Posted by
Cho phương trình $ax^{3}- x^{2}+ bx- 1= 0$ có ba nghiệm thực dương (không nhất thiết phân biệt). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P= \frac{5a^{2}- 3ab+ 2}{a^{2}\left ( b- a \right )}$
gọi $x,y,z$ là 3 nghiệm của phương trình $ax^{3}- x^{2}+ bx- 1= 0$
Ta có :
$\left\{\begin{matrix} x+y+z=\frac{1}{a} & & & \\ \sum xy=\frac{b}{3} & & & \\ xyz=\frac{1}{a} & & & \end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=x+y+z\Rightarrow \sum xy\geq 9\Rightarrow b\geq 9a\Rightarrow b-a>0$
Khi đó $P=\frac{5-3\frac{b}{a}+\frac{2}{a^2}}{b-a}=\frac{5-3\sum xy+2(x+y+z)^2}{\frac{xy+yz+xz}{x+y+z}-\frac{1}{xyz}}$
$\Rightarrow P=\frac{5(x+y+z)-3(xy+yz+xz)(x+y+z)+2(x+y+z)^3}{xy+yz+xz-\frac{x+y+z}{xyz}}$
Lại có
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{xyz}\leq \frac{27}{(x+y+z)^3} & & \\ xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow P\geq \frac{5t+t^3}{\frac{t^2}{3}-\frac{27}{t^2}}\geq 12\sqrt{3}$ (Với $t=x+y+z$ đoạn này dùng đạo hàm để giải)
