm trị riêng của dạng ma trận đặc biệt này
Giả sử $\lambda ,x $ lần lượt là trị riêng và vector riêng của A khi đó ta có biểu thức:
$$ A^{2}x=Ax \Leftrightarrow \lambda^{2} x=\lambda x $$
$$\Rightarrow \lambda=1 ,\lambda=0$$
Hai ma trận là động dạng với nhau khi chúng là biểu diễn của cùng tự đẳng cấu $ f: V\rightarrow V $ .Chúng khác nhau do đối với cơ sở khác nhau .
Với $\lambda =1$ là toàn bộ không gian Imf,$\lambda=0 $ là toàn bộ không gian $kerf$
Mặt khác ta có định lý số chiều $dim(Imf)+dim(kerf )=n $ Vì thế chúng thỏa mãn điều kiện số chiều nên chéo hóa được
Và ma trận tương ứng là ma trận đường chéo có các phần tử là 0 và 1 thứ tự của chúng khác nhau tương ứng với cách sắp xếp các vector riêng .
VÌ thế 2 ma trận A và B đồng dạng nhau khi chúng có cùng hạng.
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 18-11-2015 - 19:53 trong Các dạng toán THPT khác
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 18:56 trong Giải tích
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 10:45 trong Giải tích
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 10:25 trong Giải tích
Câu 4
$f(x)-f(y)=\int_{x+2y}^{2x+y}f(t)dt \Rightarrow f(x)=f(0)+\int_{x}^{2x}f(t)dt$ Nên f(x) là hàm khả vi do theo đn$ f(x)=\int f'(x)+C$
$f(x)-f(y)=\int_{x+2y}^{2x+y}f(t)dt \Rightarrow f'(x)=2f(2x+y)-f(x+2y) $(Đạo hàm 2 vế theo x )
$\Rightarrow 2f'(x+2y)=2f(2x+y)$( Đạo hàm tiếp theo biến y)
$\Leftrightarrow f'(x+2y)=f'(2x+y)\Leftrightarrow f((x+y)+y)=f(x+(x+y)) x=\beta -(x+y) y=\alpha -(x+y)$
$\Leftrightarrow f'(\alpha )=f'(\beta ) \forall \alpha ;\beta \in R \Rightarrow f'(x)=C \Rightarrow f(x)=ax+b$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học