KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM 2008

Câu 1:Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn $x,y$) sau:
$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^3=29\\log_{3}x.log_{2}y=1\end{array}\right.$
Câu 2:Cho tam giác ABC có góc $\widehat{BEC}$ là góc nhọn,trong đó E là trung điểm của AB.Trên tia EC lấy điểm M sao cho $\widehat{BME}= \widehat{ECA}$ .Kí hiệu $\alpha$ là số đo của góc $\widehat{BEC}$ ,hãy tính tỉ số $\dfrac{MC}{AB}$ theo $\alpha $
Câu 3:Đặt $m=2007^{2008}$.Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà $n<m$ và $n(2n+1)(5n+2)$ chia hết cho m?
Câu 4:Cho dãy số thực $(x_n)$ được xác định như sau:
$x_1=0,x_2=2$ và $x_{n+2}=2^{-x_n}+\dfrac{1}{2}$ với mọi $n=1,2,3...$
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi $n \leftrightarrow +\infty $.Hãy tìm giới hạn đó
Câu 5:Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất 2 chữ số 9?
Câu 6:Cho x,y,z là các số thực không âm ,đôi một khác nhau.Chứng minh rằng
$(xy+yz+zx)(\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2})\geq 4$
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 7:Cho tam giác ABC,trung tuyến AD.Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD.Xét điểm M nằm trên d.Gọi E,F lần lượt là trung điểm của MB,MC.Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P,đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q.CMR đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua 1 điểm cố định ,khi điểm M di động trên đường thẳng d.

Cho dãy số thực $(x_n)$ được xác định như sau:
$x_1=0,x_2=2$ và $x_{n+2}=2^{-x_n}+\dfrac{1}{2}$ với mọi $n=1,2,3...$
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi $n \leftrightarrow +\infty $.Hãy tìm giới hạn đó

Cho x,y,z là các số thực không âm ,đôi một khác nhau.Chứng minh rằng
$(xy+yz+zx)(\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2})\geq 4$
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?

Đặt $m=2007^{2008}$.Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà $n<m$ và $n(2n+1)(5n+2)$ chia hết cho m?

Cho tam giác ABC có góc $\widehat{BEC}$ là góc nhọn,trong đó E là trung điểm của AB.Trên tia EC lấy điểm M sao cho $\widehat{BME}= \widehat{ECA}$ .Kí hiệu $\alpha$ là số đo của góc $\widehat{BEC}$ ,hãy tính tỉ số $\dfrac{MC}{AB}$ theo $\alpha $

Cho tam giác ABC,trung tuyến AD.Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD.Xét điểm M nằm trên d.Gọi E,F lần lượt là trung điểm của MB,MC.Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P,đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q.CMR đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua 1 điểm cố định ,khi điểm M di động trên đường thẳng d.

Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất 2 chữ số 9?

Links nè
Problems 1
Problems 2
Problems 3
Problems 4
Problems 5
Problems 6
Problems 7

Mọi người ra bao nhiêu. Mình ra 6 không biết đúng không

Nếu mà 6 là sai rồi bạn.$m=2007^{2008}$ ma`

Có lẽ hi vọng cho năm sau thôi...

hehe,năm sau anh Thực không thi nữa đấy mà

Tiếc là bài này hồi trước mình post lên forum 1 lần rồi nói chung cũng dễ nhưng sau đó nó bị hack vào thùng rác chắc là hacker là người của bộ giáo dục cũng nên

http://diendantoanho....php?...A3i mới

Một lời giải của anh Nesbit chỉ 1 dòng :
Giả sử c nhỏ nhất rồi dùng AM-GM anh có
$VT=\dfrac{1}{ (a-b)^2}+\dfrac{(a-b)^2}{(b-c)^2(a-c)^2} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{2}{(a-c)(b-c)} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{4}{ab+bc+ca}$

hehe,thế mà cái bài của ku zaizai Văn cứ nhìn qua tưởng là giống với bài của anh Đào Hải Long nên không đọc nữa,không ngờ là bài thi QG và lời giải của anh Khuê lại đơn giản đến thế

Đoàn cậu có 1 người rất ...giỏi

ku Đông nói thế này không biết có ý gì đây?

Bài này tương tự một bài trong 360 problems của Titu Andreescu!

Nói kiểu này chắc tìm chết mất.Anh tanlsth có lời giải thế nào?

Và đây là đề thi( file PDF)

Thi xong xuôi tất cả lại về nghỉ tết . Những người đánh giá đề thi tốt nhất thì anh nghĩ phải là người trong cuộc cơ. Còn nữa phong cách ra đề này không giống hồi trước nên đánh giá sẽ không chính xác.

Nói thật chứ em thấy đề năm ngoái còn dễ chịu hơn đề năm nay nhiều.
Em có một thắc mắc là bây giờ đề thi Quốc Gia cũng lấy lại các đề đề nghị như Olympic 30-4 hay sao ạ?Có nhiều người hỏi em về vấn đề này lắm rồi mà em vẫn chưa có câu trả lời.

hoangna ở Hải Phòng em của anh QUân (IMO 2001) phải kô nhỉ.Làm như bạn chắc khỏi phải lo rồi .Đề không khó lắm nhưng chủ yếu tâm lí thi cử thôi.Năm nay không khí nghe u ám quá

Anh Tuấn làm thế nào?
@tuan101293: Bạn học trường nào vậy?

Mình tìm lại đây rồi bạn,một lỗi nhỏ mà
http://diendantoanho...?...=37752&st=0

Lâu rồi mới thấy anh neverstop trở lại,anh làm tiếp cái topic này nữa ko?

Hình như là cuốn 102 hay 103 gì đó chứ,sao lại có 108?

Phần còn lại là chứng minh:

$f\left(a,\dfrac{b+c}{2},\dfrac{b+c}{2}\right)\ge f\left(a,\dfrac{1-a}{2},\dfrac{1-a}{2}\right)=\dfrac{(3a-1)^2(a^3-a+4)}{4a(1-a)}\ge 0$

Đúng ra là = chứ ku:

$f\left(a,\dfrac{b+c}{2},\dfrac{b+c}{2}\right)= f\left(a,\dfrac{1-a}{2},\dfrac{1-a}{2}\right)=\dfrac{(3a-1)^2(a^3-a+4)}{4a(1-a)}\ge 0$

Nếu cần tham khảo thêm về chuyên đề p,q,r thì có thể xem thêm bài viết của ku zaizai có post trên VI hoặc một bài viết của thầy giáo nào đó trên TTT2.Có lẽ cái p,q,r được xem là pp mạnh và thường xuyên được sử dụng vì thông qua p,q,r ta có thêm mối liên hệ giữa 3 biến mới này,lúc đó bài toán dễ dàng được giải quyết.Về cái pp của anh Đào Hải Long mà ku HoangTuanAnh có nhắc đến nếu anh nói ko sai là việc sử dụng đẳng thức $(b-c)^2+(c-a)^2=(a-b)^2+2(a-c)(b-c)$,có lẽ khi đi vào phòng thi thì ít ai nghĩ đến cái này được,chủ yếu là sử dụng dồn biến,hơi dài nhưng mà hiệu quả

Thi đại học có cho dồn biến ko?
Mình ko rõ lắm về mấy món BDT này.

Có lẽ thi Đại học sẽ không ra những dạng khó khăn đến mức dùng dồn biến đâu,chủ yếu vẫn là AM-GM và Cauchy-Schwarz

Ai có khả năng giải bđt này bằng nhiều cách ko ?
càng nhiều càng tốt
$ \sum_{i=1}^n a_i \geq n \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$

Thêm cái đk $a_i\geq 0$ với $i=1,2,...n$ đi em.BDT AM-GM này có rất nhiều cách cm,em có thể tham khảo cuốn 10000 Bài Toán BDT của thầy Phan Huy Khải,trong đó có trên 25 cách cm BDT này

hj`,bài này đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca=1,r=abc$.Ta có $p^2\geq 3q=3$Ta cần cm:$2p^3-7p+9r\geq 0(1)$
Áp dụng BDT Schur,ta có: $9r\geq p(4q-p^2)=p(4-p^2)$
$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2p^3-7p+4p-p^3\geq 0 \Leftrightarrow p^3\geq 3p$(đúng) $\Rightarrow dpcm$