Tìm $ p,q $ là các số nguyên tố thỏa : $ p^3 + 107 = 2q(17q + 24) $ 

Các anh chị có thể tổng hợp cho e một số BĐT mà có liên quan đến 3 cạnh của tam giác được không ạ, E đang muốn sưu tầm đề và các cách chứng minh luôn ạ. 

Cảm ơn các anh chị ạ ^^

Cho hình chữ nhật ABCD có M là trung điểm BC, N trên CD sao cho $ \frac{ND}{NC} = \frac{1}{4} $ Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của BN với AM và AC. Trong các số nguyên dương x,y,z thỏa $ \frac{BP}{x} = \frac{PQ}{y} = \frac{QN}{z} $ , tìm Min của S = x+y+z

Mình có tìm thấy trên mạng bản PDF của cuốn sách hình học hữu ích của giáo sư Titu Andreescu. Có điều đây là bản tiếng anh, hơi bất tiện nhưng chiệu khó dịch cũng không sao    Do file khá lớn nên các bạn để lại gmail mình sẽ gửi. 

Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(0)$, có đường cao $AD$, ($D$ thuộc $ BC$). Kẻ $ DE, DF$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$, ($ E$ thuộc $AB$, $F$ thuộc$ AC$). Gọi I là giao điểm $BF, CE$. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm $AD, AI$. CMR: 3 điểm $M,N,O$ thẳng hàng  

Cho hình chữ nhật $ ABCD $ nội tiếp $ (O) $ . Trên cung $ BC $ nhỏ lấy $ E $ trên cung $AD$ nhỏ lấy $ F $ . Goi $ M $ là giao của $ AE và BF $. Gọi  $ N$ là giao của $ CF và DE $ . CMR $ M,O,N  $ thẳng hàng 

Mọi người cho e ý kiến bài này vs, cách nào nhẹ nhẹ thôi :v 

Cho a,b,c dương. CMR : 

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}} \geq \sum \frac{a}{b+c}$ 

Cho $ x,y$ là các số dương thỏa $(x+1)(y+1) = 4$

GTLN, GTNN của P = $\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}$ 

Cho $ x,y,z $ là các số dương thỏa : $ x+y+z = 1$

Tìm GTLN của  

                                                  P = $\frac{x}{x+yz} + \frac{y}{y+xz} + \frac{\sqrt{xyz}}{z+xy}$ 

1) Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $abc =1$

CMR: $\sum (\frac{1}{\sqrt{1+a^2}})\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

2) Cho $a,b,c $ là các số không âm thỏa $(a-b)^2 = a+b+2$

CMR $(1+\frac{a^3}{(b+1)^3})(1+\frac{b^3}{(a+1)^3})\leq 9$ 

Có bài này mong mọi người đóng góp bằng pp xuống thang nếu được: 

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 

$ a^2 - 3b^2 = c^2 $

Chữ đàn hoàn của bạn cũng sai chính tả kìa   . Có thể đó là do thói quen, với cả bây giờ từ ko cx phổ biến, vô tình sử dụng là chuyện bình thường mà bạn. 

$ \textbf{ Bài toán } $ ( Vô địch Nga 2002 ) Cho tam giác $ ABC $ nội tiếp $ (O) $, $ I $ là tâm nội tiếp. $ BI $ cắt $ (O) $ tại $ E $, $ CI $ cắt  $ (O) $ tại $ D $. Vẽ $ (D), (E) $ tiếp xúc lần lượt $ AB, AC $. CMR $ I $ thuộc tiếp tuyến chung của $ (D) $ và $ (E) $.

Gọi $ L $ là giao của $ AM $ và $ EF $. Qua $ L $ kẻ đường thẳng song song với $ BC $ cắt $ AB, AC $ tại $ P, Q $. Khi đó ta có $ L $ là trung điểm $ PQ $, suy ra $ \Delta IPQ $ cân 

Có $ \Delta IFP = \Delta IEQ $ ( ch-cgv ) và $ LIFP, \ LIQE $ nội tiếp $ \Rightarrow  \angle PLF = \angle PIF = \angle EIQ = \angle ELQ $ suy ra $ \overline{F,L,E} $. 

Ta có $ \frac{4}{3} \geq x^2 + y^2 + z^2 - x - y - z \geq \frac{(x+y+z)^2}{3} - (x+y+z) $

Suy ra $ 0 \geq (x+y+z)^2 - 3(x+y+z) - 4 $ hay $ 0 \geq (x+y+z-4)(x+y+z+1) $

Nếu  $ x+y+z \leq -1 $ và $ x+y+z \geq 4 $ (Vô lí) nên $ x+y+z \geq -1 $ và $ x+y+z \leq 4 $ (đpcm)

Cho a,b,c > 0 . CMR:

$P = a^2 +b^2 +c^2 + \frac{9abc}{a+b+c} -2(ab+ac+bc) \geq 0$

$ \sum \sqrt{ \frac{a}{b+c - ma } } = \sum \frac{a}{ \sqrt{a(b+c-ma)} } \geq \sum 2\frac{a}{a+b+c-ma}   = \sum \frac{a^2}{a^2+ab+ac-ma^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2 - m(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{3(a+b+c)^2}{(3-m)(a+b+c)^2} = \frac{3}{3-m} $ Ta cần cm $ \frac{3}{3-m} \geq \sqrt{m+1}$. Thật vậy, 2 vế dương nên BĐT tương đương 

$ \frac{9}{(m-3)^2} \geq m+1 $. Ta có $ VT \geq \frac{9}{4} , VP \leq 2 $ Vậy có dpcm. Dấu "=" không xảy ra. 

Cho điểm P nằm ngoài (O). Từ P vẽ 2 tiếp tuyến PA, PB đến (O). AB cắt OP tại H. Gọi K là trung điểm PH. CMR AK $ \bot  $ HN. 

Cho phương trình $ x^2 + ax + b+1 = 0$ trong đó $a,b \in \mathbb{Z}, b \neq -1$. Chứng minh rằng nếu phương trình có 2 nghiệm đều là số nguyên thì $ a^2 +b^2 $ là hợp số. 

Bạn áp dụng công thức Heron thôi

Ta có $(a+b+c)(a+b-c)=4t= \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)}\Rightarrow (a+b-c)(a+b+c)=(b+c-a)(a+c-b) \Rightarrow a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow$ tam giác ABC là tam giác vuông theo Pytago đảo

Nếu đã chứng minh tam giác $ ODF $ mà $ OK $ vuông $ DF $ => $ K $ là trung điểm DF. Mặt khác có $ K $ là trung điểm $ BH $ suy ra $ BDHF $ là hình bình hành => $ HF $ // $ AD$  mà  $ H $ là trung điểm $ BC $ nên $ F $ là trung điểm $ AC $ ( t/c đường trung bình ) 

Cho các số a,b,c,d thỏa $ -\frac{1}{2}  \leq a,b,c,d \leq  \frac{1}{2} $ . Chứng minh rằng nếu tổng ba số bất kì trong 4 số là 1 số nguyên thì $ a=b=c=d $ 

Đề KHTN 2015 vòng 2 

Hình như đề bài là tìm nghiệm nguyên dương 

Bạn giả sử $a\geq b \geq c$

$(1+\frac{1}{c})^{3} \geq (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})= 2 = \frac{128}{64} > \frac{125}{64} \Rightarrow 1+\frac{1}{c} > \frac{5}{4} \Rightarrow c < 4$

Xét các TH $ c = 1, 2 , 3 $ rồi tương tự tìm $a,b$ là ok

$\sum \frac{a^2}{(2a+b)(2a+c)} = \sum \frac{a^2}{2a(a+b+c)+2a^2+bc} \leq \frac{1}{9}\sum (\frac{2a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc}) = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}.$

Ta chứng minh $ \sum \frac{a^2}{2a^2+bc} \leq 1$. Ta có $ \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1 \Leftrightarrow \sum \frac{bc}{2a^2+bc} \geq 1 \Leftrightarrow \sum \frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2} \geq 1 \Leftrightarrow (bc+ac+ab)^2\geq 0 $ ( Đúng). Vậy $ \frac{a^2}{(2a+b)(2a+c)} \leq \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} $.

Dấu "=" xảy ra khi $ a=b=c$ hoặc 1 số bằng không và 2 số còn lại bằng nhau.