nhiều khi do xã hội nữa nhé các bạn

Do mấy thằng lãnh đạo thôi ,học giỏi hiện nay thất nghiệp .Học giỏi toán ra không giúp gì cho đời ,trong khi học giỏi ngôn ngữ thì làm ra tiền nhiều .Học sinh hiện nay chơi nhiều hơn học .Tiền cho học sinh giỏi ít .Gian lận thi cử nữa ,thi đại học thì trắc nghiệm ,chán phèo .Vào học chuyên mà lo đại học là chủ yếu ,mà mình nghĩ vào chuyên nên học chuyên sau và thi các cấp .Hs vào chuyên hiện nay ít đam mê toán ,lối học thực dụng giết chết toán học.Lãnh đạo thì ngu ngốc

Bài tập : Cho $x, y$ thực dương sao cho $x+y=1$ .Tìm cực trị của $P=(x^2+\frac{2018}{y^2}).(y^2+\frac{2018}{x^2})$

Bài tập tiếp :cho $a, b, c, d$ thỏa mãn $ac-bd=1$.Chứng minh $a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc\geq\sqrt{3}$.Mình giải cách hơi dài, mai pít lên

Bài tập : Cho $x, y$ thực dương sao cho $x+y=1$ .Tìm cực trị của $P=(x+\frac{2018}{y})^2+(y+\frac{2018}{x})^2$

Ngô Quý Đăng vẫn có tên trong danh sách dự thi Vietnam TST 2021 nhé

Cu Đăng tạch rùi ! Tiếc quá.Cu Lâm , Cu Nghĩa phong độ víp quá

CÂU BĐT LÀ ĐỘ CHẾ THÔI

giúp câu 4 tý anh em

Lam co luong k a e

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^3+(x+1)^3+...+(x+7)^3=y^3$

Có kẻ thêm đường phụ nhé anh em

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC. P, Q lần lượt là giao của EF với tiếp tuyến tại B và C của (O). MF cắt AD tại L, ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K. Chứng minh  IK vuông góc với EL

 

 

Mở rộng rất hay

Nhiều cách giải rất hay ,cảm ơn anh em nhé

Gọi $n $ là tốt nếu $n $ thỏa mãn bài toán.
Ta chứng minh một số tính chất sau:

1. $n\equiv 1, 2 \pmod 4 $

Thật vậy, viết bài toán dạng $\sum\limits_{k=1}^{n}2^{a-a_{k}} = 2^{a} $ và $\sum\limits_{k=1}^{n}k.3^{a-a_{k}} = 3^{a} $ với $a = \max\{a_{k}\} $

Ta có $\sum\limits_{k=1}^{n}k\equiv \sum\limits_{k=1}^{n}k.3^{a-a_{k}} = 3^{a}\equiv 1\pmod 2 $, do đó $n\equiv 1, 2 \pmod 4 $.

2. Nếu $n $ thỏa mãn bài toán và $n $ lẻ thì $n+1 $ cũng thỏa mãn bài toán.

Chứng minh:

Vì $n $ lẻ nên $j = (n+1)/2 $ là số nguyên dương.

Đặt dãy mới như sau: 

$(b_1,...,b_{n+1}) = (a_1,a_2,..,a_{j-1},a_{j}+1,a_{j+1}...,a_{n},a_{n+1} = a_{j}+1) $

Dễ thấy $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2^{b_k}} = 1 $ và $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{k}{3^{b_k}} = 1 = \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{3^{a_k}} - \frac{3j}{3^{a_j}} + \frac{3j}{3^{a_j+1}} + \frac{3(n+1)}{3^{a_j+1}} = 1 +\frac{3j+3n+3}{3^{a_j+1}} - \frac{3j}{3^{a_j}}= 1 $.

3. Nếu $n = 8l-2 $ thỏa mãn thì $n+3 $ cũng thỏa mãn.

Chứng minh như trên. Lặp dãy mới bằng cách chọn $j = (3n+6)/8 $ và thay $a_j $ bởi $a_{j}+2 $, thêm $a_{n+1},...,a_{n+3} = a_{j}+2 $.

4. Nếu $n + 2 = 3j $ và $n $ thỏa mãn thì $n+3 $ cũng thỏa mãn.  

Dùng BĐT Holder ta có
$(1+1)^1(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n \ge (1+a_2.a_3...a_n)^{\frac{n(n+1)}{2}}$
$=2^{\frac{n(n+1)}{2}} = \left( 2^{\frac{(n+1)}{2}}\right)^n \ge ( 2\ln2.n )^n=n^n(2\ln2)^n > 2n^n, (n \ge 3)$
Vì ta có hàm số $f(x)=2^{\frac{x+1}{2}}-2\ln2.x \ge 0, \forall x \ge 3$  

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn
$ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1 $  

[Only registered and activated users can see links. ] Cho tam giác $ABC$ và điểm $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ của tam giác. Đường tròn này tiếp xúc với $AB,AC,BC$ tại $K,L,M$ theo thứ tự. $LM$ cắt $BJ$ tại $F$, $KM$ cắt $CJ$ tại $G$. Gọi $S,T$ lần lượt là giao điểm của $AF,AG$ với $BC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $ST$.

[Only registered and activated users can see links. ] Cho số nguyên $n \ge 3$ và các số thực dương $a_2,a_3,\ldots,a_n$ thỏa mãn $a_2 \cdots a_n= 1$. Chứng minh rằng
$$ (1+a_2)^2(1+a_3)^3 \cdots (1+a_n)^n > n^n $$

[Only registered and activated users can see links. ] Trò chơi đoán kẻ nói dối là một trò chơi giữa hai người chơi $A$ và $B$. Quy tắc của trò chơi phụ thuộc vào hai số nguyên dương $k$ và $n$ mà cả hai người chơi đều đã biết trước.

Bắt đầu trò chơi, $A$ sẽ chọn các số nguyên $x$ và $N$ với $1 \le x \le N$. $A$ giữ bí mật số $x$ và nói số $N$ cho $B$. $B$ sẽ cố thu nhận thông tin về số $x$ bằng cách hỏi $A$ các câu hỏi như sau : mỗi câu hỏi bao gồm việc $B$ xác định một tập $S$ tùy ý các số nguyên dương (có thể là một tập đã được nhắc đến trong câu hỏi trước đó) và hỏi $A$ xem $x$ có thuộc $S$ hay không. Sau mỗi câu hỏi, $A$ phải trả lời có hoặc không, nhưng có thể nói dối bao nhiêu lần tùy thích, chỉ có điều là phải trả lời đúng ít nhất một trong số $k+1$ câu hỏi liên tiếp.

Sau khi $B$ đã hỏi xong, $B$ phải chỉ ra một tập $X$ có tối đa $n$ số nguyên dương. Nếu $x \in X$, $B$ thắng; nếu ngược lại, $B$ thua. Chứng minh rằng :

1. Nếu $n \ge 2^k$, $B$ có thể đảm bảo một chiến thắng.
2. Với mọi $k$ đủ lớn, tồn tại một số nguyên $n \ge 1.99^k$ sao cho $B$ không thể đảm bảo có một chiến thắng.
3.  

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương ${{a}_{0}}>1 $, xác định dãy số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots $ sao cho với $n\ge 0$ thì
$\[{{a}_{n+1}}=\left\{\begin{aligned}
\sqrt{{{a}_{n}}}\text{ , }\sqrt{{{a}_{n}}}\in \mathbb{Z} \\ 
{{a}_{n}}+3,\sqrt{{{a}_{n}}}\notin \mathbb{Z} \\ 
\end{aligned}\right.\]$

Xác định tất cả các giá trị ${{a}_{0}}$ sao cho tồn tại một số nguyên dương $A$ mà ${{a}_{n}}=A$ với vô hạn giá trị tự nhiên của $n.$ 

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[f\left( f(x)f(y) \right)+f(x+y)=f(xy)\] với mọi $x,y\in \mathbb{R}.$

Bài 3. Có một con thỏ và một thợ săn chơi trò chơi trên mặt phẳng Euclid. Con thỏ xuất phát tại điểm ${{A}_{0}}$ còn thợ săn xuất phát tại ${{B}_{0}}$ cùng một lúc. Sau $n-1$ lượt chơi, vị trí của thỏ và của thợ săn lần lượt là ${{A}_{n-1}},{{B}_{n-1}}$. Ở lượt cuối cùng của trò chơi, có ba điều sau lần lượt xảy ra:
(1) Con thỏ di chuyển bí mật đến một điểm ${{A}_{n}}$ mà khoảng cách từ ${{A}_{n-1}}$ đến ${{A}_{n}}$ là $1.$ 
(2) Một thiết bị thăm dò báo vị trí ${{P}_{n}}$ cho thợ săn, biết khoảng cách từ ${{P}_{n}}$ đến ${{A}_{n}}$ không vượt quá $1.$ 
(3) Thợ săn di chuyển từ vị trí ${{B}_{n-1}}$ đến vị trí ${{B}_{n}}$ cách nhau một khoảng là $1.$ 
Hỏi thợ săn có thể luôn chọn được cách di chuyển thích hợp không để sau ${{10}^{9}}$ lượt chơi, với mọi cách đi của thỏ và mọi vị trí mà thiết bị thăm dò trả về, đều có thể đảm bảo rằng khoảng cách từ thợ săn đến thỏ không vượt quá $100$?

Link tải file PDF:

Ngày 1.

Bài 1. Tìm $a,n$ nguyên dương với $a>2$ để mỗi ước nguyên tố của $a^n-1$ cũng là ước nguyên tố của $a^{3^{2016}}-1.$

Bài 2. $A$ là tập $2000$ số nguyên phân biệt và $B$ là tập $2016$ số nguyên phân biệt. $K $ là số cặp $(m,n)$ có thứ tự với $m$ thuộc $A$ và $n$ thuộc $B$ mà $|m-n|\leq 1000$. Tìm max $K$?

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $B,C$ cố định, $A$ chuyển động trên cung $BC$ của $ (O)$. Các phân giác $AD,BE,CF$ giao nhau tại $I$. Đường tròn qua $D$ tiếp xúc với $OA$ tại $A$ cắt $(O)$ tại $G$. $GE,GF$ giao $(O)$ lần thứ hai tại $M,N$. $BM$ giao $CN$ tại $H.$
a) Chứng minh rằng $AH$ đi qua một điểm cố định.
b) $BE, CF$ giao $(O)$ lần lượt tại $K,L$. $AH$ giao $KL$ tại $P$. $Q$ là một điểm trên $EF$ sao cho $QP=QI.$ $J$ là điểm nằm trên $(BIC)$ sao cho $IJ\perp IQ$. Chứng minh rằng trung điểm $IJ$ chuyển động trên một đường tròn cố định.

Ngày 2.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\angle ACB<\angle ABC<\angle ACB+\dfrac{\angle BAC}{2}$. Lấy điểm $D$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $\angle ADC=\angle ACB+\dfrac{\angle BAC}{2}$. Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $A$ cắt $BC$ tại $E$. Phân giác $\angle AEB$ cắt $AD$ và cắt $(ADE)$ tại $G$ và $ F$, $DF$ giao $AE$ tại $H.$
a) Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $AE,DF,GH$ có một điểm chung.
b) Trên phân giác ngoài $\angle BAC $ và trên tia $AC$ lần lượt lấy các điểm $K$ và $M$ sao cho $KB=KD=KM$, trên phân giác ngoài $\angle BAC$ và trên tia $AB$ lần lượt lấy các điểm $L$ và $N$ sao cho $LC=LD=LN.$ Đường tròn đi qua $M,N$ và trung điểm $I$ của $BC$ cắt $BC$ tại $P$ ($P\neq I$). Chứng minh rằng $BM,CN,AP$ đồng quy.

Bài 5. Cho $a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n$ ($n\geq 3$), trong đó mỗi số $a_i $ nhận giá trị $\in \{0;1\}$. Xét $n$ bộ số $S_1=(a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n)$, $S_2=(a_2,a_3,...,a_n,a_1)$;...;$S_n=(a_n, a_1, ..., a_{n-2},a_{n-1})$. Với mỗi bộ số $r=(b_1,b_2,...,b_n)$, đặt $\omega(r)=b_1.2^{n-1}+b_2.2^{n-2}+...+b_n.2^0.$ Giả sử các số $\omega(S_1); \omega(S_2);...;\omega(S_n)$ nhận đúng $k $ giá trị phân biệt.
a) Chứng minh rằng $n\vdots k$ và $\omega(S_i)\vdots \dfrac{2^n-1}{2^k-1}$ $\forall i=\overline{1,n}.$
b) Kí hiệu $M$ và $m$ lần lượt là max và min của $\omega(S_1),...,\omega(S_n)$. Chứng minh rằng $M-m\geq \dfrac{(2^n-1)(2^{k-1}-1)}{2^k-1}.$

Bài 6. Cho các số thực phân biệt $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{16}$. Với mỗi đa thức hệ số thực $P(x)$; đặt $V(P)=P(\alpha_1)+P(\alpha_2)+...+P(\alpha_{16}).$
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đa thức $Q(x)$ bậc 8 có hệ số $x^8$ bằng $1$ thỏa mãn
i) $V(QP)=0$ với mọi đa thức $P$ có bậc bé hơn $8.$
ii) $Q(x)$ có $8$ nghiệm thực (tính cả bội).  

NĂM NAY K CÓ BẤT ĐẲNG THỨC NHỈ ,

bạn nào gõ telex lưu lại chứ trôi mất

Hay

Nhà xuất bản đại học sư phạm ,chuyên đề bồi dưỡng khối 8 nữa ak bạn ,giá 80k

Chuyên đề bồi dưỡng khối 9 ,tác giả Trương quang an ,