cho tứ giác ABCD
$DA \cap CB =K,AB \cap DC =L,AC \cap KL =G,DB \cap KL= F$
cmr:$\dfrac {KF}{FL}=\dfrac{KG}{GL}$

Bài này chỉ cần sử dụng Menenauyt cho các tam giác:
Tam giác KLC(B,E,D)
Tam giác KLD(G,C,A)
Tam giác KCD(A,L,B)

Gợi ý :Bài này dùng tích phân!

Cho tam giác ABC,1 đt qua trọng tâm G cắt 2 cạnh AB,AC tại E,F.CMR:
$\dfrac{EA}{EB} \dfrac{FA}{FC} \geq 4$

Bài này dùng phép quay là oke!

Cho A,B,C,D,E cùng thuộc 1 mặt phẳng.CMR:
AB+BC+DE+EA<AC+AD+AE+BC+BD+BE

Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I.P là điểm nằm trong tam giác thỏa mãn:

CMR: AP AI.

Mình xin bổ sung thêm:
Bài 3b) Đưa về c/m đẳng thức vecto:
$ \vec{AB} \vec{CD} + \vec{AC } \vec{BD}+ \vec{AD} \vec{BC} = \vec{0} $
Bài 4:
Tuy là dãy số cơ bản nhưng c/m ko dễ đâu.Mình mới chỉ biết 1 cách là dùng định nghĩa.

CÂU1(2đ):
Giải hệ pt sau:
$ \left\{\begin{matrix}x+ \sqrt{x^2+1}=2006^y \\y+ \sqrt{y^2+1}=2006^x \end{matrix}\right. $

CÂU 2(2đ):
1)Cho đa thức $P(x)= a_{0} + a_{1} cosx+ a_{2} cos2x+..+ a_{2006} $cos2006x với hệ số thực.CMR:nếu$ P(x)>0 \forall x \in R$ thì $a_{0} >0.$
2)Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số$ y= \dfrac{x^2-2mx+m}{x+m}$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.

CÂU3(2đ):
1) Cho các số thực dương a,b,c t/m abc=1.CMR:
$ \dfrac{1}{a^2+2b^2+3} + \dfrac{1}{b^2+2c^2+3} + \dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \leq \dfrac{1}{2}$ .
2)Cho tứ diện ABCD.CMR: 1 trong 3 số $aa'cos \alpha ,bb'cos \beta ,cc'cos \gamma$ bằng tổng của 2 số còn lại .Trong đó:
a=BC,a'=AD,b=CA,b'=BD,c=AB,c'=CD,$ \alpha =(BC,AD), \beta =(AC,BD), \gamma =(AB,CD).$

CÂU4(2đ):
Cho dãy số thực:
$ x_{1} =2006; x_{n+1} = \sqrt{3}+ \dfrac{ x_{n} }{ \sqrt{ x_{n}^2-1 } } $ .
Tính $ \lim_{n\to+ \infty } x_{n} .$

CÂU5(2đ):
Cho tam giác ABC và 2 điểm M,N thuộc cạnh BC,P,Q lần lượt thuộc các cạnh CA,AB sao cho MNPQ là hình vuông.Nhận dạng tam giác ABC biết:
$ \dfrac{AM}{AN} = \dfrac{AC+ \sqrt{2}AB }{AB+ \sqrt{2}AC } $ .

THE END.

Hay đấy!

bạn có thể nói rõ hơn về kĩ thuật chọn điểm rơi ko?

Kĩ_thuật_chọn_điểm_rơi_là_một_pp_khá_hay!
Đầu_tiên_bạn_xác_định_dấu_bằng_bdt_xảy_ra_khi_nào.Từ_đó_tìm_cách_ghép_các_số_để_sử_dụng_các_bdt_nhưCosi,Bunhia,Svac..

Phải nói thật là bài này khá dễ.Mình hơi tiếc vì bạn k0 làm được,có lẽ ngồi trong phòng thi lên áp lực tâm lí.
Bài này xuất phát từ 1 đẳng thức quen thuộc:với abc=1 thì:

Áp dụng:



Làm tương tự rồi áp dụng đẳng thức ở trêndpcm

CMR: với mọi tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính đơn vị điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là:

Đề đóm chán quá

Đề bài có vấn đề gì đâu hả bạn TUNGTUNG!

Tính các góc cuả tam giác ABC ; biết $\Large -4sin^3A + sin2B + sin2C + 4sinA = 2\sqrt{2} $

Bài này dễ thôi!
Vế trái=$-4sin^3A+4sinA+2sinAcos(B-C)$
$ \leq -4sin^3A+6sinA=2sinA(3-2sin^2A)= \sqrt{4sin^2 A(3-2sin^2A)(3-2sin^2A)} \leq 2 \sqrt{2}$(Sử dụng AM-GM)
Dấu= xảy ra khi tam giác ABC đều.

Cho hình H có diện tích lớn hơn 1.CM: tồn tại 2 điểm A,B thuộc H t/m:$AB^2$là số nguyên dương.

Tôi có 2 cách như sau:
C1)
bdt$ \Leftrightarrow (a^2x+b^2y+c^2z)^2 \geq 16S^2(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow (a^2x+b^2y+c^2z)^2 \geq(xy+yz+zx)(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4)$
Đến đây có thể khai triển và dùng AM-GM.
C2)
Đặt cotgP=x,cotgQ=y,cotgR=z với P,Q,R là 3 góc 1 tam giác.
Đặt $ S_{ABC} =S, S_{PQR}=S'.$
bdt cần c/m $ \Leftrightarrow a^2cotgP+b^2cotgQ+c^2cotgR \geq 4S.$

Tôi có 2 cách như sau:
C1)
bdt$ \Leftrightarrow (a^2x+b^2y+c^2z)^2 \geq 16S^2(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow (a^2x+b^2y+c^2z)^2 \geq(xy+yz+zx)(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4)$
Đến đây có thể khai triển và dùng AM-GM.
C2)
Đặt cotgP=x,cotgQ=y,cotgR=z với P,Q,R là 3 góc 1 tam giác.
Đặt $ S_{ABC} =S, S_{PQR}=S'.$
bdt cần c/m $ \Leftrightarrow a^2cotgP+b^2cotgQ+c^2cotgR \geq 4S.$

C/m tiếp cách 2 như sau:goi p,q,r là các cạnh tam giác PQR
bdt$ \Leftrightarrow a^2(q^2+r^2-p^2)+b^2(p^2+r^2-q^2)+c^2(p^2+q^2-r^2) \geq 16SS'$(sử dụng ct:$cotgP= \dfrac{q^2+r^2-p^2}{4S'}$)
$ \Leftrightarrow a^2(2q^2-2pqcosR)+b^2(2p^2-2pqcosR)+2c^2xycosR \geq 4absinCpqsinR $
$ \Leftrightarrow 2(aq-bp)^2+4abpq(1-cos(C-R) \geq 0 $ (đúng)
Dấu = xảy ra khi 2 tam giác đồng dạng

Bài này có thể tổng quát.C/m tương tự như bài trên!

Giả sử a=max(a,b,c)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Rightarrow đpcm.

Hình như lovewin ghi nhầm đề.Đề bài phải như thế này:
$ \sqrt{3} +cotgA+cotgB+cotgC \leq \dfrac{1}{sinA} + \dfrac{1}{sinB} + \dfrac{1}{sinC} $
Để c/m bdt này ta làm như sau:
bdt$ \Leftrightarrow \sqrt{3} \leq \sum \dfrac{1-cosA}{sinA}$
$ \Leftrightarrow \sqrt{3} \leq \sum tg \dfrac{A}{2}$
Cái này dùng Jensen là ra!
(Để viết đúng công thức bạn đặt xem phần cách ghõ công thức)

kí hiệu vec to thi phai viet the nao vay anh
chi em voi
em moi tham gia dien dan

Để viết dấu vecto em làm như sau:
Nhấn vào ở bảng bên trái.Thay tất cả dấu :trong công thức bằng \.Thêm $ vào 2 đầu công thức.Cuối cùng bôi đen toàn bộ công thức(vừa giữ chuột trái vừa dê chuột đi)

Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm.M,N t/m:.CMR:

Sao không ai làm bài này à!

Cho a,b,c>0 t/m:ab+bc+ca=1.CMR:
$4(a+b+c)- \dfrac{1}{abc} \leq \sqrt{3} $

Cho a,b,c>0 t/m:ab+bc+ca=1.CMR:
$4(a+b+c)- \dfrac{1}{abc} \leq \sqrt{3} $

Bài này còn có thể dùng lượng giác hóa!