chuyên Phan

chuyên thái bình

bai hinh qua de 

vậy bn post lên cho mn tham khảo đi

ai làm câu phương trình nghiệm nguyên giúp mình với !

Lời giải:
Ta có: $\sum \frac{2a^5+3b^5}{ab} \geq 15(a^3+b^3+c^3-2)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^5+3b^5}{ab} -\sum ab^2 \geq 15(\sum a^3 -3 \sum ab^2)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2(2a^3+4a^b+6ab^2+3b^3)}{ab} \geq 15 \sum (a+2b)(a-b)^2$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^4(2a+3b)}{ab} \geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b,c$ dương)

Vậy: Bất đẳng thức được chứng minh.
 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Nguồn: Facebook

có cách nào khác không bạn ? 

ai giải giúp mình câu 1.2 với

THPT chuyên Phan Bội Châu bạn ạ 

Câu 1: Xin gợi ý dùm cách c/m  AO là tia phân giác góc IAM

 

mình có bài tổng quát hơn các ý trên các bạn tham khảo nhé !

Từ A nằm ngoài đường tròn (O) tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE ko đi qua O , EK vuông góc BC tại K , DK cát (O) tại M dây MN //BC , đường kính EF . Chứng minh A,E, N thẳng hàng

Chưa hiểu chỗ $(AHET)=-1$ (mình học hình kém,mong bạn thông cảm  )

Vẽ đường cao BF . Khi đó : AH.AD=AF.AC=AT.AE mà D là trung điểm ET => ...

mình không hiểu chỗ này lắm

1, Chỗ này mình nghĩ phải là E'H.E'A

2.  1/2.E'H.E'A=E'M.E'A tương đương 1/2 E'H= E'M tức là E trùng E' rồi còn đâu???

sorry bn mình đã sửa

Cho tam giác $ABC$ nhọn, trực tâm $H$.$AH\cap BC\equiv D$. $E$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $\widehat{BEC}=90^{0}$. $M$ là trung điểm $EH$.Đường tròn đường kính $AM$ cắt đường tròn $Euler$ của tam giác $ABC$ tại $P,Q$.Chứng minh: $PQ$ đi qua $E$.

Gọi T là giao điểm của AH với đường tròn đường kính BC .N trung điểm AH

Dễ thấy (AHET) = -1 => EN.ET =EA.EH =>EN.ED=1/2.EA.EH=EA.EM

Gọi E' là gđ của PQ với AH => E'M.E'A=E'P.E'Q=E'N.E'D

=> E=E' 

Cho phân số A=$\frac{m^3+3m^2+2m+5}{m(m+1)(m+2)+6}$;(m thuộc N)

a)Chứng minh rằng A là phân số tối giản.

b)Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Vì sao?

A=$\frac{m^{3}+3m^{2}+2m+5}{m^{3}+3m^{2}+2m+6}$

mẫu và tử là hai số liên tiêp nên nguyên tố cùng nhau nên A tối giản

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn $(\omega)$ bất kì qua B,C $((\omega)\ne (O))$ cắt AB,AC lần lượt tại $AB,AC$. Đường thẳng qua E vuông góc với BF và đường thẳng qua F vuông góc với EC lần lượt cắt (O) tại J,I.

Chứng minh rằng $IJ//BC$ 

cắt AB AC tại đâu vậy bn

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại $H$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AB$ và $N$ là trung điểm của $HC$. Chứng minh rằng $DN⊥MH.$

gọi E ,F lần lượt là trung điểm của HB , MB

=> AM = MF = FB = $\frac{1}{3 }$AB

K,G lần lượt là giao điểm của MH với DN và AE

$\Delta AHB$ đồng dạng $\Delta DHC$ => $\frac{AH}{HB}=\frac{DH}{HC}\Rightarrow \frac{AH}{2HE}=\frac{DH}{2HN}\Rightarrow \frac{AH}{HE}=\frac{DH}{HN}$

=>$\Delta AHE$ đồng dạng $\Delta DHN$=> $\angle NDH =\angle EAH$

Ta có : HM//EF ; AG=GE ;

$\Rightarrow \Delta AHG$ cân tại G => $\angle AHG =\angle EAG$

Ta có : $\angle KDH +\angle DHK= \angle EAH +\angle DHK=\angle AHG+\angle DHK=90$

=> $\Delta DHK$ vuông góc tại K

=> đpcm

Cho x,y,z là các số thực thuộc đoạn [-1;1] và thỏa mãn điều kiện $x+y+z+xyz=0$

Chứng minh rằng $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}\leq 3$

+ $x+y+x\leq 0 ta có \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\sqrt{z+1}\leq \sqrt{3(z+y+z+3)}\leq 3$

+$x+y+z> 0\Rightarrow xyz< 0$

giả sử z<0 => x,y thuộc đoạn$\left \{ 0 ,\right 1\}$

=> $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}\leq \sqrt{2x+2y+4}+\sqrt{z+1}$

nên ta cần chứng minh $\sqrt{2x+2y+4}+\sqrt{z+1}\leq 3\Leftrightarrow \frac{2x+2y}{2+\sqrt{2x+2y+4}}\leq \frac{-z}{1+\sqrt{z+1}}\Leftrightarrow \frac{-2z(xy+1)}{2+\sqrt{2x+2y+4}}\leq \frac{-z}{1+\sqrt{z+1}}\Leftrightarrow 2xy+2(1+xy)\sqrt{z+1}\leq \sqrt{2x+2y+4}\Leftrightarrow 2xy+2(1+xy)\sqrt{1+\frac{(1-x)(1-y)}{1+xy}}\leq \sqrt{2x+2y+4}\Leftrightarrow xy +\sqrt{(1-x)(1-y)(1+xy)}\leq \sqrt{1+\frac{x+y}{2}}$ 

ta lại có $xy +\sqrt{(1-x)(1-y)(1+xy)}\leq \sqrt{1+xy-y}\leq 1\leq \sqrt{1+\frac{x+y}{2}}$

=>đpcm

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I , (I) tiếp  xúc với BC , CA , AB tại D, E, F . P, Q , R lần lượt là điểm đối xứng với D, E, F qua EF, FD, DE. AP , QB,CR cắt BC,AC, AB tại M , K , L 

Chứng minh M, K , L  thẳng hàng

Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tx BC , CA , AB tại D, E,F. AD giao (I) tại P , tiếp tuyến tại P cắt CA , AB tại Q , R . G là một điểm nằm trên AD . QG , RG cắt (I) tại L, M . Chứng minh LM , EF , BC đồng quy

Cho tam giác ABC có BAC =60 I là tâm đường tròn nội tiếp . Trên các tia BA , CA lấy E, F sao cho BE=CF=BC . Chứng minh I, E . F thẳng hàng

bạn trình bày lời giải ra dùm mình câu a thôi có được ko

Chứng minh $\angle ACI+\angle ABI =\angle EIF$ là đc bài này chỉ đúng với trường hợp MN đi qua I thôi 

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) , IB , IC cắt (O) tại M,N . P,Q thuộc tia đối của BC , CB sao cho BP=BA , CQ=CA .K, L lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp NBP , MCQ .BL cắt CK tại D . Đường tròn bàng tiếp góc A cắt (O) tại S , T . Chứng minh AD vuông góc ST

Tam giác ABC nhọn nội tiếp (O).M trung điểm BC.Trung trực AB,AC cắt AM tại D và E.BD cắt CE tại F.Một Đường tròn (w) qua B và C cắt AB,AC tại H,K.I trung điểm HK.CHứng minh A,F,I thẳng hàng

Chứng minh AF là đường đối trung của tam giác ABC

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) , (I) tiếp xúc AB CD tại M, N . AC cắt MN tại K 

Chứng minh : $\frac{KM}{KN}=\frac{AM}{AN}$

Đề đúng phải là $\frac{AM}{CN}$ nhé bạn.

Vẽ đường thẳng qua $C$ song song $AB$ cắt $MN$ tại $P.$ Dễ thấy theo định lý Thales thì yêu cầu của đề tương đương với việc chứng minh $CP=CN$ hay tam giác $CPN$ cân tại $C.$

Mà điều này là hiển nhiên, do tam giác $IMN$ cân tại $I$ và $\widehat{IMA} = \widehat{INC} \Rightarrow \widehat{CNP} = \widehat{PMA} = \widehat{NPC}.$ 

Ta có đpcm.

sao lại như thế này được ạ ? 

  Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB.$ Qua $B$ kẻ tiếp tuyến $d$ của đường tròn $(O).MN$ là một đường kính thay đổi của đường tròn $(M$ không trùng với $A,B).$ Các đường thẳng $AM$ và $AN$ cắt đường thẳng $d$ lần lượt tại $C$ và $D.$ Gọi $I$ là giao điểm của $CO$ và $BM.$ Đường thẳng $AI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E,$ cắt đường thẳng $d$ tại $F.$ Chứng minh $3$ điểm $C,E,N$ thẳng hàng.

 

hungvuong.png

Ta có CO, BM, AF đồng quy tại I trong tam giác ABC nên theo định lí Ceva ta có :

$\frac{AM}{MC}.\frac{CF}{FB}.\frac{BO}{AO}=1$ Mà BO=AO $\Rightarrow \frac{AM}{MC}=\frac{BF}{CF}$=>MF//BA 

dễ dàng chứng minh đc tứ giác MEFC nội tiếp => $\angle MEC=\angle CFM=90$

MÀ MEN =90 => C,E,N thẳng hàng

Cho tam giác ABC nhọn , đường cao AD , BE, CF cắt nhau tại H . lấy K thuộc cạnh DC , kẻ AS vuông góc với HK , gọi I là giao điểm của EF và AH . Chứng minh SH là tia phân giác của góc DSI .