Cho 3 số thực dương x,y,z sao cho $x+y+z=3$

Chứng minh:$$\frac 1{x^2+1}+\frac 1{y^2+1}+\frac 1{z^2+1} \ge \frac 32$$

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho mọi số được cấu tạo bởi $n-1$ số 1 và 1 số 7 đều là số nguyên tố.

Ví dụ  :$ n=2 $ thì 17 và 71 đều là số nguyên tố. 

 

Như tiêu đề, em cần sự trợ giúp

Tổng quát:
$(\sum a_i ) ^2 = \sum a_i^2 + \sum_{i \neq j}a_ia_j$

Phải là $(\sum a_i ) ^2 = \sum a_i^2 + 2 \sum_{i \neq j}a_ia_j$ chứ bạn

Cho các số $a,b,c \gt 0 $ ; $abc = 1$ chứng minh:
$$2\sum{\frac ab}+3\ge3\sum {a} $$
Có anh chị nào giúp em được với cái bđt trên không? Em xin cảm ơn.

$$\frac{1}{\sqrt{2x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2y^2+1}}\le\frac{2}{\sqrt{2xy+1}}$$ 

với $$ 0 \le x,y \le 0,5 $$

Như tiêu đề, nhờ các anh chị giải giúp bài toán trên. Em xin cảm ơn.

Sửa : em lỡ đánh nhầm dấu và quên cái điều kiện 

Như tiêu đề, nhờ các anh chị giải giúp bài toán trên. Em xin cảm ơn.

$\frac{1}{\sqrt{2x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2y^2+1}} \ge \frac{2}{\sqrt{2xy+1}}$

Như tiêu đề, em cần hướng dẫn cách chứng minh bất đẳng thức sau :

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\gt2$$.

Em xin cảm ơn.

Xin được đóng góp cho topic một phương pháp: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ

* Cách 1. Tìm một nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất
Thí dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}=6$ $(1)$
Lời giải : Điều kiện $x<2$
Với phương trình dạng này ta thường dự đoán nghiệm là các giá trị của $x$ mà biểu thức dưới căn nhận giá trị là một số chính phương. Nhận thấy nghiệm của $(1)$ phải lớn hơn $1$. Bằng cách thử ta thấy rằng $(1)$ có một nghiệm là $x=\frac{3}{2}$. Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của $(1)$. Thật vậy:
- Với $x< \frac{3}{2}$ ta có $\sqrt{\frac{6}{3-x}}<2$ và $\sqrt{\frac{8}{2-x}}<4$. Do đó $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}<6$
Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( -\infty ;\frac{3}{2} \right )$
- Với $\frac{3}{2}<x<2$, chứng minh tương tự ta có $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}>6$.
Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( \frac{3}{2};2 \right )$
Vậy PT $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{3}{2}$
* Muốn giải phương trình bằng cách đánh giá thì điều quan trọng là phải đoán được nghiệm của nó. Để đoán nghiệm ta nên chỉ ra khoảng chứa nghiệm và xét trường hợp đặc biệt để tìm ra nghiệm trong đó.
 

Đây chính là phản chứng mà bạn.

Đây là bài đầu tiên em viết tren 4rum. Nếu có sai sót gì xin các anh chị chỉ bảo cho em.

Tình hình là thầy em giao cho một số bài phương trình, trong đó có bài sau em không làm được:

$$x^3+3x^2+x-3=\sqrt[3]{3x+5}$$

Sau đây là những cách mà em đã thử làm:

-Lập phương hai vế (Đùa thôi).

-Đặt ẩn phụ.

-Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

-Đánh giá bất đẳng thức.

Có anh chị nào giúp được em không?