Bài 114: Tìm tất cả các số x, y $\in N$ thỏa mãn $85^x-y^4=4$

Ta có

**: x chẵn . dễ chỉ ra vô nghiệm

**: x lẻ

$85^x=(y^2+2y+2)(y^2-2y+2)$

Đặt $d=UCLN(y^2+2y+2;y^2-2y+2)$

nên $4y\vdots d$

Trường hợp d chẵn thì $85^x$ chẵn(Vô lí)

Trường hợp $y\vdots d$ thì $85^x\vdots d$ nên $4\vdots d$

Nên $d=1$

Lại có $y^2+2y+2>y^2-2y+2$

Áp dụng bổ đề 

$a^b=xy$ với $(x,y)=1$ thì $x=(x_1)^b$ và $y=(y_1)^b$ với $(x_1,y_1)=1$. Chứng minh ở topic cũ  

Ta có $y^2+2y+2=17^x$

$y^2-2y+2=5^x$

 

Trừ vế theo vế, ta có

$4y=17^x-5^x$

Thế lại vào phương trình gốc

với $(a,b)=(17^x,5^x)$

Ta có $(a-b)^4-1024-256ab=0$ tương đương

$(a^2-2ab+b^2+8a+8b+32)(a^2-2ab+b^2-8a-8b+32)=0$ đến đây giải dễ rồi nhỉ

Ko biết cách này vào phòng thi được ko 

Vừa chợt kiếm ra ý tưởng khi giải TH sau, Có thể chặn được x

Sao bạn phân tích được hay vậy. Có kĩ thuật gì chỉ mình với.

Power of cumputer

Dùng chương trình gì vậy nhỉ, trước đây trước khi nhóm mình bị hỏng thì có 1 anh tên tthnew hay chia sẻ mấy tip về cách dùng cumputer để dùng S.O.S, mà giờ quên tên rồi

sos nhé

https://github.com/t...w/MaplePackages

may còn trên github

May quá, mà dùng sao nhỉ, với lại nặng ko nhỉ

cái này phải tải maple về tầm 2gb

đều mình ko biết dùng

Khỏi bàn cãi gì nữa vì bất đẳng thức này đã sai với $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4},c=\frac{23}{6}$

https://www.wolframa...,c>0,ab+bc+ac=3

ơ thế volfram sai à

em kiểm tra bằng gì vậy

Bài 117: Tìm $x\in Z^+$ và p là số nguyên tố sao cho $7^p-4^p=31x^2$

Ngồi hay đứng thử $p=2,3$ ta có $p=3$ thỏa mãn

Xét $p>3$

TH1: $p=3k+1$ nên 

$7.343^k-4.64^k\equiv 2^k(7-4)\equiv 0(mod31)$ vô lí

tương tự TH còn lại

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2=2(b^2+c^2)$. Tìm $GTNN$ của biểu thức: $P= \sum \frac{a}{b+c}$.

 

Ps: Câu trên đều trích trong đề kiểm tra cuối học kì II LỚP 8 

Cách khác đổi biến $x=\frac{b}{a}$ và $y=\frac{c}{a}$ rồi biến đổi tương đương

Gần đây bạn thu vi còn chứng minh được tiên đề Euclid thứ năm với lý thuyết thiếu hiểu biết của mình, tức là không có hình học phi Euclid nào hết, bóp "thẳng" mọi thứ trong hình học và còn lan sang cả Vật lý học bao gồm cả thuyết Einstein và hình học của vũ trụ (không rõ bạn thu vi đủ hiểu biết để nhận ra hay không). Tất cả mọi thứ đều là hình học Euclid, kể cả Trái Đất hay não bạn ấy.

https://diendantoanh...-tiên-đề-ơclit/

Xin nhắc lại là đừng áp dụng nếu không muốn phẳng hóa mọi thứ.

aida

chắc bạn í nhầm là ngày cá tháng 4 thui mà

Chết lỗi quá, cái pic thứ 2 đảo lên đầu giúp em với ạ, cái đầu thì cho xuống dưới

ở dưới bài viết của bạn có nút sửa đấy, bạn click vào r chọn thứ tự thêm phù hợp là xong

AM-Gm điểm rơi

$a=b=c=1$

Mình nhớ không nhầm thì đây là bài bất đẳng thức VMO 2015

Đúng rồi, bài này xuất hiện trrong eplison số nhiu đó

Em còn hơi bỡ ngỡ mấy cái latex nên anh/chị nhìn tạm mấy cái pic này ạ Em gõ bên trang khác đấy ạ ​

Lời giải của bạn thiếu, bạn nên để í điều kiện cho là $a,b,c\geq 0$. Nó còn có điểm rơi đạt tại 0

Để tối ưu hóa kết quả thì ta nên dùng bđt schur

Bài 130: Cho $a;b$ là các số nguyên dương thỏa $ab\mid a^{2}+b^{2}$  . Tìm tất cả giá trị có thể có của $\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$

*Nếu được hãy giải cho trường hợp $a;b$ nguyên 

Cách 2:

Đặt $a=dx$

$b=dy$ với $d=(a,b)$

$(x,y)=1$

Chỉ ra được $x^2+y^2\vdots xy$ 

Dễ chi ra $x=y$ hay $a=b$

nên chỉ có 1 giá trị là 2

Cách 1 có thể giải đc Bài toán phụ 

Sao phog cứ làm cách này nhỉ??

$\boxed{135}$ Tìm các số nguyên dương $(p,q)$ thỏa mãn $p$ là số nguyên tố và $p^5+p^3+2=q^2-q$

P.s: Một bài hơi giống 134

Ta có: $p^3(p^2+1)=(q-2)(q+1)$

$\blacksquare $ Xét $p=2$ thì $(q-2)(q+1)=40\Rightarrow q=7$

$\blacksquare $ Xét $p=3$ thì $(q-2)(q+1)=270\Rightarrow q=17$

$\blacksquare $ Xét $p>3$ thì $(q+1)-(q-2)=3<p$ do đó $p+1$ và $p-2$ không thể cùng chia hết cho $p$

Nên chỉ có $p+1$ hoặc $p-2$ chia hết cho $p^3$ mà $p^3>p^2+1$ nên $\left\{\begin{matrix}p^3=q+1 & \\ p^2+1=q-2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow p=2;q=7$

Vậy có 2 cặp số (p;q) thỏa mãn là (2;7) và (3;17)

Tại sao TH3 lại có thể chia ra như vậy. Như thế là không chặt chẽ bởi vì $p^2+1$ có thể là hợp số

Là sao a? $q+1>q-2$ mà một trong hai số chia hết cho $p^3$ nên $q+1=p^3$ còn $q-2=p^2+1$ (Ý kiến riêng của em)

Ví dụ như $p^2+1=xy$ thì cũng có thể $q+1=p^3.x$ và $q-2=y$ có sai gì đâu đúng k?

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\sum \frac{1}{b+c}\geq \sum \frac{a}{a^2+bc}$

P.s: Cho Kiet bài luyện cho zui. Hints là dùng schur (Rảnh thì cm cái bổ đề đó luôn nhé)

Hoặc có cách khác

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$

$VT-VP=\frac{c(a-b)^2(a^2+b^2+ab+ac+bc-c^2)}{(b+c)(a^2+bc)(c+a)(b^2+ca)}+\frac{(c-a)(c-b)}{(a+b)(c^2+ab)}\geqslant 0$

écc

kinh quá làm cách khác đi

Cái này trong đề ts 10

Có thể dùng vornicu schur,

Thấy đơn giản hơn

Đề nào v a? Bài này thì nhìn vào nên phân tích sao cho có nhân tử (a-b)^2 và (c-a)(c-b) để có thể có hướng khai triển, còn cách khác thì em đang nghĩ, 

Thật ra thì nó cũng giống vậy thôi, nhưng có cách giải tổng quát cho mấy bài kiểu này. e xem ở đây nè

https://lovetoan.wor...vo-quoc-ba-can/

$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ là các số thực dương thỏa mãn: } a\le 1; b\le 2; a+b+c=6.$

$\textrm{Chứng minh bất đẳng thức } (a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$

Tks Kiệt

Dồn biến về c

Cụ thể

Bđt cần cm tương đương

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$ (chỉ thay giả thiết vào)

AMGM

$8ab\leq (2a+b)^2\leq (7-c)^2$

Dễ thấy $c\geq 3$

Nên 

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq (\frac{(7-c)^2}{8})(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$

hay $-3c^3+35c^2-113c+105\geq 0$

đúng với $c\geq 3$

Xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$

Chỗ này hình như bị ngược dấu?

a sửa r nhé

ko để í lắm

Ta cần chứng minh: $ab(1-3c)+c(6-c)+7\geqslant 0$

Mà ta có: $(a-1)(b-2)\geqslant 0\Leftrightarrow ab\geqslant b+2a-2=4-c+a=4-c+6-c-b\geqslant 8-2c$

Như vậy, ta cần chỉ ra $(8-2c)(1-3c+c(6-c)+7\geqslant 0\Leftrightarrow 5(c-3)(c-1)\geqslant 0(true)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=1;b=2;c=3$

ayyyy

$1-3c<0$

2 chỗ này em lại thấy có vấn đề???

Giải thích đi, a ko hiểu 

um, có làm được cách này không bạn

Cách này hình như đặt

$(x,y,z)=(1-a,2-b,3-c)$ hay sao í

nhưng mk ko biết được ko, bạn thử xem

Với a,b,c>0; a + b + c $\leq$ 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} + \frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{c^{2}} + \frac{c}{a^{2}}$

bạn xem lại chỗ đk thử xem

Với a,b,c>0; a + b + c $\leq$ $\frac{3}{2}$, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} + \frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{c^{2}} + \frac{c}{a^{2}}$

AmGm 3 số

Ta có 

$LHS \geq 3(t+\frac{1}{t})$

với $t=\sqrt[3]{abc}$

Ta sẽ cm

$t+\frac{1}{t}\geq \frac{5}{2}$

tương đương 

$t\leq \frac{1}{2}$ (đúng)

xảy ra khi $a=b=c$