Có 7 vùng phân biệt (vùng 1,2..,7). Lấy 100 điểm vào trong các vùng này sao cho không có hai vùng nào có số điểm bằng nhau. Chứng minh rằng luôn tồn tại 3 vùng mà có tổng số điểm không ít hơn 50

nếu n>5 thì một trong các trung tuyến thuộc miền đa giác thôi b

Chi tiết hơn được không ạ

Trên mặt phẳng độ, một điểm $A(x;y)$ được gọi là điểm nguyên nếu $x,y \in Z$. Giả sử $A_1;A_2;A_3...A_n$ là một đa giác lồi $n$ đỉnh có tất cả các đỉnh là điểm nguyên. Biết rằng miền đa giác đó (bao gồm tất cả các điểm thuộc miền trong và thuộc biên) không chứa bất cứ một điểm nguyên nào ngoài chính các đỉnh của đa giác lồi. Chứng minh rằng $n \leq 4$

Cho các số thực dương thỏa $a+b+c=3$

Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a^3}{b+3}} \geq \frac{3}{2}$

Trong hình vuông cạnh bằng $1$, đặt $51$ điểm bất kỳ phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính bằng $\frac{1}{7}$

Cho các số thực dương $a,b,c$

Chứng minh:

$\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \frac{1}{abc}$

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2 \geq 12$

Chứng minh:

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq 6$