Xét tính tăng giảm của dãy số $U_n=\frac{2-n}{\sqrt{n}}$

Xét hiệu: $u_{n}-u_{n+1}=\frac{2-n}{\sqrt{n}}-\frac{1-n}{\sqrt{n+1}}=\frac{(2-n)\sqrt{n+1}-(1-n)\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}> 0$(vì $(2-n)\sqrt{n+1}> (1-n)\sqrt{n}$)

$\Rightarrow$ Dãy số giảm

Thêm hai bài nữa

3,

Mọi người cho mình hỏi tại sao lại không dùng được trình soạn thảo công thức toán vậy?

Máy mình cũng bị nek, sao không gõ được Latex vậy nhỉ?

Tiếp theo: 

Bài 30*: Giả sử $x,y,z\ge 0$ thỏa mãn: $x+y+z=3$. Hãy tìm GTNN của biểu thức: $P=x^4+8y^4+64z^4$

Giả định $x=a, y=b, z=c$

Áp dụng AM-GM ta có:

$x^{4}+a^{4}+a^{4}+a^{4}\geq 4xa^{3}$

$8(y^{4}+b^{4}+b^{4}+b^{4})\geq 32yb^{3}$

$64(z^{4}+c^{4}+c^{4}+c^{4})\geq 256zc^{3}$

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

$P\geq 4xa^{3}+32yb^{3}+256zc^{3}-3a^{4}-24b^{4}-192c^{4}$

Ta tìm $a,b,c$ thoả mãn hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} &a+b+c=3 \\ &4a^{3}=32b^{3}=256z^{3} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &a=\frac{12}{7} & \\ &b=\frac{6}{7} & \\ &c=\frac{3}{7} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P\geq \frac{5184}{343}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=\frac{12}{7}, y=\frac{6}{7}, z=\frac{3}{7}$

Hai bài 79 và 80: vpvn và PlanBbyFESN đã cho lời giải đúng. Mình xin tiếp tục:

Bài 81: Cho các số thực thỏa mãn: $x,y,z>0$ và thỏa mãn: $x=y+z+xyz$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2+1)}+\frac{2z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$P=\frac{z(z+xyz+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z(x-y+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z\left [ (x-y).1+2\sqrt{xy}.z \right ]}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{z\sqrt{\left [ (x-y)^{2}+4xy \right ](1+z^{2})}}{(x+y)(1+z^{2})}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}\left ( 1-\frac{z^{2}}{z^{2}+1} \right )=\frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{2z^{3}}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

Khảo sát hàm số $f(t)=3t-2t^{3}$ với $0\leq t=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow P\leq f(t)\leq \sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}+1, y=\sqrt{2}-1, z=1$

Bài 6: Xét các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2\le 3y$. Tìm GTNN của: 

$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.

Ta có: $(x+1)^{2}\leq 2(x^{2}+1), (z+3)^{2}\leq 4(z^{2}+3)$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{2}{z^{2}+3}=\frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{4}{2(z^{2}+3)}\geq \frac{9}{2(x^{2}+z^{2})+8}\geq \frac{9}{2(3y-y^{2})+8}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{2(3y-y^{2})+8}+\frac{4}{(y+2)^{2}}$

Ta chứng minh: $\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{9}{2(3y-y^{2})+8}\geq 1$

$\Leftrightarrow (y-2)^{2}(2y^{2}+9y+10)\geq 0$(luôn đúng)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=z=1, y=2$

Và tiếp theo là hai bài sau:

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $3(a^2+b^2+c^2)+4abc\ge 13$.

Theo nguyên tắc Đi-rích-lê thì tồn tại 2 số cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1.

Giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1\Leftrightarrow abc\geq c(a+b)-c=c(3-c)-c=2c-c^{2}$

Do đó ta có:

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc\geq \frac{3}{2}(a+b)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{3}{2}(3-c)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{(c-1)^{2}+26}{2}\geq 13$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 2: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh rằng: $(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\le 5(y+z)^3$

Một cách gải khác cho bài toán 2.

Đặt $a=x+y, b=y+z, c=z+x(a,b,c>0)$

Từ gt$\Rightarrow b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca$

Ta có: $b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca\geq 2ca-ca=ca$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca=(c+a)^{2}-3ca\geq (c+a)^{2}-\frac{3}{4}(c+a)^{2}=\frac{1}{4}(c+a)^{2}\Leftrightarrow c+a\leq 2b$

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$a^{3}+c^{3}+3abc\leq 5b^{3}$

$\Leftrightarrow b(c+a-2b)+3(ca-b^{2})\leq 0$(luôn đúng)

Ta có đpcm.

Bài 18: Cho $x,y,z$ là ba số thực thỏa mãn: $2x+3y+z=40$. Tìm GTNN của biểu thức:

$S=2\sqrt{x^2+1}+3\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+36}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki ta có:

$S=\sqrt{4x^{2}+4}+\sqrt{9y^{2}+144}+\sqrt{z^{2}+36}\geq \sqrt{(2x+3y+z)^{2}+(2+12+6)^{2}}=20\sqrt{5}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=2, y=8, z=12$

Lần sau bạn chú ý đánh đúng STT bài nhé...

Bài 404: Giải BPT

$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1\leqslant \left ( x^{3} +x\right )\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$

Bài 405: Giải BPT

$\sqrt{3x}+\sqrt{x-2}\geqslant \sqrt{-2x^{2}+8x+10}$

Bài 404:

ĐK: $0< x\leq 1, x\leq -1$

+) $0< x\leq 1$

Bpt$\Leftrightarrow (x^{2}+1)^{2}-2(x-x^{3})\leq (x^{2}+1)\sqrt{x-x^{3}}$

Đây là pt đẳng cấp...

+) $x\leq -1$. Làm tương tự

Bài 405:

ĐK: $2\leq x\leq 5$

Bpt$\Leftrightarrow 4x-2+2\sqrt{3x(x-2)}\geq -2x^{2}+8x+10$

$\Leftrightarrow x(x-2)-6+\sqrt{3x(x-2)}\geq 0$

Đặt $\sqrt{x(x-2)}=t\geq 0$

$\Rightarrow t^{2}-6+t\sqrt{3}\geq 0$

$\Leftrightarrow t\leq -2\sqrt{3}$ hoặc $t\geq \sqrt{3}$

Mà $t\geq 0$ nên $t\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow \sqrt{x(x-2)}\geq \sqrt{3} \Rightarrow x^{2}-2x-3\geq 0$

$\Leftrightarrow x\leq -1$ hoặc $x\geq 3$

Kết hợp ĐK$\Rightarrow 3\leq x\leq 5$

Bài 442: $\frac{8x(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=5-\sqrt{2}$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}+3$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 160: $6\sqrt{x^{2}+5}+12\sqrt[3]{x^{2}+3x+2}=3x^{2}-x+32$ 

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$

Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$

Bài 184: $x^{\sqrt{x^{2}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$

Bài 186: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}+12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Bài 188: $\sqrt{x^{3}+5}+2\sqrt[3]{2x+1}+x=0$

Bài 199: $4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Bài 202: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 \\ &x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2} \end{matrix}\right.$

Bài 207: Giải hpt với $x,y,z> 0$:

$\left\{\begin{matrix} &(x+1)(y+1)(z+1)=5 \\ &(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}-min(x,y,z)=6 \end{matrix}\right.$

Bài 225: $\left\{\begin{matrix} &y^{3}+2x^{3}+3y^{2}+4y+3xy(x+y+2)=2(3x^{2}-16x+14) \\ &5x^{2}+3x+y+3=\sqrt{y^{2}+4x+8}+3x\sqrt{2x^{2}-y+4} \end{matrix}\right.$

Bài 230: $\left\{\begin{matrix} &x^{2015}+y^{2014}=y^{4030}+y^{2016} \\ &7y^{4}+13x+8=2y^{4}.\sqrt[3]{x(3x^{2}+3y^{2}-1)} \end{matrix}\right.$

Bài 276: $\begin{cases} &x^2+2xy-2x-y=0 &\\& x^4-4(x+y-1)x^2 +y^2+2xy=0 & \end{cases}.$

Bài 279: $\sqrt{2-x\sqrt{2}}+\sqrt[4]{2x-2}=1$

Bài 281: Tìm $a,b,c>0, a+b+c=k$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+max\left \{ \frac{2ac}{\left (a+c \right )^{2}};\frac{2ab}{\left (a+b \right )^{2}};\frac{2bc}{\left (b+c \right )^{2}} \right \}=2$

Bài 287: $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{y^{2}+2015})(y+\sqrt{x^{2}+2015})=2015 & & \\ x+y+\sqrt{x+3}=x\sqrt[3]{x+7} & & \end{matrix}\right.$

Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$

Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 292: $\begin{cases} & y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \\ & 4xy^{3}+y^{3}+\dfrac{1}{2}=2x^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \end{cases}$

Bài 297: $\begin{cases} \sqrt{3y^{2}+13}-\sqrt{15-2x}=\sqrt{x+1} & \text{ } \\ y^{4}-2xy^{2}+7y^{2}=(x+1)(8-x) & \text{ } \end{cases}$

Bài 298: $\left\{\begin{matrix} x^3+\frac{1}{3}y=x^2+x-\frac{4}{3}\\y^3+\frac{1}{4}z=y^2+y-\frac{5}{4} \\ z^3+\frac{1}{5x}=z^2+z-\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$

Bài 301: $\left\{\begin{matrix} 2x+4y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=8 & & \\4x+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=6 & & \end{matrix}\right.$

Bài 302: $\left\{\begin{matrix} 1+x+xy=5y & & \\1+x^{2}+y^{2}=6y^{2} & & \end{matrix}\right.$

Bài 304: $\left\{\begin{matrix} 8y^{2}+4xy+2x+1=0 & & \\ (x+y)^{2}-y-3x=1 & & \end{matrix}\right.$

Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài 314: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy=3y^2-y\sqrt{xy} & \\ & \frac{y^2}{1+\sqrt{2-x}}+\frac{(2-x)^2}{1+y}=1 \end{matrix}\right.$

Bài 315: $\left\{\begin{matrix} x(x-3)^3=2+\sqrt{y^3+3y} & \\ & 3\sqrt{x-3}=\sqrt{y^2+8y} \end{matrix}\right.$

Bài 321: $\begin{cases} & y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1) \\ & 3xy^{2}-2y^{2}-2x+1=0 \end{cases}$

Bài 322: $\begin{cases} & \dfrac{25}{9}+\sqrt{9x^{2}-4}=\dfrac{1}{9}\left ( \dfrac{2}{x}+\dfrac{18x}{y^{2}-2y+2}+25y \right ) \\ & 7x^{3}+y^{3}+3xy(x-y)-12x^{2}+6x=1 \end{cases}$

Bài 323: $(4x+3)(\sqrt{4+x}+\sqrt[3]{3x+8}-1)=9$

Bài 324: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 325: $\left\{\begin{matrix} \left ( \sqrt{y} + 1 \right )^{2} + \frac{y^{2}}x = y^{2} + 2\sqrt{x-2}{}\\ x + \frac{x - 1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y \end{matrix}\right.$

Bài 326: $\begin{cases} & 2(x+5)-2(y+4)-3(z-8)=0 \\ & 4(x+5)+6(z-8)=0\\ & (x+5)(x-2)+(y+4)(y-3)+(z-8)(z-1)=0 \end{cases}$

Bài 328: $\begin{cases} & (\sqrt{x-y}-4)(\sqrt{2y-x}+2)=3x-5y-8 \\ & \sqrt{2-y}-\sqrt{x^{2}-2}= x^{2}+\dfrac{5x}{9}-4 \end{cases}$

Bài 331: $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1+x+y+xy & \\ & 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$

Bài 335: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{y}+1)^{2}+y^{2}x=y^{2}+2\sqrt{x-2} \\ &x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y \end{matrix}\right.$

Bài 336: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 338: $2x= (\sqrt[3]{9x+9}-x)^3+3$

Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$

Bài 342: $x(x^{2}-2)= \sqrt{7}$

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 350: $x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Bài 351: $\begin{cases} & x\sqrt{x-2y-1}+y\sqrt{x+2y-1}=2 \\ & x(x-y-2)+1=\sqrt[3]{y^{3}+3xy-3y+1} \end{cases}$

Bài 353: $\sqrt[5]{x-1}+\sqrt[3]{x+8}=x^3+1$

Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$

Bài 357: $\left\{\begin{matrix} &(x+2)(x-y^{2}+1)+\sqrt{(x+1)(y^{2}+1)}=2y^{2}+3 \\ &5y^{2}+22=3\sqrt{x^{2}+8y^{2}}+\dfrac{18}{x+\sqrt{x^{2}-1}} \end{matrix}\right.$

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ

Ta có:

$\sqrt{5x^2+4x}-\sqrt{x^2-3x-18}=5\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{5x^{2}+4x}=5\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-3x-18}$

$\Leftrightarrow 5x^{2}+4x=25x+x^{2}-3x-18+10\sqrt{x(x-6)(x+3)}$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-18x+18=10\sqrt{(x^{2}-6x)(x+3)}$

Đặt $\sqrt{x^{2}-6x}=a, \sqrt{x+3}=b(a,b\geq 0)$

Phương trình trên trở thành:

$4a^{2}+6b^{2}=10ab$

Đến đây nó đã trở thành phương trình đẳng cấp 

Bài 35 đã dc giải ở trang 1

Giải hết đi a phương trình $a=c,b=d$ cũng trâu đấy 

Ta có: $2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}\geq 0\Leftrightarrow 2x\sqrt{2-x^{2}}+2013x-1\geq 0$

+) $-\sqrt{2}\leq x\leq 0\Rightarrow VN$

$\Rightarrow \sqrt{2}\geq x> 0$

$\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}}=\sqrt{x+2013}$

$\Rightarrow (x-1)+(\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}-2012)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)+\frac{(x-1)(8100313x+8096287)}{\sqrt{2-x^{2}}}=0$

Vì $x> 0\Rightarrow x=1$(TM)

P/s: Bài này có lẽ liên hợp ngay từ đầu sẽ nhanh hơn

Bài 460: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}=12 \\ &x^{3}-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$

Bài 242 : Tuyển sinh chuyên Thái Bình 2013-2014 
Giải phương trình : 
$\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}-\sqrt[3]{2014-\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}=\sqrt{x+2013}-\sqrt[3]{x+1}$ 

ĐK: $2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}\geq 0, x\geq -2013, x\neq \pm \sqrt{2}$

Đặt $\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}}=a, \sqrt[3]{2014-\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}}=b, \sqrt{x+2013}=c, \sqrt[3]{x+1}=d$ $\Rightarrow a^{2}+b^{3}=c^{2}+d^{3}\Leftrightarrow (a-c)(a+c)+(b-d)(b^{2}+bd+d^{2})$

Vì $a-b=c-d$(theo gt)$\Rightarrow a-c=b-d$

Mà $a+c+b^{2}+bd+d^{2}> 0\Rightarrow a-c=b-d=0$

Đến đây dễ rồi

P/s: I Love MC đánh lại STT bài đi em.

Bài 227: $x^{2}+\sqrt{2x-3}=5x-5$

Bài 228: $2(x-2)(\sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5})=3x-1$

Bài 226: $2x^{2}-11x+23=4\sqrt{x+1}$

P/s: Giải bằng 10 cách 

Có khá nhiều bài khó trong topic chưa có lời giải. Vì vậy ta sẽ tiếp tục với một bài dễ hơn như sau:

Bài 476: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &(5-x)(1+x^{4}y^{4})=(1+x^{2}y^{2})^{3} \\ &x^{2}y^{2}+x^{2}+x+y^{2}=4 \end{matrix}\right.$

Bài 408: Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2-y^2)+(x+y)(3xy+x-1)=-2 & \\ 2(x^2+y^2)+3x-y-2=0 \end{matrix}\right.$

Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(x+y)(x^{2}+y^{2}+xy+x-1)=-2 \\ &2(x^{2}+y^{2})=2-3x+y \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(x+y)(2-3x+y+2xy+2x-2)=-4 \\ &2(x^{2}+y^{2})=2-3x+y \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(x+y)(2xy+y-x)=-4 \\ &2(x^{2}+y^{2})+3x-y=2 \end{matrix}\right.$

Đặt $x+y=a, x-y=b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &x=\frac{a+b}{2} & \\ &y=\frac{a-b}{2} & \\ &2xy=\frac{a^{2}-b^{2}}{2} & \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có hệ mới: $\left\{\begin{matrix} &a(a^{2}-b^{2}-2b)=-8 \\ &a^{2}+b^{2}+a+2b=2 \end{matrix}\right.$

Pt(1)+a.Pt(2)$\Rightarrow 2a^{3}+a^{2}-2a+8=0$

$\Leftrightarrow a=-2$

Đến đây dễ rồi

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

Bài 298: $\left\{\begin{matrix} x^3+\frac{1}{3}y=x^2+x-\frac{4}{3}\\y^3+\frac{1}{4}z=y^2+y-\frac{5}{4} \\ z^3+\frac{1}{5x}=z^2+z-\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(x-1)^{2}(x+1)+\frac{1}{3}(y+1)=0 & \\ &(y-1)^{2}(y+1)+\frac{1}{3}(z+1)=0 & \\ &(z-1)^{2}(z+1)+\frac{1}{3}(x+1)=0 & \end{matrix}\right.$

+) $x=y=z=-1\Rightarrow$ Thoả mãn

+) $x> -1$, từ pt(1)$\Rightarrow y< -1$

$\Rightarrow$ Từ pt(2)$\Rightarrow z> -1$

$\Rightarrow$ Từ pt(3)$\Rightarrow x< -1$(mâu thuẫn)

+) $x< -1$ cũng không thoả mãn

Vậy $(x,y,z)=(-1;-1;-1)$

Giải HPT 

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}y+2(x-2)^{2}=(xy+y+3x-3)y+10\\ y=x^{2}-x+\sqrt{2x-x^{2}}+2 \end{matrix}\right.$

Đánh STT bài 525 vào đi bạn. Lần sau bạn chú ý hơn khi post bài.

Bài 414: $\begin{cases} & \sqrt{2(4x^{2}+y^{2})}+\sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}=3x-2y \\ & \sqrt{y^{2}+x+6}=2(x+y)+1+5\sqrt{x+1} \end{cases}$

ĐK: $x\geq -1, y^{2}+x+6\geq 0$

Ta chứng minh được:

$\sqrt{2(4x^{2}+y^{2})}\geq 2x-y$

$\sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}\geq x-y$

Cộng 2 bất đẳng thức trên ta được $VT\geq VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow 2x+y=0$

Đến đây thay vào pt(2) là ok...

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 287: $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{y^{2}+2015})(y+\sqrt{x^{2}+2015})=2015 & & \\ x+y+\sqrt{x+3}=x\sqrt[3]{x+7} & & \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Đặt $2015=t$

Khi đó pt(1)$\Leftrightarrow (x+\sqrt{y^{2}+t})(y+\sqrt{x^{2}+t})=t$

$\Leftrightarrow xy+x\sqrt{x^{2}+t}+y\sqrt{y^{2}+t}+\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}=t$

$\Leftrightarrow xy+\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}-t=-(x\sqrt{x^{2}+t}+y\sqrt{y^{2}+t})$

Bình phương 2 vế ta có:

$x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+ty^{2}+tx^{2}+t^{2}+t^{2}+2xy\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}-2xyt-2t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}=x^{4}+tx^{2}+y^{4}+ty^{2}+2xy\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}$

$\Leftrightarrow 2x^{2}y^{2}+2t^{2}-2t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}-2xyt=x^{4}+y^{4}$

$\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})^{2}=2\left [ t^{2}-xyt-t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)} \right ]\geq 0$

$\Rightarrow t^{2}-xyt-t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}\geq 0$

$\Leftrightarrow t-xy\geq \sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}$

$\Rightarrow x^{2}y^{2}-2txy+t^{2}\geq x^{2}y^{2}+t(x^{2}+y^{2})+t^{2}$

$\Leftrightarrow t(x+y)^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x+y=0$

Thay vào pt(2) ta được:

$\sqrt{x+3}=x\sqrt[3]{x+7}$(*)

ĐK: $x\geq 0$

(*)$\Leftrightarrow (\sqrt{x+3}-2)=2x-2+x(\sqrt[3]{x+7}-2)$

$\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=2(x-1)+\frac{x(x-1)}{\sqrt[3]{(x+7)^{2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}}$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=2+\frac{x}{\sqrt[3]{(x+7)^{2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}}$(**)

Ta dễ dàng chứng minh được pt(**) vô nghiệm với $x\geq 0$

Vậy $(x,y)=(1;-1)$

Bài 553: Giải hệ phương trình: