Xác định tất cả các số tự nhiên $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn phương trình $p(p-1)=2(n^{3}+1).$

Xác định những số nguyên dương $n$ để $(x+1)^{n}-x^{n}-1$ chia hết cho $x^{2}+x+1.$

Cho $a, b, c > 0.$ Chứng minh rằng $Q=\frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{bc}{(b+c)^{2}}+\frac{ca}{(c+a)^{2}}\leq \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{1}{4}.$

Cho số nguyên dương $a> 1$. Tìm $n\in \mathbb{N}^{*}$ nhỏ nhất sao cho: $(a^{n}-1)\vdots 2^{2000}.$

Cho $a, b, c> 0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3.$ Chứng minh rằng: $Q=8(2-a)(2-b)(2-c)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab).$

Cho $a, b$ là các số nguyên dương sao cho: $b^{2}\vdots a,  a^{4}\vdots b^{3},  b^{6}\vdots a^{5},  a^{8}\vdots b^{7},...$ Chứng minh rằng $a=b.$

Chứng minh rằng, không tồn tại các số nguyên dương $m, n$ thỏa $\frac{m}{n}+\frac{n+1}{m}=4.$

Cho tập hợp $A=\left \{ 1, 2, 3,..., 2010 \right \}.$ Với mỗi số nguyên dương $n,$ ta kí hiệu $S(n)$ là số dư khi chia $n$ cho $2010, 0\leq S(n)\leq 2010.$ Hãy tìm $Max$ và $Min$ của $S(n)$ với $n$ chạy trên tập hợp $B=\left \{ a^{2}+b^{2} \left.\begin{matrix} \end{matrix}\right| a\in A, b\in A \right \}$

$m=-4,\ n=5$

Tìm các số $m, n$ để biểu thức $A=\frac{2x^{2}+mx+n}{x^{2}+1}$ nhận giá trị nhỏ nhất bằng $1,$ giá trị lớn nhất bằng $6.$

Chứng minh rằng phương trình $\frac{1}{x_{1}^{3}}+\frac{1}{x_{2}^{3}}+...+\frac{1}{x_{n}^{3}}=1$ luôn có nghiệm nguyên dương với mọi số nguyên dương $n\geq 2013.$

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là $a,b,c$. Với các số thực $p,q,r$ thỏa mãn $p+q+r=0$

Chứng minh rằng: $a^{2}pq+b^{2}qr+c^{2}rp\leq 0$

Giải phương trình nghiệm nguyên dương, trong đó $p$ là số nguyên tố thỏa $p^{a}-1=b^{c}.(p-1).$

Chứng minh rằng $(a^{m}-1, a^{n}-1)=a^{(m,n)}-1, \forall a, m, n \in \mathbb{Z}^{+}.$

Cho $a, b, c$ là các số tự nhiên sao cho $28a+30b+31c=365$. Chứng minh rằng: $a+b+c=12$.

Cho số nguyên tố $p$ và $a, b, c\in \mathbb{Z}$ thỏa $\left\{\begin{matrix} p+1 \vdots 6 & & & \\ a+b+c \vdots p & & & \\ a^{4}+b^{4}+c^{4} \vdots p & & & \end{matrix}\right.$.Chứng minh rằng: $a, b, c \vdots p.$

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.$ Chứng minh rằng $1\leq \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\leq \sqrt{2}.$

Cho tam giác $ABC$, $M$ là một điểm bất kì trên cạnh $BC$ không trùng với $B$  và $C.$ Chứng minh rằng $a^{2}.AM^{2}=b^{2}.BM^{2}+c^{2}.CM^{2}+(b^{2}+c^{2}-a^{2}).BM.CM.$

Định dạng tam giác $ABC$ khi nó thỏa mãn các đẳng thức sau:

a. $2\left ( \frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}-\sqrt{3} \right )=cotB+cotC$

b. $sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC$

Tìm các bộ số $(x, y)$ nguyên thỏa mãn $y^{2}=x^{3}-p^{2}x$ với $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3.$

Tìm các bộ ba $(a, b, c )$ với $a, b, c$ nguyên dương và thỏa mãn $2^{a}+3^{b}+1=6^{c}.$

Cho $\Delta ABC$ có $3$ góc nhọn với $AB=c; BC=a; CB=a$ và $M$ thuộc miền trong của $\Delta ABC$ sao cho các đường tròn ngoại tiếp $(MAB); (MBC); (MCA)$ có bán kính bằng nhau. Chứng minh rằng $\frac{1}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}.\underset{MA}{\rightarrow}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}-b^{2}}.\underset{MB}{\rightarrow}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}.\underset{MC}{\rightarrow}=\underset{0}{\rightarrow}.$

Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx.cosx^{3}}{cosx^{2}+1}dx$

Cho $k> 0 \in \mathbb{Z}$ sao cho số $p=3k+1$ là số nguyên tố và $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(2k-1).2k}=\frac{m}{n}$ với $2$ số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $m$ và $n.$ Chứng minh rằng $m\vdots p.$