Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$


(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$


(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$


(4) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)$


(5) $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$


(6) $ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$


(7) $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$


(8) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$


(9) $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$


(10) $ (a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$


(11) $ ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} $


(12)$ ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$


(13) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$


(14) Với n lẻ:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$


(15) Nhị thức Newton:
$(a + b)^n = a^n + \dfrac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \dfrac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \dfrac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \dfrac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\dfrac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n$


Các bạn hãy cố gắng chứng minh các hằng đẳng thức từ (1) -> (12) xem như là bài tập
Ai có hằng đẳng thức nào thú vị, post lên mình sẽ thêm vào

Bài 1:

Cho tam giác ABC có $\angle$A=90^o, AB=6cm, AC=8cm, đường cao AH vuông góc với BC tại H. Gọi E,F là hình chiếu của H lên AB và AC; M và N là trung điểm của HB và HC.

1. Tính AH.

2. Tứ giác MNFE là hình gì? Vì sao?

3. Tính diện tích của tứ giác MNFE.

Tớ chỉ thắc mắc thôi, vì tớ thấy bọn trẻ ở đây không có đọc hay làm sách toán BĐT, trong khi học sinh ở nhà mình toàn làm toán BĐT thôi .

Hay VN là cái nôi của toán BĐT nhỉ ?

tùy từng người thôi ạ mỗi người có một sở thích riêng ấy mà chả biết thế nào được

Chúng ta học bất đẳng thức có phải để kiếm tiền đâu mà chẳng qua chỉ là học để trang bị kiến thức cho bản thân thôi mà, được học gì đi nữa thì cũng chỉ nên chịu đựng thôi, môn Toán có giúp chúng ta kiếm được tiền đâu chủ yếu là áp dụng ra ngoài đời thôi.

Cho em hỏi tại sao em đang ở trong nick này nếu để 1 lúc sau đó thì nó tự động chuyển sang nick khác và còn không đăng được bài mới nữa, nếu em muốn đăng bài thì phải tải lại trang và phải gõ lại từ đầu điều này rất bất tiện cho em, mong có ai xem xét hộ em với ạ. Em cảm ơn.

Hình như bộ soạn thảo LateX không dùng được ạ

Latex vẫn bình thường mà bạn, bạn nên kiểm tra kĩ lại phần mạng của mình ấy, mình vẫn đăng bài bình thường mà.

1. Chứng minh rằng :

đồ thị hàm số y = (m - 1)x + m -2 hàm số đi qua một điểm cố định.

Giả sử: đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M$_{(x_{0};y_{0})}$. Thay x₀;y₀ vào đồ thị hàm số ta có:

y₀=(m-1)x₀+m-2

$\Leftrightarrow$ (m-1)x₀+m-2-y₀=0

Sau đó bạn cho 2 giá trị bằng 0 rồi giải hệ phương trình là được.

Cầu cứu GS Ngô Bảo Châu giải toán… lớp 3

(ĐVO) Cộng đồng mạng kêu gọi sự “can thiệp” của giáo sư Ngô Bảo Châu nhằm chấm dứt “cuộc chiến” toán học đang gây tranh cãi dai dẳng, với đề bài được cho là của học sinh lớp 3.

Phép toán được ra như sau: 6 ÷ 2 (1+2) = ?, với hai đáp án được đưa ra lựa chọn là 1 và 9.

Tưởng như quá đơn giản, nhưng khi được đưa ra trên mạng xã hội Facebook, phép toán đã nhận được trên 120.000 lượt người trả lời chỉ sau vài ngày. Đáng ngạc nghiên là cả hai đáp án đều được lựa chọn với số người gần như chia đều. Kéo theo đó là hàng nghìn bình luận, tranh cãi xem kết quả đúng là 1 hay 9.

Trên Facebook, trên 120.000 người đã bầu chọn kết quả phép toán, trong đó khoảng 68.000 người ủng hộ kết quả là 9, 52.000 người chọn kết quả 1.

“Phe” ủng hộ kết quả là 1 cho rằng, phép toán này có thể viết dưới dạng phân số với “6” là tử số và “2(1+2)” là mẫu số, do vậy kết quả cuối cùng phải là 6 : 6 = 1. Hoặc áp dụng nguyên tắc nhân chia trước, cộng trừ sau, kết quả cũng ra 1. “Tính thử bằng Casio FX500ms cũng thấy nó bằng một”, thành viên vankiepsau cho biết.

“Phe” ủng hộ con số 9 thì lập luận: “Theo trật tự các phép tính thì đầu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước rồi sau đó thực hiện các phép nhân/chia theo thứ tự từ trái qua phải. Tôi nghĩ đáp án là 9” (lời thành viên Love_Autopsy). “Phe số 9” dường như được nhiều người ủng hộ hơn “phe số 1”.

Ngay cả những công cụ tính toán tự động cũng chia ra làm hai “phe”. “Dán vào vào Google thì ra 9, nhưng dùng phần mềm calculator (gcalctool 5.32.0) thì lại ra 1”, thành viên Keosoft90 bối rối.

Có ý kiến cho rằng không thể giải phép toán vì cách viết ở phép toán sai nguyên tắc. “Từ bé thầy giáo mình đã dạy: nếu đề bài không rõ ràng thì đừng làm. Và từ bé tới giờ mình cũng chưa thấy ai lại viết dấu chia kiểu kia (keyboard cũng không có mà gõ ra) đi kèm với dấu nhân kiểu viết liền. Một đề toán mà không chính xác/rõ ràng thì làm sao có lời giải chính xác?”, thành viên kissme nhận xét.

Nhiều người thừa nhận rằng mình không thế chắc chắn kết quả nào là đúng. Thành viên TanNg, quản trị viên của một diễn đàn nổi tiếng chia sẻ: “Chịu. Vừa chạy đi hỏi con thì cả hai đứa đều ngủ. Mai mới có câu trả lời chính xác”. Thành viên heroic than thở: “Mình xuống lớp 1 đây”.

Do sự hóc búa của của “bài toán lớp 3” này mà trên diễn đàn Linkhay, thành viên nick Dora đã kêu gọi sự “can thiệp” của giáo sư Ngô Bảo Châu nhằm chấm dứt “cuộc chiến” toán học đang gây tranh cãi dai dẳng trên cộng đồng mạng. Thậm chí, thành viên ttkc000 còn "treo" giải thưởng: “Giáo sư giải quyết được vụ này thì tặng thêm căn hộ nữa trên Vincom!”.

6÷ 2 (1+2)=? kết quả như thế nào là đúng?
6÷ 2 (1+2)=? kết quả như thế nào là đúng?

Mấy ngày nay, cư dân mạng truyền nhau một bài toán được cho là của học sinh lớp 3 nhưng hàng trăm nghìn người cũng phải phân vân để giải bài toán. Đề bài được ra như sau: 6÷ 2 (1+2)=?. Tác giả cũng đưa ra hai đáp án để có thể lựa chọn là 1 và 9.
Dù mới đưa ra trên mạng được khoảng 2 tuần nhưng đã có hơn 120.000 lượt truy cập để đưa ra ý kiến tranh luận. Vẫn có nhiều ý kiến tranh luận xung quanh kết quả của bài toán này. Trong số đó có 68.115 người nhận định kết quả là 9 và có 51.686 người cho rằng kết quả là 1.
Bài toán được cho là của học sinh lớp 3 đang làm nóng cư dân mạng

Trên diễn đàn linkhay.com, nick namhyhoangphong đã viết: “Cảm ơn đã đưa bài toán này. Cách đây gần 1 năm có 1 phụ huynh đã phone hỏi mua đĩa CD Học Toán kèm điều kiện tôi giải giúp họ bài toán này. Tôi bận và không trả lời rồi quên. Nay thấy bài toán này. Tôi đã bổ sung nó vào phần thí dụ 7 ở bài Trật tự các phép toán (1 thí dụ rất hay về quy tắc BODMAS)”.

Một bạn có nick name Love - Autospy nói: "Theo trật tự các phép tính thì đầu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước rồi sau đó thực hiện các phép nhân/chia theo thứ tự từ trái qua phải. Tôi nghĩ đáp án là 9".

Đồng tình với ý kiến này, nick TTKC000 cũng khẳng định: “nhân chia trước cộng trừ sau, trong ngoặc trước ngoài ngoặc sau, nhân chia thứ tự từ trái qua phải =9”.

Nick gwens83 lại nghĩ nên có cách hiểu khác: “đọc xuống thấy chủ yếu quan tâm vào nhân chia thứ tự thế nào, tức coi nhân chia ở đây là như bình thường .Vấn đề là toán tử nhân đã bị ẩn theo kiểu juxtaposition a.b=ab, mà kiểu ký pháp ẩn này khi đã dùng thì ngầm xác định thứ tự ưu tiên của nó là đầu tiên rồi. Nếu muốn thứ tự trái sang phải, phải viết tường minh vầy cơ $\frac{6}{ 2(2+1)}$. Kết quả ở đây phải bằng 1”.

Nick vodka_hanoi lại chia sẻ: “ lên cấp 2 học đại số, nhồi vào đầu cả đống kiến thức về đa thức nên bây giờ bối rối thế này đây.Tự nhiên nhớ trong đa thức có dạng như thế này”

Tuy nhiên, nhiều ý kiến khác lại tỏ ra khá phân vân giữa cả 2 đáp án là 1 và 9. Một số người khác lại khẳng định rằng đề bài sai.

theo em thì kết quả là 9 vì thực hiện theo thứ tự ưu tiên trong phép tính

   CMR: a² + b² + c²  + 1  >  ab + bc + ca 

$\Leftrightarrow$ 2a$^{2}$+2b$^{2}$+2c$^{2}$+2>2ab+2bc+2ca

$\Leftrightarrow$ (a-b)$^{2}$+(a-c)$^{2}$+(b-c)$^{2}$+2>0 luôn đúng.

Cho: P=$\frac{1}{2}$.$\frac{3}{4}$.$\frac{5}{6}$.$\frac{7}{8}$......$\frac{99}{100}$. Chứng minh: P<$\frac{1}{10}$.

câu 26: 3 chữ (ko bik có đúng ko)
 

1

câu cuối là 3 con
câu giữa: tăng trọng tải cây cầu lên
câu đầu: đơn giản là vì đười ươi khi hung dữ thì lấy 2 tay đập vào ngực, mà nó lại đang cầm 2 con dao trong tay thì.......

3 con làm sao được, 2 con đi giữa 2 con cơ mà. Phải 4 con mới đúng.

Câu 38: Một kẻ giết người bị kết án tử hình. Hắn ta phải chọn một trong ba căn phòng: phòng thứ nhất lửa cháy dữ dội, phòng thứ hai đầy những kẻ ám sát đang giương súng, và phòng thứ ba đầy sư tử nhịn đói trong ba năm. Vậy phòng nào an toàn nhất cho hắn?
 
 

Sư tử nhịn đói trong ba năm thì chết rũ xương ra rồi còn đâu.

câu này làm thế nào thế

đổi ngựa cho nhau rồi mà

Bài ...:So sánh 2 phân số $m=\frac{5555555553}{5555555557}$ và $n=\frac{6666666664}{6666666669}$

Bài này khá dễ rồi mà nếu chúng ta dùng dãy tỉ số bằng nhau sau đó dùng hiệu 2 số là có thể ra được rồi.

Có bao nhiêu số tự nhiên n có 5 chữ số thỏa mãn: 2 là ước của n; 3 là ước của n+1; 4 là ước của n+2; 5 là ước của n+3.

Giải các phương trình sau:

1. $\sqrt{x^{2}+10x+21}$=$3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6$

2. $\sqrt{x^{2}-4x+3}$+$\sqrt{x^{2}-3x+2}$=$-\sqrt{x^{2}-x}$

Giải phương trình:

1. x³+3x-140=0

2. Tính:P=$\sqrt[3]{70+\sqrt{4901}}$+$\sqrt{70-\sqrt{4901}}$

Cho đường thẳng (d₁) y=2x+3m-1, đường thẳng (d₂) y=7x-2m+4.

a) Xác định tọa độ điểm A là giao điểm của (d₁) và (d₂).

b) CMR:khi m thay đổi thì A luôn chạy trên đường thẳng cố định.

Cho (d₁) y=4mx-(5+m)     với m$\neq$0

       (d₂) y=(3m²+1).x+m²-4

1.CMR:(d₁) luôn đi qua A cố định.

            (d₂) luôn đi qua B cố định

2. Tính khoản cách từ A đến B.

1. x=5

2.P=5

Bạn có thể giải thích rõ câu 2 được ko.

Hai phần này có liên quan đến nhau đấy!(nếu là  $\sqrt[3]{70-\sqrt{4901}}$)

1.$x^{3}+3x-140=0$

<=>$x^{3}-5x^{2}+5x^{2}-15x+18x-140=0$

<=>$(x-5)(x^{2}+3x+18)=0$

<=>$(x-5)\left [ (x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{63}{4} \right ]=0$

<=> x=5

Chỗ này bạn nhầm rồi.

Chứng các đẳng thức và bất đẳng thức sau:

a) $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$+$\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$=1

b) ($\sqrt[3]{2+2\sqrt{2}}$+$\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$)⁸>3⁶

Cho một bài giải phương trình bậc cao
Bài toán: Giải phương trình $$x(2008-x^{2007})=2007$$

Từ giả thiết thấy x≠0
x(2008−x2007)=2007⇔2008−x2007=2007x⇔x2007+2007x=2008
Dễ thấy x>0, áp dụng BĐT AM-GM cho 2008 số, ta có:
VT=x2007+1x+1x+...+1x(2007số1x)≥2008x2007.1x.1x...1x−−−−−−−−−−−−−√2008=2008=VP
Giả thiết cho ở dấu bằng nên: x2007=1x⇔x=1(Loại x=−1 vì x>0)
Vậy phương trình có nghiệm x=1