Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Trên đường chéo BD lấy điểm M sao cho BM = 1/4 BO. Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt cạnh CD tại N. Biết AM = 1/2 AN . Chứng minh N là trung điểm của cạnh CD.

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Trên đường chéo BD lấy điểm M sao cho BM = 1/4 BO. Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt cạnh CD tại N. Biết AM = 1/2 AN . Chứng minh N là trung điểm của cạnh CD.

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các điểm E, F là các trung điểm của hai đáy AB và CD (AB < CD), biết rằng EF = 1/2 (CD-AB)

a) Chứng minh hai góc C và D phụ nhau

b) Kéo dài hai cạnh bên của hình thang cắt nhau tại M. Chứng minh ba điểm M, E, F thẳng hàng

Bài 3: Cho tứ giác ABCD có AD = BC và AB <CD. Trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. Nối AN, BP, CQ, DM chúng cắt nhau tại E, F, G, H

a) Chứng minh MNPQ là hình thoi

b) Hai cạnh DA và CB kéo dài cắt nhau tại G, kẻ tia phân giác Gx của góc AGB. Chứng minh Gx//MN

c) Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện gì để MNPQ là hình vuông? Chứng minh.

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Kẻ đường phân giác AD của góc A. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB = CN. Các điểm F, G, H lần lượt là trung điểm của BN, BC và CA. Từ G kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC tại E. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P, N, Q lần lượt là trung điểm của BD, BC , CA. Từ N kẻ đường thẳng vuông góc với PQ tại O và cắt AC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AD

Bài 6: CHo tam giác ABC (góc A <90^o), Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông ABDE, ACGF. Gọi M là trung điểm của DF. Chứng minh tam giác MBC vuông cân

Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, AB sao co AE = AF. Gọi H là hình chiếu của A trên BE. Tính góc CHF

Bài 8:  Cho điểm M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD. Tia phân giác của góc ABM cắt AD ở I. Chứng minh rằng BI $\leq$ 2MI

Bài 9: Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ABE, ACFG có tâm theo thứ tự là M, N. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của EG, BC. 

a) Chứng minh KMIN là hình vuông

b) Nếu tam giác ABC có BC cố định và đường cao tương ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên đường nào?

mình mới học lớp 8 nên ko được áp dụng kt về tứ giác nội tiếp. bạn có cách nào đơn giản hơn không?

 cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH vuông BD. Trung điểm DH là I. Nối AI. Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt cạnh BC ở K. chứng minh K là trung điểm cạnh BC.

1. Cho biểu thức $M=\frac{2\left|x-3\right|}{x^{2}+2x-15}$

a) Rút gọn M

b) Tìm x nguyên để M đạt giá trị nguyên

2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+x+y}=\frac{3}{4}$

3. Tìm số nguyên nghiệm đúng:

$4x^{2}y=(x^{2}+1)(x^{2}+y^{2})$

4. Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$

5. Tìm số nguyên tố p để 4p+1 là số chính phương

6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$2x^{2}+4x = 19 - 3y^{2}$

7. Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1999$

8. Tìm số nguyên dương x thoả mãn x(x+1) = k(k+2) với k là số nguyên dương cho trước.

9. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x - 5y - 6z = 4

10. Tìm x, y tự nhiên biết $2^{x}+1=y^{2}$

11. Chứng minh rằng phương trình $3x^{5}-x^{3}+6x^{2}-18x = 2001$ không có nghiệm nguyên

12. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n > 1 sao cho 

A = $1^{2}+2^{2}+...+n^{2}$ là một số chính phương

13. Tìm nghiệm nguyên của pt: $x^{4}+x^{2}+4=y^{2}-y$

14. Tìm các nghiệm nguyên thoả mãn 2 bpt: 16+5x>3+11 và $\frac{7x}{4}+\frac{3}{2}<\frac{x}{2}+6$

15. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương. Chứng minh rằng 

A = $\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}$ không là số nguyên

16. Tìm 5 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của số này bàng tổng các lập phương của 4 số còn lại

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CD cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng:

a) $\frac{BH}{HC}.\frac{CM}{MA}.\frac{AD}{BD}=1$

b) BH = AC

Giải phương trình: x² + y² + 6y + 5 = 0

Tìm số nguyên n để 

a) 5ⁿ - 2ⁿ chia hết cho 63

b) 5ⁿ - 2ⁿ chia hết cho 9

c) 3ⁿ - 1 chia hết cho 8

d) A = 3²ⁿ⁺³ + 2⁴ⁿ⁺¹ chia hết cho 25

Cho $\bigtriangleup ABC$ có 3 góc nhọn và AB < AC. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H ( $E \in AC, F \in AB$ ).

1. Chứng minh rằng AE . AC = AF . AB

2. Cho$\widehat{BAC}=45^{\circ}.$ Tính $\frac{S_{AEF}}{S_{BCEF}}$

3. AH cắt BC tại D. Kẻ đường thằng qua D và song song với EF cắt AB tại M và CF tại N. Chứng minh rằng D là trung điểm của MN.

Giải phương trình: x² + x + 2 - |x - 1| = 0

Câu 1 (2đ):

1, Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y

A = $(\frac{8x^{3}+1}{2x+1}-2x)(\frac{8x^{3}-1}{2x-1}+2x):\frac{16x^{4}-8x^{2}+1}{2014} (x\neq \pm \frac{1}{2})$

2, Phân tích đa thức thành nhân tử:

x⁴ + 2014x² + 2013x + 2014

Câu 3 (2đ):

1, Cho x, y, z thoả mãn 9x² + 1 = 8y, 16y² + 1 = 10z, 25z² + 1 = 6x

Tính giá trị của biểu thức P = 2012(3x - 2)²⁰¹² + 2013(4y - z)²⁰¹³ + 2014(5z - 2)²⁰¹⁴

2, Tìm x, y biết 5y² + x² + 4xy - 14y - 6x + 10 = 0

Câu 3 (2đ):

1, Giải phương trình sau: x² + x + 2 - |x - 1| = 0

2, Tìm số thực x để Q = $\frac{x - 1}{x^{3}-1}$ có giá trị nguyên

Câu 4 (1đ): Cho x, y $\in \mathbb{R}$ thoả mãn x³ + y³ = 2.

Tìm x, y để x + y có giá trị nguyên

Câu 5 (3đ) Cho $\bigtriangleup ABC$ có 3 góc nhọn và AB < AC. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H ( $E \in AC, F \in AB$ ).

1. Chứng minh rằng AE . AC = AF . AB

2. Cho$\widehat{BAC}=45^{\circ}.$ Tính $\frac{S_{AEF}}{S_{BCEF}}$

3. AH cắt BC tại D. Kẻ đường thằng qua D và song song với EF cắt AB tại M và CF tại N. Chứng minh rằng D là trung điểm của MN.

Cho x + y = 1, x > 0, y > 0. Tìm GTNN của

a) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 

b) $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}$ (a và b là hằng số dương đã cho)

c) $(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}$

Tìm GTNN của biểu thức C = $\frac{x^{6}+27}{x^{4}-3x^{3}+6x^{2}-9x+9}$

Cho x + 2y = 1. Tìm GTNN của x² + 2y²

Chứng minh rằng với a, b, c > 0 thì

$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Tìm GTNN của các biểu thức:

a) A = (x + 8)⁴ + (x + 6)4

b) B = (0,5x² + x)² - 3 |0,5x² + x|

c) C = (x - 1)(x + 3)(x² - 4x + 5)

d) D = x⁴ - 2x³ + 3x² - 2x + 1

e) E = x⁴ - 6x³ + 10x² - 6x + 9

g) G = (x² + x - 6) (x² + x + 2)

Từ giả thiết ta có $a+b=6-c$

                            $ab=9-c(b+a)=9-c(6-c)$

Áp dụng bđt Cauchy ta có 

 $(a+b)^2 \geq 4ab$

$\Rightarrow (6-c)^2 \geq 4[9-c(6-c)]$

Đến đây tự làm được rồi.

Tương tự giải được câu b

Hướng dẫn chi tiết câu b dùm mình với

a) $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

b) $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq a+b+c$

c) $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

a) Cho a + b + c = 6 và ab + bc + ca = 9. Chứng minh rằng $0 \leq a \leq 4,0 \leq b \leq 4,0\leq c\leq 4$

b) Cho a + b + c = 2 và a² + b² + c² = 2. Chứng minh rằng $0 \leq a\leq \frac{4}{3}, 0 \leq b\leq \frac{4}{3}, 0 \leq c\leq \frac{4}{3}$

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$ với a, b, c > 0

b) $(a+b+c)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc$ với a, b, c $\geq$ 0

Chứng minh bất đẳng thức $a^{2}+4b^{2}+4c^{2}\geq 4ab-4ac+8bc$

a)$a^2+b^2+c^2=\left ( \frac{1}{4}a^2+b^2\right )+\left ( \frac{1}{4}a^2+c^2 \right )+\frac{1}{2}a^2\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}a^2b^2}+2\sqrt{\frac{1}{4}a^2c^2}+\frac{1}{2}a^2\geq a(b+c)+\frac{1}{2}a^2$ (câu a hình như thiếu )

Đề đúng đấy, ko sai đâu bạn

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a(b+c)$

b) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq a(b+c+d)$

c) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{4}\geq a+b+c$

d) $a^{4}+b^{4}+2\geq 4ab$