Giải hệ phương trình : 

$\left\{\begin{matrix} \left ( x+y-1 \right )xy=\left ( x-y \right )^{2}& \\ \left ( x^{3}+y^{3} \right )xy-y^{2}=4xy^{2}\left ( 4x^{3}y^{2}+x-1 \right )& \end{matrix}\right.$

Cho tam giác ABC nôi tiếp đường tròn (O) đường kính BC , AH là đường cao của tam giác . Đường tròn (I) đường kính AH cắt AB , AC lần lượt tại D và E , cắt lại (O) tại K , AK cắt BC tại M . Chứng minh bốn điểm M , D , I , E thẳng hàng .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A , $AB=a\sqrt{2},AC=a\sqrt{5}$ . Hính chiếu H của đỉnh S tên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng $60^{0}$ . Tính thề tích của khối chóp S.ABC . 

Cho a , b , c là các số dương thỏa : a + b + c $\leq$ 1 . 

$ Tìm  GTNN  của   T = \sum \frac{1}{a^{2}+bc}$

Tính GTLN của tổng bình phương các cạnh bên , các cạnh đáy và hai đường chéo đáy của hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính R .

Giải phương trình : 

$\frac{2x+1}{\sqrt{6x^{2}+6x+3}}=\frac{4x+3}{\left ( 2x^{2}+3x+3 \right )\sqrt{2x^{2}+3x+3}}$

Chứng minh rằng với mọi x , ta có : 

$224x^{6}+1056x^{5}+2560x^{4}+3744x^{3}+3222x^{2}+1518x+321> 0$

Giải phương trình : $x^{4} + 2x^{3} - 9x^{2} - 14x + 13 = 0$

Giải phương trình : $(2x+5)(\sqrt{10-x^{2}}+3)(\sqrt{10-x^{2}}+1)=3-2x-x^{2}$

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có các chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập E= Ơ1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Tích xác suất để chọn được số có các chữ số cách đều nhau ( khi sắp xếp chúng theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ) và có tổng các chữ số bằng 15 .

Từ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 , có bao nhiêu cách lấy 3 số nguyên dương sao cho không có 2 số liên tiếp nhau ?

$\left | \Omega \right |=C_{1000}^{1}C_{999}^{1}C_{998}^{1} ;\left | \Omega _{A} \right |=C_{3}^{1}C_{20}^{1}C_{900}^{2}+C_{3}^{2}C_{30}^{2}C_{900}^{1}+C_{3}^{1}C_{30}^{1}C_{50}^{2}$

$P\left ( A \right )=\frac{307}{11976}\simeq 0.0256$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BF , CE cắt nhau tại H , tia AH cắt cạnh BC tại D . Qua B kẻ đường thẳng song song với AC , cắt đường thẳng AS tại K . Trên tia đối của tia BK lấy điểm L sao cho B là trung điểm đoạn thẳng KL . Chứng minh ba điểm A , D , L thẳng hàng .

Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6 chữ số 2,3,4,5,6,8 sao cho hai chữ số lẻ không đứng liền nhau ?

Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 7 chữ số 0,2,3,4,5,6,8 sao cho hai chữ số lẻ không đứng liền nhau ?

Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số mà chia hết cho 6 được lấy ra từ các số 1,2,3,4,6,7 ?      

Bài 4. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ta có lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà luôn có mặt nhiều hơn 1 chữ số lẻ và đồng thời trong đó hai chữ số kề nhau  khôngcùng là số lẻ ?     

Chứng minh rằng với mọi a , b thuộc khoảng (-1;3) , ta có :

$a^{2}+b^{2}+ab\leqslant 3\left ( a+ b+3 \right )$

Có 8 bì thư được đánh số từ 1,2,3,4,5,6,7,8 và 8 tem thư được đánh số từ 1,2,3,4,5,6,7,8 . Dán 8 con tem lên 8 bì thư sao cho mỗi bì chỉ dán 1 con tem . Hỏi có bao nhiêu cách dán tem sao cho có ít nhất một bì thư được dán con tem trùng số với số của bì thư đó ?

Trước tiên , ta CM : $1\leq x+y\leq 2$

BCS cho : $x+y\leq \sqrt{2\left ( x^{2}+y^{2} \right )}\leq 2$

$\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{\left ( x+y \right )^{2}}$ . 

Suy ra : $T\geq \frac{4}{x+y}+3\left ( x+y \right )$

Xét hàm số : $f\left ( t \right )=\frac{4}{t}+3t\left ( \sqrt{2} \leq t\leq 2\right )$

Dễ dàng CM : $f'\left ( t \right )\geq 0\forall t\in \left [ \sqrt{2} ,2\right ]\Rightarrow f\left ( t \right )\geq 5\sqrt{2}$

Suy ra : $minT=5\sqrt{2}\left ( x=y=\frac{\sqrt{2}}{2} \right )$

Hãy chứng minh phương trình Vô nghiệm

Giải bất phương trình : $\sqrt{x+12}\geq \sqrt{x-3}+\sqrt{2x+1}-x$

$2ab+1=\left 3[ \left ( a+b^{2} \right ) \right-2ab ]\Rightarrow 2ab+1\geq-6ab\Rightarrow ab\geq -\frac{1}{8} \rightarrow min\left ( ab \right )=-\frac{1}{8}\Leftrightarrow a=-b=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\left\{\begin{matrix} \left ( x+y+1 \right )xy=x^{2}+y^{2} & \\ \left ( x^{3}+y^{3} \right )xy-y^{2}=4xy^{2}\left ( 4x^{3}y^{2}+x-1 \right )& \end{matrix}\right.$

Nhận xét :

Phương trình (2) cho y = 0 . Từ đó : ( x=0;y=0) là nghiệm của hệ . 

Hệ còn có nghiệm ( x=1/2;y=1/2) . 

Minf(x) > 10 ? 

Tìm GTNN của : $f\left ( x \right )=2x^{6}+x^{5}+x^{4}+15x^{3}+25x^{2}+25x+25$

Cho hàm số : $f\left ( x \right )=a\left | x+2 \right |+b\left | x+1 \right |+cx$ đồng biến trên R . Chứng tỏ : c > 0 .