Bài toán:   Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ liên tục trên $\mathbb{R^+}$ sao cho

$$f\left ( \frac{a^2+b^2}{a+b} \right )\geq f\left ( \frac{a}{2} \right )+f\left ( \frac{b}{2} \right )\,\,, \forall a,b\in \mathbb{R^+}$$

Một bài tập nhỏ về quả cầu đóng $B'(a,r)$

Bài toán:   Cho $\left ( E,\left \| . \right \| \right )$ là một $\mathbb{R}$ - không gian vector định chuẩn, $(a,b)\in E^2 \,\,,\,\, (r,s)\in \mathbb{R^{2}_{+}}\,\,,\,\, \lambda\in \mathbb{R}$

Chứng minh rằng:

      1)   $B'\left ( a,r \right )=a+B'\left ( 0,r \right )$

      2)   $B'\left ( 0,r \right )+B'(0,s)=B'\left ( 0,r+s \right )$

      3)  $B'\left ( a,r \right )+B'(b,s)=B'\left ( a+b,r+s \right )$

      4)  $\lambda B'\left ( a,r \right )=B'\left ( \lambda a,\left | \lambda  \right |r \right )$

      5)  $B'\left ( a,r \right )\bigcap B'\left ( b,s \right )\neq \varnothing$    $ \Leftrightarrow$      $\left \| a-b \right \|\leq r+s$

      6)  $B'\left ( a,r \right )\subset B'\left ( b,s \right )$            $\Leftrightarrow$       $\left \| a-b \right \|\leq s-r$

      7)  $B'\left ( a,r \right )= B'\left ( b,s \right )$            $\Leftrightarrow$         $\left\{\begin{matrix}a=b\\ r=s\end{matrix}\right.$

Sau nhiều lần tấn công bài toán https://diendantoanh...-forall-n-ge-2/  không thành công nhưng có một bài toán dễ dàng hơn như sau

Bài toán:   Cho dãy số thực $(u_n)_n$ được xác định như sau

$$a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\,\,,\,\, u_1=0\,\,,\,\, u_2=2\,\,,\,\, u_{n+1}=\frac{u_n+1}{3+\sqrt{u_{n-1}}},\,\, \forall n\geq 2$$

Chứng minh rằng              $\left | u_n-a \right |<\frac{u_{n-1}}{3+\sqrt{u_{n-2}}}\,\,,\,\, \forall n\geq 3$

Cho $x,y\in \left [ 0,1 \right ]$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{\left ( 1-x \right )^2+\left ( 1-y \right )^2}\geq \left ( 1+\sqrt{5} \right )\left ( 1-xy \right )$$