Bổ đề : Cho $n \geq 4$, chứng minh $3n^2 < 3^n (n \in N)$
- Với $n = 4$ => $3n^2 = 3 * 4^2 = 3 * 16 = 48$ còn $3^n = 3^4 = 81$
$48 < 81$ = > $3n^2 < 3^n$
Cho $n^2 + 3^n = m^2$ với $m\in N, m > n$
<=> $(m - n)(m + n) = 3^n$
- Với $n = k$, $k\in N$, Cho $3k^2 < 3^k$
- Với $n = k+1$ => $3^{k+1} = 3^k * 3 > 3k^2 * 3 = 3 * [(k+1)^2 + 2k^2 - 2k + 1)]$
Vì $k \geq 4$ => $(k+1)^2 > k^2 \geq 16$ => $k^2 + 2k + 1 > k^2 > 16$
=> $2k^2 + 2k + 1 - 2 > 16 + 16 - 2 > 0$
=> $3^{k+1} > 3(k+1)^2$
=> Với mọi $n \geq 4, n\in N$, $3n^2 < 3^n$
Giải :
Cho$m - n = 3^q$ và $m + n = 3^p$ với $p > q$ và $p,q \in N$<=> $p - q \geq 1$
=> $3^{p-q} = \frac{m+n}{m-n} = 1 + \frac{2n}{m - n}$
=>$1 + \frac{2n}{m-n} \geq 3^1 = 3$
=> $\frac{2n}{m-n} \geq 2$
=>$n \geq m - n$ => $2n \geq m$
=> $3^n = (m - n)(m + n) \leq (2n - n)(2n + n) = 3n^2$
=>Theo bổ đề : $3n^2 < 3^n$ với $n \geq 4$ => $n \leq 3$
Thử trực tiếp, ta nhận $n = 1$ và $n = 3$ làm nghiệm