Áp dụng bổ đề , kể cả khi thực hiện liên tiếp $2$ loại bước chuyển như trên thì luôn $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=1$ và $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=-1$
Khi đó sau một số hữu hạn thực hiện thay phiên các bước chuyển thì từ $1$ điểm $(x;y)$ bất kì có thể tạo ra được các điểm $(x+1;y+1);(x+1;y-1);(x-1;y+1);(x-1;y-1)$

Bạn có thể giải thích chỗ này cho mk đc ko ?

cho a>b>0 và a³-a²b+ab²-6b³=0

$\frac{a^{4}-4b^{4}}{b^{4}-4a^{3}}$

Từ gt suy ra $(a-2b)(a^2+ab+3b^2)=0$ mà a>b>0 suy ra a=2b

--> Thay vào ...

Mà đề bài sai sai thì phải

minhf sửa rồi ạ

OK vậy bạn thay $a=2b$ vào thì tính đc $\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}=\frac{-4}{21}$ thế là xong

$\left\{\begin{matrix} (m+1)x &+ (m+1)y &=4m \\ x& + (m-2)y &2 \end{matrix}\right.$ , với m thuộc R 

tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó

Dễ thấy m=-1 thì phương trình đầu vô nghiệm.

Xét $m\neq -1 , HPT $<=>\begin{matrix} (m+1)x &+ (m+1)y &=4m \\ (m+1)x& + (m+1)(m-2)y &=2(m+1) \end{matrix}

$<=>(m+1)(m-3)y=-2m+2$ (1) ( lấy 2 phương trình trên trừ vế theo vế )

Vì m =3 thì (1) vô nghiệm nên với $m\neq 3$ thì $y=\frac{-2m+2}{(m+1)(m-3)}<=>x=\frac{4m^2-10m-2}{(m+1)(m-3)}$

Vậy, với $m\neq 3$, $m\neq -1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(\frac{4m^2-10m-2}{(m+1)(m-3)};\frac{-2m+2}{(m+1)(m-3)})$

sau khi trừ thì kết quả sao lại = -2m +2

$2(m+1)-4m=-2m+2$, đúng ko nhỉ

tìm x,y thỏa mãn phương trình 

xy²+2xy+x=32y

x,y nguyên hay có đk gì ko vậy???

$\left\{\begin{matrix} x^{3}= &2x +& y \\ y^{3}= &2y +& x \end{matrix}\right.$

Từ phương trình đầu suy ra $y=x^3-2x$

Thay vào phương trình thứ 2, ta có:

 $(x^3-2x)^3-2(x^3-2x)-x=0$ 

$<=>x^9-6x^7+12x^5-10x^3+3x=0$

$<=>x(x^2-3)(x^2-1)^3=0$

$<=>$ x=0 thì y=0

           $x=\sqrt{3}$ thì $y=\sqrt{3}$ 

           $x=-\sqrt{3}$ thì $y=-\sqrt{3}$

           x=1 thì y=-1

           x=-1 thì y=1

Vậy,..............

cho 2 số tự nhiên a,b thõa mãn 2a²+q=3b²+b

cmr 2a+2b+1 là số chính phương

Xem ở đây https://olm.vn/hoi-d...ion/141678.html

rồi ạ

Pt đã cho $<=>\frac{32y}{(y+1)^2}=x$ là số nguyên dương

                   $<=>32y\vdots (y+1)^2$

                   $=>32y\vdots y+1$ 

                   $<=>32(y+1)-32\vdots y+1$

                $<=>32\vdots y+1$

                $<=>y+1$є{2;4;8;16;32}(Vì y là số nguyên dương $=>y+1\geq 2$)

                $<=>y=1=>x=8$(t/mãn)

                hoặc $y=3=>x=6$(t/mãn)

                hoặc $y=7=>x=\frac{7}{2}$(loại)

                hoặc $y=15=>x=\frac{15}{8}$(loại)

                hoặc $y=31=>x=\frac{31}{32}$(loại)

Vậy,.....

Tìm các số tự nhiên m,n và số nguyên tố p thỏa mãn: p^m +pⁿ =  p^m.n

Dễ thấy nếu m hoặc n bằng 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Xét $m,n\neq 0$

$=>m,n\geq 1 <=>p^m+p^n\vdots 2<=>p^{mn}\vdots 2<=>p\vdots 2<=>p=2$(Vì p là số nguyên tố)

Ko mất tính TQ, giả sử $m\geq n\geq 1$

=> Pt ban đầu $<=>2^n(1+2^{m-n})=2^{mn}<=>1+2^{m-n}$ là một lũy thừa của 2 

$<=>2^{m-n}=1<=>m=n=>2^m+2^m=2^{m+1}=2^{m^2}$

$<=>m^2=m+1$ ---> Ko có nghiệm nguyên m

Vậy, pt vô nghiệm

$\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$

 

với  $-1 \leq $ x $\leq 1 $

$\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(1+x+\sqrt{1-x^2}+1-x)}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$

$=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}$(Vì $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}>0$)

$=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1+x+2\sqrt{1-x^2}+1-x}$

$=\sqrt{2}\sqrt{(1-\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}$

$=\sqrt{2}\sqrt{1-1+x^2}$

$=x\sqrt{2}$

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện 

$f(af(y)+bx)=cx+dy+e,\forall x,y\epsilon \mathbb{R} (a,b,c,d\neq 0;b\neq -ac)$(mk ko bt ký hiệu của "thuộc")

tìm m để đường thẳng y=(m+2)x+m song song với đường thẳng y=3x-2

Đường thẳng y=(m+2)x+m song song với đường thẳng y=3x-2

$<=>m+2=3$ và $m\neq -2$

$<=>m=1$(Thỏa mãn)

Ta có:

$\frac{(x+y)^2}{x^2 + y^2}+ \frac{(x+y)^2}{xy}$

$=(x+y)^{2}(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy})$

$\geq (x+y)^{2}\frac{9}{x^2+y^2+2xy+2xy}(Do \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c})$

$\geq (x+y)^2\frac{9}{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2}}(Do 4xy\leq (x+y)^2)$

$=\frac{9}{\frac{3}{2}}=6$

Dấu "$=$" xảy ra $<=>x=y$

Vậy,...

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-3}{2}$

Pt đã cho $<=>(x^2+4x+5)^2=4(2x+3)$

                $<=>x^4+8x^3+26x^2+32x+13=0$

                $<=>(x+1)^2(x^2+6x+13)=0$

                $<=>x=-1$(t/m ĐKXĐ)

Vậy,...

Cho x,y > 0 và x+y $\leq$ 1. Tìm GTNN của A = $\frac{1}{x^2 + y^2}$ + $\frac{504}{xy}$

$A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+\frac{503}{xy}$

$<=>A\geq \frac{9}{x^2+y^2+4xy}+\frac{503}{xy}(Do \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\forall a,b,c>0)$

$<=>A\geq \frac{9}{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2}}+\frac{503}{\frac{(x+y)^2}{4}} (Do 4xy\leq (x+y)^2)$

$<=>A\geq \frac{9}{1+\frac{1}{2}}+\frac{503}{\frac{1}{4}}(Dox+y\leq 1)$

$<=>A\geq 2018$

Dấu "="xảy ra $<=>x=y=\frac{1}{2}$

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(af(y)+bx)=cx+dy+e(a,b,c,d,e\neq 0, b\neq -ac)$

cho x,y,z đôi 1 khác nhau thõa mãn x³=3x-1 , y³=3y-1, z³=3z-1

CMR x²+y²+z²=6

Từ giả thiết suy ra x,y,z lần lượt là 3 nghiệm khác nhau của phương trình $a^3-3a+1=0$

=>$(a-x)(a-y)(a-z)=0$

$<=>a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-xyz=0=a^3-3a+1$

Quy đồng hệ số 

$=>x+y+z=0$

      $xy+yz+zx=-3$

$<=>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=6$

Vậy ta có ĐPCM.

cho P(x) = x³-3x²+14x -2

tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 sao cho P(x) chia hết cho 11 

$P(x)\vdots 11<=>(x-1)^3+11x-1\vdots 11<=>(x-1)^3\equiv1(mod 11)$

Dễ thấy lập phương của một số tự nhiên chia 11 dư 1 khi và chỉ khi số tự nhiên đó chia 11 dư 1 (tự chứng minh bằng cách lần lượt xét các số dư của số tự nhiên đó cho 11)

$=>x-1\equiv1(mod 11)$

$<=>x\equiv2(mod 11)$

$<=>x=2,13,24,...,90$

cho P=$\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$

biết    $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

ĐKXĐ:$a^3-4a^2+5a-2\neq 0$

Ta có :

$a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

$<=>a^3=55+\sqrt{3024}+55-\sqrt{3024}+3(\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}})\sqrt[3]{(55+\sqrt{3024})(55-\sqrt{3024})}$

$<=>a^3=110+3a<=>(a-5)(a^2+5a+22)=0<=>a=5$(T/m ĐKXĐ)

Thay $a=5$ vào

$=>P=\frac{7}{3}$

Vậy,...

Câu 4:[attachment=35161:xDDD.JPG]

Cho ánh xạ $f: \mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$ với $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$

Tìm $A=\left \{ y|y=f(x),x\in \mathbb{R},x>0 \right \}$

Xét $0<x<1$ và $x>1$

$=>...=>A=(-\infty ;-3)\bigcup(0;+\infty)$

1, x^2-5y^2=17

Từ pt đã cho $=>x^2$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 -> Ko có nghiệm nguyên x,y

2,x^2+2x+1=37

Từ pt đã cho $=>(x+1)^2=37$ -> Ko có nghiệm nguyên x

3,x^2+x+1=xyz

Từ pt đã cho $=>xyz=x^2+x+1\neq 0<=>x^2+x+1\vdots x<=>1\vdots x<=>x\pm =1$

Thay vào pt ban đầu $=>$ tìm đc $y,z$ tùy theo $x=1$ hay $x=-1$

4,1/x+1/y=z

Từ pt đã cho $=>\frac{x+y}{xy}=z\epsilon \mathbb{Z}<=>x+y\vdots xy$

                     $<=>x\vdots y;y\vdots x<=>x=y\neq 0$

                                                    hoặc $x=-y\neq 0$ 

$+)x=-y=>(x;y;z)=(a;-a;0)\forall a\epsilon \mathbb{Z},a\neq 0$

$+)x=y=>\frac{2}{x}=z<=>xz=2<=>...<=>(x;y;z)=(...)$

Vậy, ...

5,x^-25=y^2

Có vấn đề với đề bài

 

Hai vợ chồng nhà kia sinh được một cậu con trai dễ thương mạnh khỏe. Nay đã bốn tuổi rồi… Một đêm nằm chưa ngủ được cô tâm sự với chồng.

Anh ah! Con vẫn …bú… dù em đã hết …sữa rồi ! nó vẫn cứ nhằn thôi . Nhiều hôm em đau quá không chịu được.

Người chồng cũng xót xa tiếc vợ. Rồi cũng cười nhẹ và nói.

Anh đã có cách, em bôi chút dịch gì đó vào nó bú thấy khó chịu là bỏ liền. Đêm đó người chồng lấy một lọ màu vàng ra và bôi vào nhũ hoa vợ. Hôn vợ yêu một cái cái rồi đi trực ca đêm. Đã giữa đêm rồi người chồng chợt nhớ ra là mình đã lấy nhầm lo thuốc cực độc bôi cho vợ. Anh thốt lên thôi chết rồi ba giết con rồi. Anh liền lên xe tức tốc lao về nhà. Khi về tới nhà anh thấy mọi người đang đúng rất đông quanh nhà mình.

Biết con có chuyện chẳng lành anh lại than lên trong tuyệt vọng. Con ơi ! ba giết con rồi !

Trong nhà thì phát ra tiếng xôn xao người thì bảo kệ mẹ nó cho nó chết. Người lại bảo gọi xe cấp cứu. Người cha lại càng thêm tuyệt vọng khụy gối trước cổng than khóc. Chợt có ai vỗ vào vai mình người cha vô cùng bất ngờ khi nhìn đó là con trai mình.

Lúc đó cậu khẽ nói ba ơi! sao chú hàng xóm tự nhiên lại chết trong nhà mình…

 

Đọc truyện ko bt nên khóc hay nên cười