nếu  x lẽ thì $3^{x}\equiv 3 \left ( mod 4 \right )$ 

mà 112chia hết cho 4 

$y^{2}\equiv 3 \left ( mod 4 \right )$ vô lý 

nên x chẵn 112 = $\left ( y-3^{k} \right )\left ( y+3^{k} \right )$

Cho $a,b,c\in Z$. CM $abc(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})\vdots 7$

sai đề với a=b=c=1

Chọn đội tuyển lớp 10 KHTN 2016-2017
(mỗi tội chưa làm ra)

$(Mỹ-1982)$

Chứng minh: Tồn tại $k$ tự nhiên sao cho $k.2^{n}+1$ là hợp số

Với $n=1,2,3,...$

Ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là được :

Th1: n>1

với n chẵn 

$2^{n}\equiv 1\left ( mod 3 \right )$

nên với k có dạng 3x+2 thì $k.2^{n}+1$ $\vdots 3$

với n lẻ 

$2^{n}\equiv 2 \left ( mod 3 \right )$

nên với k có dạng 3x+1 thì $k.2^{n}+1$ $\vdots 3$ 

mà $k.2^{n}+1$ >3 vậy luôn tồn tại k để  $k.2^{n}+1$ chia hết cho 3 từ đây nên $k.2^{n}+1$ là hợp số

Th2 : n=1 thì luôn luôn tồn tai rồi 

p/s : Nếu mà sai thì mong các bạn thông cảm 

Vậy bạn có thể phát biểu lại rõ ràng giúp mình rằng như thế nào là phương trình hàm Cauchy và các điều kiện của phương trình hàm Cauchy là gì hay không ?

Lời giải sau được đề nghị bởi Lâm Hữu Phúc, học sinh lớp 11 Toán trường PTNK - ĐHQG TP.HCM.

Nhận xét rằng vai trò của số $2017$ trong bài toán là không cần thiết cho nên ta sẽ giải bài toán khi thay $2017$ bởi số nguyên dương $p$ bất kỳ. Từ điều kiện đầu tiên, ta có được $f(p^k)=p^{3k}$ với $k$ là số nguyên dương bất kỳ. Tại điều kiện thứ hai, thay $n$ bởi $m$, ta có $f(m)$ là bội của $m$ với mỗi $m$ nguyên dương nên ta đặt $f(m)=m.g(m)$ ($g:\mathbb{N^{*}}\rightarrow \mathbb{N^{*}}$). Khi đó ta có các điều kiện sau:

i) $g(mn)=g(m).g(n) \forall m,n \in\mathbb{N^{*}}$
ii) $m.g(m)+n.g(n)$ là bội của $m+n$.
iii) $g(p^{n})=p^{2n} \forall n\in \mathbb{N^{*}}$.

Đặt $h(m)=g(m)-m^2$ ($h:\mathbb{N^{*}}\rightarrow \mathbb{Z}$) và thay $n$ bởi $p^n$ tại ii), ta có $m.h(m)$ là bội của $m+p^n$. Chọn $n$ đủ lớn thì $h(m)=0$ với mỗi $m$ hay $f(m)=m^3$ với mỗi $m$ nguyên dương. Thử lại thoả mãn.

Kết luận: $f(m)=m^3$ là nghiệm hàm duy nhất. $\blacksquare$

Mong các bạn không thảo luận đề bài còn hạn trên diễn đàn nhé.
Nếu các bạn biết đề đã cũ và đã được giải ở đâu đó trên diễn đàn và các bạn có ý định gửi lời giải, mình nghĩ tốt nhất các bạn hãy ghi rõ nguồn lời giải rồi gửi cho tạp chí.

THPT

cho mình xin link cua thầy nguyen trung tuấn được không bạn ? 

Tìm tất cả các số nguyên x,y,z sao cho $2014^{x}+2015^{y}=2016^{z}$

Mình viết nhầm đề bài, đã sửa 

a=5; b=3; c=2 thì vẫn đúng , lại sai đề rồi 

Chứng minh rằng với mọi m , tồn tại một số nguyên n sao cho $n^{3}-11n^{2}-87n+m \vdots 191$ 

Tìm m,n là số nguyên thỏa mãn $7m^{3}+1=n^{3}$

Đề liền với bài thi luôn mà bạn. Giám thị thu hết rồi

các bạn thi hsg lớp 9 rồi à 

Từ đề bài ta có tồn tại dãy số nguyên không âm $(x_n)_{n\ge 1}$ sao cho $a.2^n+b=x_n^2 \Rightarrow x_n=\sqrt{a.2^n+b}$

Khi đó ta có $2x_n-x_{n+2}=\frac{3b}{\sqrt{a.2^{n+2}+b}+\sqrt{a.2^{n+2}+b}}$
Suy ra $lim_{n \rightarrow +\infty}(2x_n-x_{n+2})=0$ mà dãy $\{2x_n-x_{n+2}\}$ nguyên nên tồn tại $k_0 \in \mathbb{N^*}$ để mà
$2x_n-x_{n+2}=0,\forall n \ge k_0$ hay $2x_n=x_{n+2},\forall n \ge k_0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{a.2^n+b}=\sqrt{a.2^{n+2}+b},\forall n \ge k_0 \Leftrightarrow b=0$
Do đó $a.2^n$ là số chính phương với mọi số nguyên không âm $n$. Hiển nhiên ta phải có $a=0$ (đpcm)

4) cộng 4 vế lại với nhau x⁴+y⁴+z⁴+t^{4 =} 4xyzt rồi dùng bđt cosi thì x=

Giải các hệ pt sau :

 

 

1)      h.gif

 

 

2)     h2.gif

 

 

3)       h3.gif

 

 

4)        h4.gif

 

 

 

5)         h5.gif

y=z=t

Giải như sau:
Để A nguyên thì $\sqrt{12n^2+1}$ nguyên suy ra $12n^2+1$ là số chính phương.
Đặt $12n^2+1=a^2$ như vậy $12n^2=(a-1)(a+1)$
Dễ thấy $(a-1)(a+1)$ chia hết cho 12 suy ra $(a-1);(a+1)$ cùng chẵn nên đặt $a-1=2x,a+1=2y$ <2>
Nhưng lại thấy $gcd(a-1,a+1)=1,2$ mà chúng cùng chắn nên $gcd(a-1,a+1)=2$ do vậy $gcd(x,y)=1$ <1>
Do vậy $3n^2=xy$
Th1: $x$ chia hết cho 3 suy ra theo <1> thì $y$ không chia hết cho 3
Đặt $x=3k$ cũng suy ra $gcd(k,y)=1$ và $n^2=ky$ sở dĩ k,y nguyên tố cùng nhay suy ra mỗi số là chính phương
Do vậy $n^2=p^2.q^2;k=p^2,y=q^2$ như vậy theo <2> thì $a=2q^2-1$
Như vậy $A=2+\sqrt{12n^2+1}=2+2a=4q^2$ là số chính phương $đpcm$
Th2: $y$ chia hết cho 3 suy ra $y=3t$ và xét tương tự như trên.
Vậy ta có bài toán được chứng minh hoàn toàn

2) thì có vô số rồi  nếu b lẻ c tùy ý là được  

Cho $x$ nguyên dương thỏa $2+2\sqrt{2x^{2}+1}$ là số nguyên. CM $2+2\sqrt{2x^{2}+1}$ là số chính phương

hình như phải là $\sqrt{12x^{2}+1}$ chứ nhỉ             

nhân m vào FT 2 rồi trứ vế biện luận là ra

giải và biện luận hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} mx+y=3m-1\\ x+my=m+1 \end{matrix}\right.$

Cho phương trình: $x^2+2(1-m)x-3+m=0$      (m là tham số)

a. Giải phương trình với m=0.

b. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

c. Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.

a dễ 

b ) áp dụng $\Delta = \left ( 2\left ( m-1 \right ) \right )^{2}-4\left ( -3+m \right )$rồi chứng minh lớn hơn 0 là được 

gọi hai nghiệm là x và -x rồi thay vào FT đã cho $\Rightarrow 2\left ( 1-m \right )x=2\left ( 1-m \right )\left ( -x \right )$

suy ra m=1

Giải phương trình:

$$x^2-2x+7+\sqrt{x+3}=2\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+\sqrt{1+2x}}$$

hình như đề sai ở đoạn màu đỏ đáng lẻ phải là 8x

Giải các hệ phương trình sau:

1,$\left\{\begin{matrix} xy+z^2=2 & \\ yz+x^2 =2 & \\ zx+y^2=2 & \end{matrix}\right.$

2,$\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2-4xy+x+5y-4=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

3,$\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-4x+2y=2\\ x(x+1)+y(y+1)=4 \end{matrix}\right.$

TH1 : Với x=-2 dễ rồi 

TH2 : với x khác -2 

ta có từ FT 1 thì $y= \frac{2+4x-3x^{2}}{x+2}$ thế vào FT2 ta suy ra dược phương trình 

$10x^{4}-22x^{3}+6x^{2}+14x-8$=0

$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{3}\left ( 10x-8\right )$

Đến đây thì dễ rồi

$\boxed{10}.$ GHPT: $\left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y-2x^2y^2-12xy^3+8y^4+1=0 \\ 2x^3y+y^4=1 \end{matrix}\right.$

$\boxed{11}.$ (Bài cuối cùng của phần HPT hữu tỉ)

 Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} y^3-x^3=7 \\ x^3-y^2+x=-2 \end{matrix}\right.$

Ta có $y^{3}=x^{3}+7$

$x^{3}+x+2=y^{2}$

$\Rightarrow \left (x^{3}+7 \right )^{2}= \left ( x^{3}+x+2 \right )^{3}$

phân tích ra : $x^{9}+3x^{7}+5x^{6}+3x^{5}+12x^{4}-x^{3}+6x^{2}+12x-41= 0$

$\left ( x-1 \right )\left ( x^{8}+x^{7}+4x^{6}+9x^{5}+12x^{4}+24x^{3} +23x^{2}+29x+41\right )$

$x^{8}+x^{7}+4x^{6}+9x^{5}+12x^{4}+24x^{3}+23x^{2}+29x+41> 0$

vì $x^{3}+x+2=y^{2}$$\geq 0$

nên( x+1) (x²-x+2)$\geq 0$

nên x$\geq -1$

Ta có $x^{8}+x^{7}+4x^{6}+9x^{5}+12x^{4}+24x^{3}+23x^{2}+29x+41$

nếu x$\geq 0$ luôn đúng 

nếu $-1\leq x< 0$ ta có 

$x^{8}+x^{7}+4x^{6}+9x^{5}+12x^{4}+24x^{3}+23x^{2}+29x+41=x^{8}+x^{6}(x+1)+3x^{6}+9x^{4}(x+1)+3x^{4}+1+x^{3}+23x^{2}(x+1)+29x+29+11$$\geq 0$

vây x=1 khi dó y=2

$\boxed{10}.$ GHPT: $\left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y-2x^2y^2-12xy^3+8y^4+1=0 \\ 2x^3y+y^4=1 \end{matrix}\right.$

$\boxed{11}.$ (Bài cuối cùng của phần HPT hữu tỉ)

 Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} y^3-x^3=7 \\ x^3-y^2+x=-2 \end{matrix}\right.$

$\boxed{10}$

Thay $2x^{3}y+y^{4}=1$vào PT đầu :

Ta có 

$x^{4}+4x^{3}y-2x^{2}y^{2}-12xy^{3}+9y^{4}=0$

$\Leftrightarrow \left ( x+3y \right )^{2}\left ( x-y \right )^{2}=0$

Đến đây thì dễ rồi ta chỉ cần thay : $x=y$ hoăc $x=-3y$ vào phương trình $2$ là được.  

Quy về bài toán tìm $a,c$ để $a^2+ac+c^2$ là một số nguyên tố và $(a;c)=1$.
Do để $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}} \in \mathbb{Q}$ thì $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$.