Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{3} +b^{3} +c^{3} =1 $ và:
$$ \dfrac{a^{2}}{\sqrt{1-a^{2}}} + \dfrac{b^{2}}{\sqrt{1-b^{2}}}+ \dfrac{c^{2}}{\sqrt{1-c^{2}}} \geq k $$
Tìm $k$?
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Có 12 mục bởi nguyenkant (Tìm giới hạn từ 05-06-2020)
Đã gửi bởi nguyenkant on 03-09-2017 - 21:15 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{3} +b^{3} +c^{3} =1 $ và:
$$ \dfrac{a^{2}}{\sqrt{1-a^{2}}} + \dfrac{b^{2}}{\sqrt{1-b^{2}}}+ \dfrac{c^{2}}{\sqrt{1-c^{2}}} \geq k $$
Tìm $k$?
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Đã gửi bởi nguyenkant on 03-09-2017 - 23:34 trong Bất đẳng thức - Cực trị
$\sum \frac{a^3}{a\sqrt{1-a^2}} \geq 2\sum a^3 =2$$=> k=2$
BĐT không xảy ra dấu ''='' .
k tốt nhất không phải là $2$ mà xấp xỉ là $2,071186$ thì phải (không nhớ rõ). Và vẫn có dấu bằng
Bài này có đăng trên AoPS mà hình như không ai quan tâm nhỉ
Đã gửi bởi nguyenkant on 17-10-2017 - 00:11 trong Bất đẳng thức - Cực trị
phía trên e tính nhầm $m = - 1$ mới đúng. A kiểm tra thử xem. Hi vọng nó sẽ không sai !
Đã gửi bởi nguyenkant on 09-10-2017 - 00:15 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Lời giải rất hay nhưng làm sao nghĩ ra được đánh giá trên ?
Ta cần tìm 1 đánh giá:
$$ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \geq \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1 }$$
đúng với mọi giá trị $a$ , tức là ta cần tìm $m$ thỏa mãn đánh giá trên. Ta coi:
$$ f(a) = \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} - \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1 }$$
là 1 hàm số theo biến $a$ và tìm $m$ sao cho hàm số đại Giá trị nhỏ nhất là $0 $ khi $a=1$.
Ta tìm $m$ sao cho thỏa mãn:
$$ f'(1) = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{8} $$
Để chứng minh đánh giá trên đúng ta chỉ cần tương đương.
Nếu tính toán đạo hàm không có gì sai thì đánh giá trên là đúng.
Đã gửi bởi nguyenkant on 08-10-2017 - 17:47 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bổ đề: [ Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje ]
Với $x,y,z$ dương và $xyz=1$ ta có:
$$ \sum \dfrac{1}{x^{2} +x+1} \geq 1$$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$ \sum \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \right ] \geq 1 $$
Ta có đánh giá sau:
$$ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \geq \dfrac{1}{a^{\dfrac{1}{4} } +a^{\dfrac{1}{8}} +1 }$$
Theo bổ đề trên ta thu được điều phải chứng minh.
Đang đi uống cafe không biết tính toán hay có sai chỗ nào không mọi người xem giúp.
Đã gửi bởi nguyenkant on 09-10-2017 - 01:04 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Đã gửi bởi nguyenkant on 07-09-2017 - 17:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài cũ trên Toán học tuổi trẻ, Baoriven đã từng giải bài này trên VMF cách đây khoảng $2$ năm bạn có thể trao đổi với Baoriven
Đã gửi bởi nguyenkant on 27-02-2018 - 21:12 trong Tổ hợp và rời rạc
Tổng quát:
Xét đa giác đều $n$ cạnh. Số tam giác tù:
Đã gửi bởi nguyenkant on 08-09-2017 - 16:25 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Đã gửi bởi nguyenkant on 08-09-2017 - 16:29 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Đã gửi bởi nguyenkant on 16-02-2018 - 02:00 trong Thi TS ĐH
Mình thấy trên writelatex có flie $\TeX$ của quyển này.
Đã gửi bởi nguyenkant on 07-09-2017 - 17:06 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học