Tại sao bậc mở rộng của a^1975 lại là ước của 2003?

To vinhspiderman: Có một bài tập khẳng định rằng mọi ma trận tuần hoàn A (trên trường số phức), tức là A^k=I, với k nào đó, là chéo hóa được.

Hình như dickchimney mới chỉ chứng minh tồn tại đa thức (hệ số nguyên) bất khả quy nhận a^1975 làm nghiệm, chứ chưa chỉ ra đa thức này có bậc 2003.

Tôi chỉ chứng minh được bài tập trên khi nhóm gồm 2005=5.401 ma trận phân biệt này là giao hoán nhưng rất tiếc không phải mọi nhóm cấp p.q đều là giao hoán nên lời giải là rất chưa trọn vẹn.
Có thể chứng minh được mọi nhóm hữu hạn có thể xem là nhóm gồm các ma trận với cấp hữu hạn thích hợp, tương tự với định lý: mọi nhóm hữu hạn có thể xem như là nhóm con của nhóm đối xứng.

Vì Q là trường hoàn thiện (perfect), nên E/Q là mở rộng chuẩn tắc, do vậy là Galois vì E/Q là chuẩn tắc. Khi đó EF là mở rộng Galois trên F với nhóm Galois là A, E là mở rộng Galois trên với nhóm Galois là B, và A và B đẳng câú với nhau (định lý 4, xoắn 1, chương VIII. Galois theory, trong "Algebra" S.Lang).
Suy ra [EF:F]=[E:Q] (1).
Tương tự lại áp dụng định lý 4 ở trên với 2 trường E và F(x), với chú ý EF(x)=EF, , suy ra .
Mặt khác, dễ thâý . Do vâỵ
.
Kết hợp với (1) suy ra [F(x):F]=[Q(x):Q].

Nếu xy=0 thì suy ra yx=0 (dễ CM). vậy xy=yx(=0)

Xin lỗi, nhưng Ham_Toan viết cụ thể hơn được không?

Tại hạ có một bài tập tự chế (rất chuối) như sau (các huynh đài giải cho vui) :
 
  Chứng minh rằng

Đặt khi đó x^19-2 là đa thức bất khả quy (hay tối tiểu) của a trên Q, (x^19-2 bất khả quy trên Q không hiển nhiển lắm, có thể xem trong S. Lang, Algebra, phần về phương trình x^n-b), suy ra [Q(a):Q]=19. Ta có

suy ra [Q(a+a^2):Q]=1, hoặc 19. Nếu [Q(a+a^2):Q]=1 thì a+a^2 thuộc Q và suy ra đa thức tối thiểu của a trên Q có bậc không vượt quá 2 (là ước của đa thức dạng x^2+x-q), mâu thuẫn với trên. Vậy [Q(a+a^2):Q]=19 và Q(a+a^2)=Q(a).

Ta có Lập luận tương tự suy ra Q(a^2)=Q(a). Vậy Q(a+a^2)=Q(a^2) (=Q(a)).

   Hãy kiểm tra tính đúng đắng của khẳng định sau :
Cho K là một trường.Giả sử [K(a):K]=n và [K(b):K]=m.Giả sử rằng đa thức tối tiểu của a và b không có nghiệm nào chung (trong trường phân rã chung của hai đa thức này).Khi ấy [K(a,b):K]=n.m .
  

Khẳng định này không đúng, nên hơi đắng . Phản ví dụ cho nó không phức tạp lắm đâu.

Công nhận!

Xét K=R (trường số thực), a=i, b=1+i có đa thức tối tiểu là x^2+1 và x^2-2x+1, không có nghiệm chung, 2=[Q(i):Q]=[Q(1+i):Q]=[Q(i,1+i):Q] ( và khác 2.2=4).

HÌnh như, với mọi n, tồn tại mở rộng Galois K trên Q sao cho nhóm Galois của mở rộng này là S_n?

Theo Lang thì để chứng minh điều này cần phải dùng đến Hilbert irreducibility Theorem

Bác canh_dieu (hoặc ai đó) có thể giới thiệu định lý Hilbert irreducibility Theorem không ạ? Và nếu có diễn giải việc suy ra nhóm S_n là nhóm Galois trên Q từ định lý này thì càng hay ạ.

Nhân tiện, chúng ta vẫn chưa chỉ ra cụ thể một mở rộng Galois K/Q có nhóm Galois là Q8: đưa ra một đa thức mà trường phân rã (trường tách) K của nó là mở rông Galois với nhóm Gal(K/Q)=Q8.

Giả sử ta đã có 6x=0, 3x^2=3x, và 2xy=2yx (xem các bài post của bác bupbebe).

Khi đó, từ 3(x+y)=3(x+y)^2=3(x^2+xy+yx+y^2), suy ra 3xy+3yx=0. Vì 6yx=0 suy ra 3xy-3yx=0, kết hợp với 2xy=2yx, suy ra xy=yx.

Cảm ơn bác bupbebe!

Trong một bài viết của bác bupbebe có chỉ ra (một) nhóm 2-Sylow của S6 là D8xZ/2, từ đó có thể suy ra Q8 không nhúng vào được S6 (và S7) (hy vọng đúng )

Nhóm A5 có 60 phần tử và không giải được nên có lẽ trong khẳng định mọi nhóm hữu hạn cấp <= 60 đều giải được ta bỏ đi dấu =(60).

HÌnh như, với mọi n, tồn tại mở rộng Galois K trên Q sao cho nhóm Galois của mở rộng này là S_n?

Bài toán trên là một định lý của Jacobson (tìm bằng từ khóa Jacobson's theorem sẽ thấy), thực ra định lý phát biểu khác một chút (tổng quát hơn bài toán):
Cho G là một vành bất kỳ (không nhất thiết có đơn vị), giả sử với mọi x thuộc G tồn tại n=n(x)>1 (phụ thuộc x) sao cho x^n=x. Khi đó G là một vành giao hoán.

Không biết nếu nhóm Galois là nhóm Quaternion Q8 thì mở rộng Galois E của Q có dạng như thế nào?  Theo như lập luận của tôi thì phải đi tìm một đa thức có bậc ít nhất là 6, vì Q8 không nhúng được vào S_5 (D8 vẫn là nhóm con 2-Sylow của S_5). 

Ít nhất thì Q_8 nhúng được vào S_8. Không biết Q8 có nhúng được vào S_6 không? Nếu không được thì S_7 cũng không được.

Liệu có thực sự tồn tại một mở rộng Galois trên Q nhận nhóm Q8 làm nhóm Galois của nó?

Trong trường hợp n=2 thực ra không cần phải dữ kiện vành có đơn vị. Dễ dàng có được http://dientuvietnam...imetex.cgi?x=-x với mọi x G, thế thì với a,b G ta có: http://dientuvietnam...ex.cgi?a b=(a b)^2=a^2+b^2+ab+ba=a+b+ab-ba  http://dientuvietnam...etex.cgi?ab=ba.

Với n cao hơn có lẽ phải cần dữ kiện vành có đơn vị.

Lotus có thể chỉ ra chỗ "dễ dàng có được x=-x" rõ hơn được không? Mình chỉ biết nếu vành G có đơn vị thì suy ra được x=-x, còn nếu G không có đơn vị thì chưa biết suy ra như thế nào.

Bài thứ hai không hiểu lắm, với A là ma trận đường chéo, cấp 2 với các phần tử trên đường chéo là 1 và 2i, thì định thức của A^2+I bằng -6<0.


Bài thứ nhất liệu còn đúng với 3 (tông quát hơn là n) ma trận thực, cùng cấp, đôi một giao hoán với nhau thì tổng các bình phương các ma trận này có định thức không âm?

Cái điều nói về tồn tại điểm bất động thì tầm thường, do nguyên lý diểm bất động của brown. TUy nhiên mình chưa nghĩ ra ý tưởng nào chứng minh nếu có 2 điểm bất động thì là ánh xạ hằng.

Tôi nghĩ là thử chứng minh ánh xạ chỉnh hình bị chặn có hai không điểm thì đồng nhất không.

Không biết là ánh xạ này chỉnh hình trên đâu, nếu chỉ trên đĩa đơn vị D thì không đúng (chỉ cần chọn đa thức có 3 nghiệm phân biệt trong D).

Định lý Picard phát biểu rằng: Nếu f chỉnh hình khắp nơi trên C và triệt tiêu tại ít nhất 2 điểm thì f là hằng số (và =0).
Tuy nhiên mình cũng chưa biết là phải dùng cái định lý Picard này như thế nào trong chứng minh bài tập của Kakalotta.

Hôm nay "sưu tầm" được chứng minh cho bài của Kakalotta:
Giả sử f là chỉnh hình trên đĩa đơn vị D và |f(z)|<1, với mọi z thuộc D, f(a)=a, f(b)=b với a, b phân biệt thuộc D. Xét tự đẳng câú http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?g của D xác định bởi
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g(z)=\dfrac{a-z}{1-\bar{a}z}. Kiểm tra được http://dientuvietnam...x.cgi?g=g^{-1}. Đặt http://dientuvietnam...mimetex.cgi?g(u)=b. Khi đó g(b)=u và h(u)=u. Vì a khác b nên u khác 0, theo bổ đề Schwarz, tồn tại sô phức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha mô đun 1 sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha=1. Và ta có h(z)=z, suy ra f(g(z))=g(z). Do vậy, f(z)=z, vì g là tự đẳng cấu.

(Tự đẳng cấu của D hiểu theo nghĩa là ánh xạ là chỉnh hình từ D vào D, song ánh và ánh xạ ngược cũng chỉnh hình)

Không gian véctơ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_d có một cơ sở sinh bởi các đơn thức bậc d, mà số các dơn thức bậc d là http://dientuvietnam...C^{n-1}_{n d-1}, nên http://dientuvietnam...tex.cgi?dim(V_d)=C^{n-1}_{n+d-1}.

Xét V là một không gian véctơ con của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_d (chưa cần V giả thiết sinh bởi các đơn thức) số chiều k, gọi http://dientuvietnam...cgi?P_1,...,P_k là một cơ sở của V. Khi đó tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=\{x_iP_j:i=1,...,n;j=1,...,k\} là hệ sinh của http://dientuvietnam...metex.cgi?S_1V. Do vậy, ta có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Card(A)=n*k và A là một cơ sở của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k\leq\dfrac{C^{n-1}_{n+d}}{n}.

2) Với V mà http://dientuvietnam...gi?S_1V=V_{d 1}, từ suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_n(d)\leq\dfrac{C^{n-1}_{n+d}}{n}\leq\rho_n(d+1)

Với n=2, ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X^d,x^{d-2}Y^2,....,X^{d-2r+2}Y^{2r-2}, khi đó dim V=r và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dim(S_1V)=2dim(V). Vâỵ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_2(d)=&#091;\dfrac{d+2}{2}].
b)Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X^{2k},X^{2k-2}Y^2,...Y^{2k}, khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dim(V)=k+1=&#091;\dfrac{d+3}{2}]=\dfrac{d+2}{2} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_1V=V_{d+1}. Với d=2k+1 lẻ, xét V là không gian sinh bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X^{2k+1},X^{2k-1}Y^2,...,XY^{2k},Y^{2k+1}. Khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dim(V)=k+2<\dfrac{d+2}{2}+1, và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_1V=V_{d+1}. Vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\rho_2(d+1)=k+2=&#091;\dfrac{d+3}{2}].

Ta có kết quả cho bài toán với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n=2, trường hợp đơn giản nhất, sau n=1 (bằng cách tương ứng mỗi đơn thức http://dientuvietnam..._2}...x_n^{i_n} với bộ http://dientuvietnam...gi?(i_1,...,i_n),...):
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_2(d)=&#091;\dfrac{d+1}{2}]
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\rho_2(d+1)=&#091;\dfrac{d+2}{2}]
[] là ký hiệu phần nguyên.
và có thể chứng minh được

Ta có http://dientuvietnam...imetex.cgi?(m,p)=1, ở đây http://dientuvietnam...mimetex.cgi?U_n là nhóm con của http://dientuvietnam...ex.cgi?GL(n,F_q) gồm các ma trận lũy đơn (unipotent matrix), tức là nhóm các ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo là 1. Khi đó
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_n là một nhóm con p-Sylow của http://dientuvietnam...ex.cgi?GL(n,F_q). (Tương tự chi ra nhóm các ma trận tam giác dưới với các phần tử trên đường chéo là 1 cũng là nhóm con p-Sylow của http://dientuvietnam...ex.cgi?GL(n,F_q).)

Có một công thức tính http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\zeta(2k) thông qua số Bernoulli http://dientuvietnam...mimetex.cgi?B_k, mấy dòng sau chép ra từ "A coure in Arithmetic", J. P. Serre (trang 90-91).

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B_k được định nghĩa qua khai triển

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{x}{e^x-1}=1-\dfrac{x}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}B_k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}.

Ví dụ: http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k là số nguyên >0 thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\zeta(2k)=\dfrac{2^{2k-1}}{(2k)!}B_k\pi^{2k}.

Đồng nhất thức
(26) http://dientuvietnam...mimetex.cgi?B_k bằng cách đặt http://dientuvietnam...etex.cgi?x=2iz. Hơn nữa, lấy đạo hàm logarit (the logarithmic derivative) của

ta được
(28)
=
So sánh (26) và (28) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ

  Mai em không tự đi được, anh Noproof ơi đến chở em với bé Công đi nhé.

Chán quá (tiếc quá), anh chiều nay mới đọc tin sau khi đi đón mẹ anh, nên biết hơi muộn, không thì nhờ anh họ đi đón hộ, còn mình thì đi offline rồi, xin lỗi thanhbinh và bé Công rất nhiều . Cám ơn Kakalotta đã gọi điện, xin lỗi mọi người vì không đến được. Chúc luôn vui vẻ .

Anh CXR ơi, anh có thể ghi chú những định lý, tính chất nào không cần dùng đến giả thiết k là trường đóng đại số và đặc số 0 được không ạ, thế thì tiện cho em quá. (Hoặc là ta không hạn chế k là trường đóng đại số và đặc số 0 ngay từ đầu, định lý nào cần giả thiết này thì thêm vào).

Định lý Nullstellensatz của Hilbert, em thấy bác Ngô Việt Trung dịch là "Định lý nghiệm của Hilbert", cũng có người dịch là "Định lý không điểm của Hilbert".

Em không hiểu ý bài tập (2) lắm , có lẽ phải có thêm giả thiết về f, chẳng hạn f không là khả quy (f bất khả quy).

Phần 2 bài 3 đáp số là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?l_\infty tới x.

Bài 2. Đáp số có phải là http://dientuvietnam...etex.cgi?|A|=3.
Bất đẳng thức http://dientuvietnam...metex.cgi?|x|=1 (chuẩn sup), http://dientuvietnam...x.cgi?|Ax|=3-2a, suy ra http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^n là dãy http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^n tiến đến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?l_\infty, nhưng x không thuộc L, do vậy L không là đóng.

Chắc phải là nhóm dihedral D_8 chứ không phải Z/4 x Z/2 vì nhóm này phải nhúng được vào nhóm đối xứng S_4 (giao hoán bốn nghiệm). Nhóm con bậc 8 của S_4 thì là nhóm 2-Sylow, vậy phải là D_8.

Đúng là không phải Z/4Z x Z/2Z. Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma là tự đẳng cấu của K trên Q(i) (tức là giữ nguyên các phần tử của Q(i)) biến http://dientuvietnam...sqrt&#091;4]{2} thành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau là tự đẳng cấu của K trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q(\sqrt&#091;4]{2}) biến i thành -i. Khi đó nhóm Galois của K/Q là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G=<\sigma,\tau>. Kiểm tra trực tiếp được: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma có cấp 4, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau có cấp 2, và , tức G là nhóm Dihedral D_8. (Chi tiết có thể xem tiết 2, chương VIII. Galois Theory, trong quyển Algebra của S. Lang).