KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 THPT TỈNH THANH HOÁ
Năm học: 2008-2009
Môn thi: Toán
Ngày thi: 28/11/2008
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (5 điểm)
a) Giải bất phương trình:
$ 3^{x^2-4}+(x^2-4).3^{x-2} \ge 1$
b) Xác định tất cả các hàm số $f(x): R \to R $ thoả mãn:
$f(x) ={\max }\limits_{y \in R } \left\{ {2xy - f(y)} \right\},\forall x \in R$

Câu 2: (4 điểm)
Cho A là một tập hợp gồm 8 phần tử. Tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kì trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử.

Câu 3: (5 điểm)
Cho hàm số: $f(x) = x^n + 29x^{n - 1} + 2009$ với $n \in ,n \ge 2$. Chứng minh rằng $f(x) $không thể phân tích thành tích của 2 đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.

Câu 4: (6 điểm)
Cho tam giác $ABC, D$ là một điểm bất kì trên tia đối của tia $CB$. Đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD$ và $ACD$ cắt nhau tại $P $và $Q$. Chứng minh rằng đường thằng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $D$ thay đổi.

Nguồn: http://maths4vn.net
Xem thêm tại: http://maths4vn.net/...p=1565#post1565

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN LỚP 12
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

Các bạn download file nhé!

Nguồn: http://maths4vn.net

Có ai có đề thi HSG của tỉnh Thanh Hóa các năm ko vậy? Nếu có thì post lên cho mình với , cảm ơn các bạn trước

Gọi $p_1 ,p_2 ,...,p_m$ là m số nguyên tố lẻ đầu tiên. Chứng minh rằng:
$p_1 p_2 ...p_m > p_{m + 1}^2 ,\forall m \ge 4$

Cho đa thức $P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + ... + a_{n - 1} x + a_n$ thỏa mãn điều kiện: $\left| {P(x)} \right| \le 1,\quad \forall x \in \left[- 1,\,1\right]$
Chứng minh rằng: $ \left| {a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_1 x + a_0 } \right| \le 2^{n - 1} ,\forall x \in \left[-1,\,1\right]$