Đến nội dung

narutosasukevjppro nội dung

Có 129 mục bởi narutosasukevjppro (Tìm giới hạn từ 04-06-2020)


Theo nội dung

Xem thành viên


Sắp theo                Sắp xếp  

#730905 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 04-10-2021 - 09:04 trong Hình học phẳng

bài 21 có vẻ hơi ko phù hợp cho hs lớp 10 nhỉ : )))

 

 

Enable GingerCannot connect to Ginger Check your internet connection
or reload the browserDisable in this text fieldRephraseRephrase current sentenceEdit in Ginger×



#730906 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 04-10-2021 - 09:10 trong Số học

Xin chào mọi người, mình làm post này với mục đích tổng hợp các bài toán hay về phương trình nghiệm nguyên, phục vụ cho kỳ thi VMO-TST của các trường sắp tới, hi vọng nhận được sự ủng hộ từ mọi người.

( nếu 2 ngày ko ai sol thì mình đăng sol luôn nhé : )) để ôn tập luôn ạ )

Các mảng kiến thức có thể sẽ cần thiết trong quá trình giải toán 

  • UCLN,BCNN và thuật toán chia Euclid
  • Định lý Bezout, hệ thặng dư
  • Các định lý đồng dư cổ điển : Fermat, Euler,Wilson
  • Thặng dư chính phương, ký hiệu Legendre, Jacobi
  • Định lý thặng dư Trung Hoa (CRT)
  • Hàm định giá p-adic và bổ đề LTE
  • Cấp và căn nguyên thủy của một số
  • Các tính chất số học của hệ số nhị thức
  • Hàm số học
  • Một số kỹ thuật nâng cao khác như : Vành $\displaystyle \mathbb{Z}[ i]$ các số nguyên Gauss, Bổ đề Thue, định lý Zsigmondy, định lý Dirichlet, đa thức chia đường tròn

Bài 1. Cho $\displaystyle p,q,r$ là các số nguyên tố và $\displaystyle n$ là số tự nhiên. Tìm tất cả $\displaystyle n$ để $\displaystyle p^{n} +q^{n} =r^{2}$. ( *)

Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p$ sao cho $\displaystyle 3^{p} +4^{p}$ là một số chính phương(*)

Bài 3. Tìm tất cả $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle n^{7} +7$ là một số chính phương (*)

Bài 4. Chứng minh rằng nếu $\displaystyle p$ là số nguyên tố thì $\displaystyle p^{3} +\frac{p-1}{2}$ không là tích hai số tự nhiên liên tiếp.(*)

Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle x$ sao cho với số nguyên tố lẻ $\displaystyle p >3$ thì $\displaystyle \varphi ( x) =2p$.(*)

Bài 6.Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p$ để phương trình sau có nghiệm nguyên $\displaystyle x^{4} +4=py^{4}$ 

Bài 7.Tìm $\displaystyle x,y$ nguyên dương và $\displaystyle p$ nguyên tố sao cho $\displaystyle \frac{xy^{3}}{x+y} =p$
Bài 8.Tìm các số nguyên dương $\displaystyle a,b$ thỏa mãn $\displaystyle a!+b!=a^{b} +b^{a}$
Bài 9.Tìm tất cả các số tự nhiên $\displaystyle n,p,q$ thỏa mãn $\displaystyle 2^{n} +n^{2} =3^{p} 7^{q}$ ( Iran 2005)(*)
Bài 10. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle p,q,r,s >1$ thỏa mãn $\displaystyle p!+q!+r!=2^{s}$ (India Practice TST 2017)

Bài 11. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle 2^{n} -1|3^{n} -1$(*)

Bài 12. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m$ và $\displaystyle p,q$ nguyên tố sao cho $\displaystyle 2^{m} p^{2} +1=q^{5}$

Bài 13. Tìm các số nguyên tố $\displaystyle p,q$ thỏa mãn $\displaystyle ( p+q)^{p} =( q-p)^{2q-1}$

Bài 14.  Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p$ và số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle 2p^{2} -1=7^{n}$

Bài 15.Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m,n$ nguyên tố cùng nhau và $\displaystyle \varphi \left( 5^{m} -1\right) =5^{n} -1$(*)

Bài 16.Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $\displaystyle k,n$ thỏa $\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-2$ và $\displaystyle \binom{n}{k}^{2} +\binom{n}{k+1}^{2} =\binom{n}{k+2}^{4}$ ( Bulgarian MO 2011)

Bài 17. Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p,q$ thỏa mãn $\displaystyle pq|5^{p} +5^{q}$ ( China,2009)(*)

Bài 18. Cho $\displaystyle a,b,p$ là bộ ba số nguyên tố phân biệt và thỏa $\displaystyle ( a,p-1) =( b,p-1) =1$. Chứng minh rằng phương trình $\displaystyle x^{a} \equiv y^{b}(\bmod p)$ có đúng $\displaystyle p$ cặp $\displaystyle ( x,y)$ thỏa và $\displaystyle x,y< p$

Bài 19. Tìm các số $\displaystyle x,y$ nguyên thỏa mãn $\displaystyle y^{2} =x^{3} -4$

Bài 20.Tìm các số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle \varphi ( n)$ là ước của $\displaystyle n^{2} +2n+5$

Bài 21. Cho các số nguyên dương $\displaystyle a,b,k$ thỏa mãn $\displaystyle a^{2} +b^{2} =k( ab-1)$. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình trên. ( tức là mô tả dãy nghiệm của phương trình trên)

Bài 22. Tìm các số nguyên dương $\displaystyle x,y$ và số nguyên tố $\displaystyle p$ sao cho $\displaystyle x^{p-1} +y$ và $\displaystyle y^{p-1} +x$ đều là các lũy thừa của $\displaystyle p$

Bài 23. Xét $\displaystyle a,b$ là các số tự nhiên lẻ sao cho $\displaystyle a|b^{2} +2$ và $\displaystyle b|a^{2} +2$. Chứng minh rằng $\displaystyle a,b$ là các số hạng của dãy $\displaystyle ( u_{n})$ cho bởi công thức 

$u_{1} =u_{2} =1,u_{n+2} =4u_{n+1} -u_{n} ,\forall n\geqslant 1$

Bài 24. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle a,b$ sao cho $\frac{a^{2} b+b}{ab^{2} +9}$ là một số nguyên

Bài 25. Tìm tất cả các số nguyên $\displaystyle a,b >1$ thỏa mãn $\displaystyle a|b+1$ và $\displaystyle b|a^{3} -1$

Bài 26. Tìm tất cả các số tự nhiên $\displaystyle x$ để tích các chữ số của $\displaystyle x=x^{2} -10x-22$ ( IMO 1968 P2)

Bài 27. (phương trình tuyến tính bất định) Xác định số nghiệm nguyên dương của phương trình sau $\displaystyle x+2y+3z=n\ ;x,y,z\geqslant 0$

Bài 28. Tìm bộ số nguyên dương $\displaystyle a,b,c$ thỏa mãn $\displaystyle \left( a^{5} +b\right)\left( b^{5} +a\right) =2^{c}$

Bài 29. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình $\displaystyle 2^{x} +11=19^{y}$

Bài 30. Tìm số nghiệm nguyên của phương trình sau $\displaystyle ( x-z)\left( x^{2} +xz+z^{2}\right) =xy^{3} +3z^{3}$ ( đây là một bài toán khá khó, mình sưu tầm được từ lâu trong đề VMO hay TST nhưng thực sự không nhớ rõ nguồn nữa, hi vọng có thể tìm thấy 1 lời giải đẹp hơn tại đây)

Bài 31. Tìm $\displaystyle a,n,p,q,r$ nguyên dương thỏa mãn $\displaystyle a^{n} -1=\left( a^{p} -1\right)\left( a^{q} -1\right)\left( a^{r} -1\right)$

Bài 32. Tìm các số nguyên dương $\displaystyle a,b,c >1$ đôi một khác nhau và $\displaystyle ( a-1)( b-1)( c-1) |abc-1$

Bài 33.Tìm tất cả các nghiệm nguyên không âm $\displaystyle a,b,c$ của phương trình $\displaystyle a!+5^{b} =7^{c}$
Bài 34. Tìm tất cả các số nguyên $\displaystyle x,y$ thỏa mãn $\displaystyle x^{3} +( x+4)^{2} =y^{2}$
Bài 35. Cho $\displaystyle p,q$ là các số nguyên tố và $\displaystyle p >q$. Đặt $\displaystyle t=\gcd( p!-1,q!-1)$. Chứng minh $\displaystyle t\leqslant p^{\frac{p}{3}}$
Bài 36. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\displaystyle ( x,n)$ thỏa mãn phương trình $x^{3} +2x+1=2^{n}$
Bài 37. Tìm các số nguyên tố $\displaystyle ( p,q)$ sao cho $\displaystyle p^{3} -q^{5} =( p+q)^{2}$
Bài 38. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\displaystyle x=8\left\lfloor \sqrt[4]{x}\right\rfloor +3$
Bài 39. Tìm bộ số nguyên dương $\displaystyle a,b,c$ thỏa mãn $\displaystyle \left( a^{3} +b\right)\left( b^{3} +a\right) =2^{c}$


#730907 $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 04-10-2021 - 09:22 trong Đại số

tổng quát cho đa thức p(x) hệ số nguyên bất kỳ cũng được

giả sử p(x) có nghiệm thì p(x)=(x-a)Q(x) khi đó p(1)=(1-a)q(1) và p(0)=-aq(a) đều là các số lẻ nên 1-a và -a đều là các số lẻ nhưng tổng của chúng lại là một số lẻ -> vô lý. vậy p(x) không có nghiệm nguyên

Cannot connect to Ginger Check your internet connection
or reload the browserDisable in this text fieldRephraseRephrase current sentenceLog in to edit with Ginger×


#730981 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 05-10-2021 - 19:23 trong Số học

vì ko có ai sol hết nên mình đăng dần nhé :((

Bài 5.

Xét các trường hợp của $\displaystyle x$ như sau 
 
Trường hợp 1 $\displaystyle x=2^{k} q$ với $\displaystyle q$ là một số lẻ. Khi đó $\displaystyle \varphi ( x) =\varphi \left( 2^{k}\right) \varphi ( q) =2^{k-1} \varphi ( q)$ là một số chẵn do $\displaystyle \varphi ( q)$ là một số chẵn. Lý do $\displaystyle \varphi ( q)$ là một số chẵn là bởi vì khi phân tích tiêu chuẩn $\displaystyle q$ thì trong $\displaystyle q$ chỉ chức các thừa số nguyên tố lẻ, mà như ta đã biết thì với $\displaystyle r$ nguyên tố ta luôn có $\displaystyle \varphi ( r) =r-1$ là một số chẵn. Nhưng $\displaystyle \varphi ( x) =2p$ nên $\displaystyle k=2$ và $\displaystyle q=1$ nhưng đây là một điều vô lý nên ta loại trường hợp này
 
Trường hợp 2. $\displaystyle x=r^{k}$ với $\displaystyle r$ là một số nguyên tố lẻ. Thì $\displaystyle \varphi ( x) =r^{k} -r^{k-1} =2p$ hay $\displaystyle r^{k-1}( r-1)$ dẫn tới $\displaystyle r^{k-1} =p,r-1=2$ nhưng cũng vô lý nên ta loại vì khi đó $\displaystyle p=3 >3$
 
Trường hợp 3 $\displaystyle x$ là một số nguyên tố thì $\displaystyle \varphi ( x) =q-1=2p$ nên $\displaystyle q=2p+1$ hoặc $\displaystyle q=2( 2p+1)$ sẽ thỏa.
 
Vậy kết luận $\displaystyle x\in \{2p+1,4p+2\}$ trong đó $\displaystyle 2p+1$ là 1 số nguyên tố.


#730983 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 05-10-2021 - 19:29 trong Số học

một số bài toán hay khác mà mình sưu tầm được 

mọi người ai có bài hay thì có thể góp vui nhé, ko cần phải sol được hay gì đâu ạ 

Bài 7.Tìm $\displaystyle x,y$ nguyên dương và $\displaystyle p$ nguyên tố sao cho $\displaystyle \frac{xy^{3}}{x+y} =p$
 
Bài 8.Tìm các số nguyên dương $\displaystyle a,b$ thỏa mãn $\displaystyle a!+b!=a^{b} +b^{a}$
 
Bài 9.Tìm tất cả các số tự nhiên $\displaystyle n,p,q$ thỏa mãn $\displaystyle 2^{n} +n^{2} =3^{p} 7^{q}$ ( Iran 2005)
 
Bài 10. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle p,q,r,s >1$ thỏa mãn $\displaystyle p!+q!+r!=2^{s}$ (India Practice TST 2017)

 

 

 

Enable GingerCannot connect to Ginger Check your internet connection
or reload the browserDisable in this text fieldRephraseRephrase current sentenceEdit in Ginger×



#730990 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 06-10-2021 - 05:57 trong Số học

mình xin phép gửi dần các bài còn lại 

Bài 1.

Rõ ràng trong 3 số $\displaystyle p,q,r$ có ít nhất 1 số chẵn. Xét từng trường hợp.

 
Nếu $\displaystyle r$ chẵn thì $\displaystyle p^{n} +q^{n} =4$ nhưng $\displaystyle p,q\geqslant 2$ nên điều này chỉ xảy ra khi $\displaystyle p=q=2$ và $\displaystyle n=1$. Vậy $\displaystyle ( p,q,r) =( 2,2,2)$
 
Nếu $\displaystyle r$ lẻ và không giảm tổng quát, xét $\displaystyle p >q$ và $\displaystyle q=2$
 
Khi đó phương trình trở thành 
$\displaystyle p^{n} +2^{n} =r^{2}$
Nếu $\displaystyle n$ chẵn thì đặt $\displaystyle n=2k$ ta có $\displaystyle p^{2k} +2^{2k} =r^{2}$. Ta có bộ $\displaystyle \left( p^{k} ,2^{k} ,r\right)$ là một bộ Pytago nguyên thủy nên theo công thức nghiệm thì tồn tại hai số nguyên $\displaystyle a,b$ sao cho 
$\displaystyle p^{k} =a^{2} -b^{2} ,2^{k} =2ab,r=a^{2} +b^{2}$
trong đó $\displaystyle a,b$ nguyên và $\displaystyle ( a,b) =1$. Do $\displaystyle a,b$ nguyên tố cùng nhau nên từ $\displaystyle 2^{k} =ab$ suy ra $\displaystyle b$ lẻ, dẫn tới $\displaystyle b=1$ là trường hợp duy nhất có thể xảy ra. Xét $\displaystyle p^{k} =a^{2} -1$ và $\displaystyle 2^{k-1} =a$. nên $\displaystyle p^{k} =4^{k-1} -1\vdots 3$ nên $\displaystyle p=3$. Xét $\displaystyle 3^{k} =4^{k-1} -1$. Theo bổ đề LTE
$\displaystyle v_{3}\left( 4^{k-1} -1\right) =v_{3}( 3) +v_{3}( k-1) =k\rightarrow v_{3}( k-1) =k-1$
Đây là một điều vô lý đối với một số nguyên dương $\displaystyle k$. Vậy $\displaystyle n=1$ là giá trị duy nhất thỏa.
 
Bài 2. 
Xét $\displaystyle p$ chẵn thì $\displaystyle 3^{2} +4^{2} =34$ không là số chính phương
 
Xét $\displaystyle p$ lẻ thì theo bổ đề LTE ta có $\displaystyle v_{7}\left( 3^{p} +4^{p}\right) =v_{7}( 3+4) +v_{7}( p)$
 
Để $\displaystyle 3^{p} +4^{p}$ là số chính phương thì buộc $\displaystyle p=7$. Vậy ta có $\displaystyle p=7$ là trường hợp duy nhất thỏa mãn
Bài 3.
Đặt $\displaystyle n^{7} +7=m^{2}$. Xét $\displaystyle n$ chẵn thì $\displaystyle m$ lẻ, nên $\displaystyle m^{2} \equiv 1(\bmod 4)$ nhưng $\displaystyle n^{7} +7\equiv 3(\bmod 4)$. Do đó $\displaystyle n$ phải lẻ. Xét 
$\displaystyle n^{7} +2^{7} =m^{2} +11^{2}$
Xét modulo 4 ở hai vế : $\displaystyle m^{2} +11^{2} \equiv 1(\bmod 4)$ do $\displaystyle m$ chẵn. Ngoài ra $\displaystyle n$ lẻ nên $\displaystyle n^{7} +2^{7} \equiv \pm 1(\bmod 4)$ nên $\displaystyle n\equiv 1(\bmod 4)$ là trường hợp duy nhất thỏa. Xét $\displaystyle n^{7} +2^{7} =( n+2)\left( n^{6} +...+2^{6}\right)$ có $\displaystyle n+2\equiv 3(\bmod 4)$ nên theo bổ đề 4k+3 thì vế trái phải tồn tại ước nguyên tố $\displaystyle p=11|11^{2}$. Vậy $\displaystyle m$ cũng chia hết cho $\displaystyle 11$ nên đặt $\displaystyle m=11k$. Phương trình đưa về 
$11^{2}\left( k^{2} +1\right) =n^{7} +2^{7}$
Xét $\displaystyle n\equiv -2\left(\bmod 11^{2}\right)$ nên đặt $\displaystyle n=11^{2} h-2$, đưa về 
 
$11^{2}\left( k^{2} +1\right) =11^{2} hT$
 
do đó $\displaystyle h|k^{2} +1$. Theo định lý Fermat Euler thì mọi ước nguyên tố lẻ của $\displaystyle k^{2} +1$ đều có dạng $\displaystyle 4k+1$ ( $\displaystyle h$ lẻ vì $\displaystyle n$ lẻ) Do đó $\displaystyle n\equiv 3(\bmod 4)$ là một điều vô lý vì $\displaystyle n\equiv 1(\bmod 4)$
 

Bài 9.

Rõ ràng là $\displaystyle n$ lẻ. Trước hết nếu $\displaystyle n=1$ thì $\displaystyle 3=3^{p} 7^{q}$ nên $\displaystyle p=1$ còn $\displaystyle q=0$. Vậy bộ nghiệm đầu tiên là $\displaystyle ( n,p,q) =( 1,1,0)$. Tiếp theo ta xét $\displaystyle n\geqslant 2$. Khi đó $\displaystyle p,q$ có thể xảy ra trường hợp 1 số bằng 0. Ta sẽ giải quyết từng trường hợp

 
TRƯỜNG HỢP 1. $\displaystyle p=0$ thì khi đó $\displaystyle 2^{n} +n^{2} =7^{q}$. 
 
Xét $\displaystyle 2\equiv -1(\bmod 3)$ và do $\displaystyle n$ lẻ nên $\displaystyle 2^{n} +n^{2} \equiv -1+1\equiv 0(\bmod 3)$ . Dẫn tới $\displaystyle 7^{q} \equiv 0(\bmod 3)$ là một điều vô lý.
 
TRƯỜNG HỢP 2. $\displaystyle q=0$ thì khi đó $\displaystyle 2^{n} +n^{2} =3^{p}$. 
 
Xét modulo 4 cho 2 vế thì $\displaystyle 2^{n} +n^{2} \equiv 1\equiv 3^{p}(\bmod 4)$ nên $\displaystyle p$ chẵn. Đặt $\displaystyle p=2t$ ta đưa về 
$\displaystyle 2^{n} =\left( 3^{t} -n\right)\left( 3^{t} +n\right)$
Đến đây đặt $\displaystyle 3^{t} -n=2^{a}$ còn $\displaystyle 3^{t} +n=2^{b}$ với $\displaystyle a< b$. Xét $\displaystyle 2.3^{t} =2^{a} +2^{b} =2^{b}\left( 2^{a-b} +1\right)$. Do đó $\displaystyle b=1$. Dẫn tới $\displaystyle 2n=2-2^{a}$, nhưng đây là một điều vô lý. Vậy chỉ có bộ $\displaystyle ( n,p,q) =( 1,1,0)$ thỏa.

 

 

Enable GingerCannot connect to Ginger Check your internet connection
or reload the browserDisable in this text fieldRephraseRephrase current sentenceEdit in Ginger×



#730992 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 06-10-2021 - 07:56 trong Số học

Một số bài hay mà mình sưu tầm thêm được

Bài 11. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle 2^{n} -1|3^{n} -1$

Bài 12. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m$ và $\displaystyle p,q$ nguyên tố sao cho $\displaystyle 2^{m} p^{2} +1=q^{5}$

Bài 13. Tìm các số nguyên tố $\displaystyle p,q$ thỏa mãn $\displaystyle ( p+q)^{p} =( q-p)^{2q-1}$

Bài 14.  Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p$ và số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle 2p^{2} -1=7^{n}$

Bài 15.Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m,n$ nguyên tố cùng nhau và $\displaystyle \varphi \left( 5^{m} -1\right) =5^{n} -1$

Bài 16.Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $\displaystyle k,n$ thỏa $\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-2$ và $\displaystyle \binom{n}{k}^{2} +\binom{n}{k+1}^{2} =\binom{n}{k+2}^{4}$ ( Bulgarian MO 2011)

Bài 17. Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p,q$ thỏa mãn $\displaystyle pq|5^{p} +5^{q}$ ( China,2009)



#731004 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 06-10-2021 - 15:56 trong Số học

cảm ơn mn đã ủng hộ post mình :))) bài tập về ptnn thì nhiều vô kể, lên cả ngàn bài, nói chung là ko bao giờ làm hết được, nên chủ yếu trong post này mình sẽ chỉ đăng thật nhiều bài cơ bản nhưng nhiều ý nghĩa, vì đây chính là nền tảng để tiếp cận những bài khó hơn

 

Enable GingerCannot connect to Ginger Check your internet connection
or reload the browserDisable in this text fieldRephraseRephrase current sentenceEdit in Ginger×



#731006 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 06-10-2021 - 21:13 trong Số học

góp vui Bài 7

Xét $\displaystyle xy^{3} =p( x+y)$. Đặt $\displaystyle d$ là ước chung lớn nhất của $\displaystyle x,y$, khi đó tồn tại $\displaystyle m,n$ sao cho $\displaystyle x=dm$ còn $\displaystyle y=dn$ và $\displaystyle ( m,n) =1$. Thay vào ta có $d^{4} mn^{3} =pd( m+n)$

Do $\displaystyle \left( mn^{3} ,m+n\right) =1$ nên $\displaystyle d^{4} \vdots m+n$ còn $\displaystyle mn^{3} \vdots p$. Do $\displaystyle m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên một trong hai số $\displaystyle m,n$ chia hết cho $\displaystyle p$. Ta có đánh giá rằng nếu $\displaystyle mn^{3}$ chia hết cho $\displaystyle d$ thì hoặc là $\displaystyle m$ hoặc là $\displaystyle n$ sẽ chia hết cho $\displaystyle d$. Nếu như $\displaystyle m$ chia hết cho $\displaystyle d$ thì từ $\displaystyle d^{4} \vdots m+n$ phải có $\displaystyle n$ chia hết cho $\displaystyle d$ nên $\displaystyle ( m,n)  >1$ và điều này mâu thuẫn với cách đặt $\displaystyle m,n$. Do đó $\displaystyle pdn$ chia hết cho $\displaystyle dm\ $và $\displaystyle pdm$ chia hết cho $\displaystyle dn$. Ta có $\displaystyle dm\leqslant pdn$ và ngoài ra $\displaystyle ( d,m,n)$ là các số nguyên tố cùng nhau. Do đó nều tồn tại một số nguyên tố $\displaystyle q$ mà $\displaystyle q$ bé hơn $\displaystyle dm$, ngoài ra nó còn là ước của $\displaystyle pdn$ thì hoặc là $\displaystyle q=p$ hoặc là $\displaystyle q|dn$. Do $\displaystyle ( d,n) =1$ nên $\displaystyle q|d$ hoặc $\displaystyle q|n$. Không giảm tổng quát, coi đó là $\displaystyle q|n$ thì $\displaystyle q|dm$ nên $\displaystyle q|d$ hoặc $\displaystyle q|m$ dẫn tới điều vô lý. Vậy $\displaystyle dm=pdn$ hoặc $\displaystyle dn=pdm$. Trường hợp tầm thường là $\displaystyle m=n=1$ thì $\displaystyle x=y$ ta sẽ xét sau. 
 
Vậy bài toán chia làm 3 trường hợp, đó là $\displaystyle x=py$, $\displaystyle y=px$ hoặc $\displaystyle x=y$

 

Enable GingerCannot connect to Ginger Check your internet connection
or reload the browserDisable in this text fieldRephraseRephrase current sentenceEdit in Ginger×



#731007 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 06-10-2021 - 21:33 trong Số học

một số bài đặc sắc khác

Bài 19. Tìm các số $\displaystyle x,y$ nguyên thỏa mãn $\displaystyle y^{2} =x^{3} -4$

Bài 20.Tìm các số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle \varphi ( n)$ là ước của $\displaystyle n^{2} +2n+5$

Bài 21. Cho các số nguyên dương $\displaystyle a,b,k$ thỏa mãn $\displaystyle a^{2} +b^{2} =k( ab-1)$. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình trên. ( tức là mô tả dãy nghiệm của phương trình trên)

Bài 22. Tìm các số nguyên dương $\displaystyle x,y$ và số nguyên tố $\displaystyle p$ sao cho $\displaystyle x^{p-1} +y$ và $\displaystyle y^{p-1} +x$ đều là các lũy thừa của $\displaystyle p$

Bài 23. Xét $\displaystyle a,b$ là các số tự nhiên lẻ sao cho $\displaystyle a|b^{2} +2$ và $\displaystyle b|a^{2} +2$. Chứng minh rằng $\displaystyle a,b$ là các số hạng của dãy $\displaystyle ( u_{n})$ cho bởi công thức 

$u_{1} =u_{2} =1,u_{n+2} =4u_{n+1} -u_{n} ,\forall n\geqslant 1$

 

Enable GingerCannot connect to Ginger Check your internet connection
or reload the browserDisable in this text fieldRephraseRephrase current sentenceEdit in Ginger×



#731019 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 07-10-2021 - 06:53 trong Số học

Bài 18: Cho a và b và và p  là các số nguyên tố lẻ đôi một khác nhau đồng thời a và b đều không là ước của p-1. Chứng minh: phương trình  $x^{a}-y^{b}\equiv 0 (mod p)$ có đúng p cặp nghiệm tự nhiên (x;y) và biết x và y đều nhỏ hơn p. (gợi ý: dùng căn nguyên thủy)

 

hmm cả a,b,p đều là 3 số nguyên tố phải ko ạ

 

Enable GingerCannot connect to Ginger Check your internet connection
or reload the browserDisable in this text fieldRephraseRephrase current sentenceEdit in Ginger×



#731027 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 07-10-2021 - 16:29 trong Số học

Bài 22. 

Trường hợp $\displaystyle p=2$ thì mọi số $\displaystyle x,y$ sao cho $\displaystyle x+y$ là lũy thừa của 2 đều thỏa

 
Trường hợp $\displaystyle p >2$. 
 
Nếu cả $\displaystyle x,y$ đều là các lũy thừa của $\displaystyle p$ thì đặt $\displaystyle x=p^{\alpha }$ còn $\displaystyle y=p^{\beta }$, không giảm tổng quát $\displaystyle v_{p}( y) \geqslant v_{p}( x)$. Khi đó 
 
$p^{\alpha } +p^{\beta ( p-1)} =p^{\alpha }\left( p^{\beta ( p-1) -\alpha } +1\right)$
 
không thể là một lũy thừa của $\displaystyle p$. Vậy $\displaystyle y$ không chia hết cho $\displaystyle p$ kéo theo $\displaystyle x$ không chia hết cho $\displaystyle p$.Theo định lý Fermat nhỏ ta có $\displaystyle x^{p-1} \equiv y^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$ nên $\displaystyle x\equiv y\equiv -1(\bmod p)$. Nếu $\displaystyle x=y$ thì $\displaystyle x+x^{p-1} =x\left( x^{p-2} +1\right) \equiv 2x(\bmod p)$ nên $\displaystyle p$ chẵn → loại
 
Do đó $\displaystyle x\neq y$. Không giảm tổng quát, xét $\displaystyle x >y$ thì $\displaystyle x^{p-1} +y\vdots x+y^{p-1}$.Suy ra 
 
$x^{p-1} +y\equiv \left( -y^{p-1}\right)^{p-1} +y\vdots x+y^{p-1}$
 
Hay $\displaystyle y^{p( p-2)} +1\vdots x+y^{p-1}$. Theo bổ đề LTE ta có 
 
$v_{p}\left( y^{p( p-2)} +1\right) =v_{p}( y+1) +v_{p}( p( p-2)) =v_{p}( y+1) +1=v_{p}( p( y+1))$
 
Tức là $\displaystyle y^{p( p-2)} +1|p( y+1)$. Ngoài ra $\displaystyle y+1\geqslant p$ và $\displaystyle x\geqslant y+1$ do $\displaystyle y\equiv -1(\bmod p)$ nên ta sẽ đánh giá như sau 
 
$y^{p-1} +y\leqslant p( y+1) -1\rightarrow y^{p-1} +p-1\leqslant p( y+1) -1\Longrightarrow y^{p-1} \leqslant py$
 
Tương đương với $\displaystyle ( p-1)^{p-2} \leqslant y^{p-2} \leqslant p$.Chỉ xảy ra khi $\displaystyle p=3$ và khi đó xét $\displaystyle y^{3} +1|3( y+1)$. Tức $\displaystyle 3y+3\geqslant y^{3} +1\rightarrow 3y+2\geqslant y^{3}$. Điều này chỉ xảy ra với $\displaystyle y=2$, còn kể từ $\displaystyle y >2$ thì $\displaystyle 3y+2< y^{3}$. Vậy $\displaystyle p=3$ còn $\displaystyle y=2$. Vậy ta cần tìm $\displaystyle x$ sao cho $\displaystyle x^{2} +2$ và $\displaystyle x+4$ là lũy thừa của $\displaystyle 3$


#731030 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 07-10-2021 - 19:40 trong Số học

Bài 4 khá đơn giản:

Giả sử $p^3 +\frac{p-1}{2}=n(n+1)$ với $ n \in \mathbb{N} (*)$

$(*) \leftrightarrow 2p^3+p-1=2n(n+1).\text{VP} \vdots 4 \rightarrow 2p^3+p=p(2p^2+1) \equiv 1 \pmod 4$

Suy ra: $p \equiv  2p^2+1 \equiv 1$ hoặc $3 \pmod 4$ Trường hợp $p \equiv  2p^2+1 \equiv 1 \pmod 4$ vô lí

Vậy $p \equiv  2p^2+1 \equiv 3 \pmod 4 \rightarrow p=4k+3 (k \in \mathbb{N})$

Ta phát biểu 1 bổ đề: Nếu các số nguyên $x,y$ và $p \equiv 3 \pmod 4$ thỏa mãn $p \mid x^2+y^2$ thì:

$$p \mid x; p \mid y$$

$(*) \leftrightarrow p(2p^2+1)=(n+1)^2+n^2 \rightarrow (n+1)^2+n^2 \vdots p$

Áp dụng bổ đề thì ta được: $p \mid n, p \mid (n+1)$ mà ta có: $\text{gcd}(n+1,n)=1$ 

Điều này là điều vô lí. Vậy ta có đpcm

 

uh chuẩn luôn đó e

ko thì có một cách khác để sư dụng bổ đề 4k+3 là nhân 4 vào cả 2 vế



#731031 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 07-10-2021 - 19:44 trong Số học

Bài 27. Số nghiệm của phương trình chính hệ số của $x^{n}$ trong khai triển chuỗi lũy thừa sau : $\displaystyle \frac{1}{( 1-x)\left( 1-x^{2}\right)\left( 1-x^{3}\right)}$



#731037 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 08-10-2021 - 09:35 trong Số học

Bài 24.

Ta có $\displaystyle b\left( a^{2} b+b\right) \vdots ab^{2} +9$ hay $\displaystyle b^{2} a^{2} +b\vdots ab^{2} +9$. Suy ra $\displaystyle a\left( a b^{2} +9\right) +b^{2} -9a\vdots ab^{2} +9$ tức là $\displaystyle b^{2} -9a\vdots ab^{2} +9$.

 
Ta xét các trường hợp sau : 
 
1 $\displaystyle b^{2} =9a$. Nên $\displaystyle b\vdots 9$. Đặt $\displaystyle b=9t$ thì $\displaystyle 81t^{2} =9a\rightarrow a=9t^{2}$. Họ nghiệm của phương trình là $\displaystyle ( a,b) =\left( 9t^{2} ,9t\right)$. 
 
2 $\displaystyle b^{2}  >9a$. thì $\displaystyle b^{2} -9a\geqslant ab^{2} +9$ hay $\displaystyle b^{2} \geqslant ab^{2} +9+9a$. Vì $\displaystyle a$ nguyên dương nên $\displaystyle ab^{2}  >b^{2}$ là một điều vô lí. 
 
3 $\displaystyle b^{2} < 9a$. Thì $\displaystyle 9a-b^{2}  >ab^{2} +9$. Tại sao lại có đánh giá như vậy ? Chú ý rằng cả $\displaystyle a,b$ đều là các số nguyên dương. $\displaystyle b^{2} -9a$ là một bội của $\displaystyle ab^{2} +9$. Tức là $\displaystyle b^{2} -9a$ không nhất thiết phải dương do đó ta chỉ việc lấy $\displaystyle |b^{2} -9a|$ thì số đó luôn lớn hơn hoặc bằng $\displaystyle ab^{2} +9$. 
 
Quay trở lại ta có $\displaystyle 9a-b^{2}  >ab^{2} +9$ hay $\displaystyle \frac{9}{b^{2}} =\frac{a+1}{a-1}  >1$ nên $\displaystyle 9 >b^{2}$. Hay $\displaystyle b\in \{1,2\}$. 
 
Ta thay vào và tiếp tục giải phương trình ước số để tìm $\displaystyle a$.


#731041 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 08-10-2021 - 15:24 trong Số học

thanks anh ạ, e cũng có 1 hướng tựa tựa như này để tối e post lên thử ạ



#731056 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 09-10-2021 - 09:36 trong Số học

Bài 6. Xét $\displaystyle p=2$ thì $\displaystyle x^{4} +4=2y^{4}$. Nếu $\displaystyle x$ chẵn thì suy ra bên vế trái sẽ đồng dư với 4 theo modulo 16. Ngoài ra $\displaystyle y$ có thể rơi vào hai trường hợp, nếu $\displaystyle y$ chẵn thì sai ngay vì $\displaystyle 2y^{4}$ chia hết cho 16 trong khi vế trái lại không thỏa. Còn nếu $\displaystyle y$ lẻ thì $\displaystyle 2y^{4} \equiv 2(\bmod 16)$. Vậy $\displaystyle p$ chỉ có thể là số lẻ, suy ra $\displaystyle x,y$ phải cùng lẻ, vì nếu $\displaystyle x$ chẵn thì $\displaystyle y$ phải chẵn dẫn đến modulo 16 của 2 vế khác nhau. 

 
Phân tích 
 
$x^{4} +4=\left( x^{2} -2x+2\right)\left( x^{2} +2x+2\right) =py^{4}$
Ta gọi $\displaystyle d=\left( x^{2} -2x+2,x^{2} +2x+2\right)$. Ta có cả hai số này đều chẵn, nhưng mà $\displaystyle d$ phải lẻ vì vế phải là các số lẻ. Do đó $\displaystyle d|x$ vì $\displaystyle d|4x$ nhưng $\displaystyle d$ lẻ nên không thể là ước của $\displaystyle 4$. Mặt khác $\displaystyle d|x^{2} -2x+2$ nên $\displaystyle d|2$ dẫn tới $\displaystyle d=1$. Từ đây ta có thể đặt 
 
$\displaystyle x^{2} -2x+2=a^{4} ,x^{2} +2x+2=pb^{4}$
 
Ta có $\displaystyle ( x-1)^{2} +1=a^{4}$ và $\displaystyle ( x+1)^{2} +1=pb^{4}$. Ta sử dụng phương phép kẹp để suy ra nếu $\displaystyle x\geqslant 0$ thì $\displaystyle x^{2} \leqslant ( x-1)^{2} +1< ( x+1)^{2}$ và $\displaystyle ( x-1)^{2} +1$ là số chính phương nên chỉ có $\displaystyle x=1$ thỏa mãn. Nếu $\displaystyle x$ âm thì $\displaystyle x=-1$ thỏa, ta cũng lập luận tương tự. Vậy suy ra $\displaystyle p=5$ là trường hợp duy nhất để thỏa mãn yêu cầu đề bài.


#731065 Cho ngũ giác $ABCDE$ có $AB=BC=CD$ và $\widehat...

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 09-10-2021 - 20:32 trong Hình học

giống đề thi hsg lớp 9 đn năm 2019 phết, e xem thử



#731068 Cho ngũ giác $ABCDE$ có $AB=BC=CD$ và $\widehat...

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 09-10-2021 - 21:54 trong Hình học

Anh cho em xin đề với  :D

https://www.facebook...45256012697276/



#731092 $2^x=x+1$

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 11-10-2021 - 06:24 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

e nhớ bđt bernoulli xảy ra khi mũ =1 a ạ



#731103 Tìm tất cả đa thức $P(x),Q(x)$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 11-10-2021 - 14:17 trong Đa thức

à e nhầm rồi :") sorry ạ, để tối e xem lại thử, cái của e chỉ đúng nếu hệ số cao nhất của 2 đa thức là 1 nên sai ạ



#731104 Điểm Dumpty Humpty

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 11-10-2021 - 14:30 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Hình học

tạp chí epsilon số 14 có 1 bài như thế này nhé bạn :V ko thì bạn lên gg gõ humpty dumpty point là được thôi



#731112 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 12-10-2021 - 05:56 trong Số học

Bài 26. Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức để kẹp, một số luôn lớn hơn hoặc bằng tích các chữ số của nó, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nó là số có 2 chữ số hoặc 1 chữ số.

Bài 38. Ta giới hạn miền, trước hết đặt $\displaystyle a=\left\lfloor \sqrt[4]{x}\right\rfloor ,b=\left\{\sqrt[4]{x}\right\} \in \{0,1\}$. Đưa về $\displaystyle 1\geqslant b=\sqrt[4]{8a+3} -a >0$, tới đây dễ dàng tìm được $a$



#731113 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 12-10-2021 - 05:57 trong Số học

Bài 16 mình xin phép gửi luôn link đề trên aops

https://artofproblem...h409108p2288476



#731114 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Đã gửi bởi narutosasukevjppro on 12-10-2021 - 06:14 trong Số học

Bài 25.

Vì $\displaystyle b+1\vdots a$ nên ta đặt $\displaystyle b+1=ka$. Tương tự đặt $\displaystyle a^{3} -1=lb=l( ka-1) =lka-l$ và dẫn tới $\displaystyle a^{3} =lka-( l-1)$ tức là $ $$\displaystyle l-1\vdots a$. Đặt $\displaystyle l-1=ma\rightarrow l=ma+1$. Bây giờ với 

$a^{3} =( ma+1) ka-ma\\$
$\rightarrow a^{2} =k( ma+1) -m=0\\$
$\rightarrow a^{2} -mak+m-k=0$
Bây giờ coi phương trình trên là một phương trình bậc hai theo ẩn $\displaystyle a$ và các tham số $\displaystyle m,k$. Xét 
$\Delta =m^{2} k^{2} +4k-4m$
  • Nếu $\displaystyle m< k$ thì $\displaystyle 4m< 4k$ nên $\displaystyle \Delta  >m^{2} k^{2}$. Mặt khác, ta mong muốn $\displaystyle \Delta < ( mk+2)^{2}$. Khai triển ra ta có $\displaystyle m^{2} k^{2} +4mk+4 >m^{2} k^{2} +4k-4m$. Tức $\displaystyle 4mk+4-4k+4m >0\rightarrow mk-k+m-1 >-2$ hay $\displaystyle ( m-1)( k+1)  >-2$ .Vậy với $\displaystyle m\neq 0$ thì ta có $\displaystyle \Delta =( mk+1)^{2}$ dẫn tới $\displaystyle -4m+4k=2mk+1$ là một điều vô lí vì hai vế khác tính chẵn lẻ. \ Suy ra $\displaystyle m=0$ và ta có được $\displaystyle a=k^{2}$ và $\displaystyle b=ka-1=k^{3} -1$. Ta được một họ nghiệm đầu tiên là $\displaystyle \left( s ,s^{3} -1\right)$ với $\displaystyle s\geqslant 2$
  • Tiếp tục với $\displaystyle m >k$ thì ta lại có $\displaystyle \Delta < ( mk)^{2}$. Mặt khác ta mong muốn $\displaystyle \Delta  >( mk-2)^{2}$. Khai triển tương tự ta có $\displaystyle m^{2} k^{2} -4mk+4< m^{2} k^{2} +4k-4m\rightarrow 4k-4m-4+4mk >0$ hay $\displaystyle k-m-1+mk >0$ hay $\displaystyle ( k-1)( m+1)  >0$. \ Phụ thuộc vào dấu của $\displaystyle k-1$ nên nếu $\displaystyle k\neq 1$ thì ta có $\displaystyle \Delta =( mk-1)^{2}$ hay $\displaystyle -4m+4k=-2mk+1$ khác tính chẵn lẻ. Nên $\displaystyle k=1$. Thay vào ta có $\displaystyle a^{2} -ma+m-1=0$. Tính $\displaystyle a$ theo $\displaystyle m$ bằng công thức nghiệm cho ta $\displaystyle a=m-1$ và khi đó chỉ cần chọn $\displaystyle b=m-2$ là ổn. Một họ nghiệm khác của phương trình là $\displaystyle ( s,s-1)$ với $\displaystyle s\geqslant 3$
  • Với $\displaystyle m=k$ thì chọn họ nghiệm là $\displaystyle \left( s^{2} ,s^{3} -1\right)$ với $\displaystyle s\geqslant 2$ 


  1. Diễn đàn Toán học
  2. → narutosasukevjppro nội dung