Giải phương trình $\sqrt[3]{x^{2}-1} - \sqrt{x^{3}-2} + x=0$

$(a+1)^{2} + \left (\frac{a^{2}}{a+1} +2 \right )^{2} = \left ( a+1 \right )^{2} + \left ( a+1 +\frac{1}{a+1} \right )^{2}$

Đặt x= a+1 ( x khác 0) 
$x^{2} + \left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2} = 2x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \geq 2\sqrt{2} + 2 $
Dấu bằng xảy ra khi $2x^{4}=1 <=> x^{2}=\sqrt{\frac{1}{2}} <=> x= \pm \sqrt[4]{\frac{1}{2}} <=> a=\pm \sqrt[4]{\frac{1}{2}}-1$

Tìm min $(a+1)^{2} + \left (\frac{a^{2}}{a+1} +2 \right )^{2}$ với x khác -1 

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $0\leq a \leq 1 , 0\leq bc\leq 1$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2(ab+bc+ca)$

Bạn lên mạng xem bổ đề hình thang thì nó sẽ rõ hơn.Ở đây mình nói sương sương về bổ đề hình thang 
Cho hình thang ABCD ( AB//CD), gọi giao điểm giữa BC và AD là E. Gọi trung điểm AB là F, giao 2 đường chéo hình thang là G, trung điểm DC là J 
thì E,F,G,J thẳng hàng.

Câu 1 

Mọi người có ý tưởng cho câu này chưa ạ 

Câu 2/ 

Anh cho em hỏi là chỗ $2\sum \frac{c}{2a+b+c}\geq 2\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}$ dùng bất đẳng thức gì thế ạ?

Em mới lớp 8 thôi ạ, không phải anh đâu ạ =))
Chỗ đó em dùng cauchy-schwarz dạng phân thức $\sum \frac{c}{2a+b+c}=\sum \frac{c^{2}}{2ac+bc+c^{2}} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}$

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c=>ab+bc+ca=4$

$LHS=\sum \frac{c}{\sqrt{4+a^{2}}}=\sum \frac{c}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\geq 2\sum \frac{c}{2a+b+c}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{4}{3}(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$

1/Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. AH,BH,CH cắt (ABC) tại K,G,J. Gọi P là điểm bát kì trong tam giác ABC, D,E và F là các điểm đối xứng của P qua BC,CA,AB. CMR KD ,GE,JF đồng quy

2/Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O), trực tâm H, trung trực AH cắt AC,AB tại P và Q.Chứng minh OA là phân giác POQ
3/Cho tam giác ABC, H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trung trực OB cắt AB,BC tại M và N.Chứng minh OB là phân giác góc MON

4/ Cho tam giác ABC,đường cao BD và CE. Đường tròn qua A và E đồng thời tiếp xúc với cạnh BC tại P và Q.CMR A,D,P,Q  đồng viên

Cho tam giác ABC , đường cao BD và CE.Hai đường tròn cùng đi qua A và E tiếp xúc với BC tại P,Q.CMR PD và QE cắt nhau tại 1 điểm thuôc (ADE)

Cho (O) và 2 điểm B,C cố định,A di động trên (O) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn, trực tâm H. Gọi I là trung điểm đoạn AH, phân giác ABH và phân giác ACH cắt nhau tại D. CMR DI đi qua 1 điểm cố định.

$a,b,c\geq 0;a+b+c=4$ và không có số nào đồng thời bằng 0 ; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR

$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{2(ab+bc+ca)}}$

$LHS \geq \frac{1}{\sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$
Ta can chung minh : $\sqrt{2(ab+bc+ca)}\geq \sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq \left (\sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}} \right )^{2}$

Ta lai co : $\left (\sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}} \right )^{2}\leq \sum a.\left ( \sum ab^{2}+\sum ac^{2} \right )$

Hay la quy ve chung minh : $2(ab+bc+ca)\geq \sum a.\left ( \sum ab^{2}+\sum ac^{2} \right )$

$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq \sum a.\left ( \sum ab^{2}+\sum ac^{2} \right )$

$\Leftrightarrow \sum ab^{3}+\sum a^{3}b\geq 2\sum a^{2}b^{2}$ 
Ma dieu nay luon dung => QED

Cho a,b,c là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn a+b+c=4. Tìm GTLN của P=$\sqrt{a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a+abc^{2}}+\sqrt{ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}+bca^{2}}$

Cho C,D thuộc nửa (O), đường kính AB. Tiếp tuyến tại B cắt CD tại P. CA cắt OP tại E. CMR BE//AD

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi D là điểm chính giữa cung BC không chứa A. Gọi S là giao điểm của tiếp tuyến tại B và C của (O). Trung trực AB cắt AD tại E. Trung trực AD cắt AS tại F. CMR EF//AB

Cho 2 đường tròn (O1),(O2) cắt nhau tại M,N. A thuộc (O1),B thuộc (O2) sao cho AB là tiếp tuyến chung của (O1) và (O2) và M gần AB hơn N. C,D lần lượt là điểm đối xứng của A,B qua M. (MCD) cắt (O1) và (O2) tại E và F.CMR $\angle EMF+\angle ENF=180^o$

Cho đường tròn (O) và dây AC không phải là đường kính, B là điểm chuyển động trên (O), D là điểm chính giữa cung AC không chứa B.Tiếp tuyến tại C với đường tròn (O) cắt AB tại M, MD cắt (O) tại N ( N khác D), tiếp tuyến tại N với (O) cắt BC tại P.Chứng minh rằng PM luôn vuông góc với 1 đường thẳng cố định

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại T. Trung trực CA,AB cắt đường thẳng qua T song song với OA tại E,F. Chứng minh AT đi qua trực tâm tam giác OEF

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O),đường phân giác BAC cắt BC tại D và (O) tại E,gọi M là trung điểm AD,BM cắt (O) tại P,PE cắt AC tại N.Đường tròn tâm K ngoại tiếp tam giác EMN cắt AC tại Q khác N, cắt BM tại R.CMR AR vuông góc với RC

Cho tam giác ABC nội tiếp (O).Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M,AM cắt (O) tại N.Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng vuông góc với NC tại C với (O) và BN,AP cắt BC tại E.Chứng minh Q,M,E thẳng hàng

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), có P là giao điểm của AC và BD,Q là giao điểm thứ 2 của (ADP) và (BCP).Gọi E,F thứ tự là giao điểm thứ hai của AB với các đường tròn (ADP) và (BCP),G,H thứ tự là giao điểm thứ 2 của DC với (ADP) và (BCP).Chứng minh OQ,EH,FG đồng quy

Mình thử gửi lời giải của mình