Giả sử $x_0$ là nghiệm của phương trình trên.
Th1: x=0
=>q=0 (không thỏa mãn)
Th2: $x \neq 0$
=>$0 \vdots x$ => $x^4-px+q \vdots x$ => $q \vdots x$
Suy ra x=q hoặc x=1.
*Nếu x=1 thì p-q=1=>Có một số chẵn và một số lẻ. Chú ý rằng p,q nguyên tố, ta được p=3;q=2.
*Nếu x=q thì: $q^4-pq+q=0$
$=>q(q^3-p+1)=0 <=>q^3-p+1=0$ (do q nguyên tố, khác 0).
$=> p-q^3=1$ =>$p$ và $q^3$ khác tính chẵn lẻ. => p và q khác tính chẵn lẻ. Ta đc p=3;q=2 hoặc p=2;q=3.
Thử lại:không có trường hợp nào thỏa mãn.
*Kết luận: p=3;q=2;x=1.

3) $(x^2+8x+17)(y^2-2y+6)=[(x+4)^2+1][(y-1)^2+5] \geq 1.5=5$
Đẳng thức xảy ra <=> x+4=0 và y-1=0 <=> x=-4 và y=1.
5) $(y^2-4y+5)(z^2+6z+13)=[(y-2)^2+1][(z+3)^2+4] \geq 1.4=4$
$-x^2+4x=-(x^2-4x+4)+4=-(x-2)^2+4 \leq 4$
=> y=2;z=-3;x=2.

Đề thi chọn đội tuyển lần 1 toán 8 trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa

(Học kì I)

Thời gian: 60 phút

1/ (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $28x^6+1+3x^2(x^2+1)$
b) $(a+b-3c)^2+(a+b+4c)^2-29c^2$
2/ (2 điểm) Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{2009^3}<\dfrac{1}{4}$
3/ (2 điểm) Cho 4 số a,b,c,d (khác 0) thỏa mãn: abcd=1 và $a+b+c+d=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$.
Chứng minh rằng: tồn tại tích hai số trong 4 số đó bằng 1.
4/ (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có góc A bằng 90, CB=CD. Từ A vẽ AH vuông góc với BD tại H. Chứng minh rằng: CD,CH,AH là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
5/ (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB<CD). Gọi M,N,P theo thức tự là trung điểm của AB,BD và AC. Đường thẳng vuông góc với MN tại N và đường thẳng vuông góc với MP tại P cắt nhau tại E. Chứng minh: EC=ED.

Lúc đầu có 2005 tấm xanh,0 tấm đỏ. Hiệu chia 4 dư 1.
Sau khi lật 4 tấm bất kì, giả sử trong đó có n tấm xanh và m tấm đỏ (n+m=4). thì số tấm đỏ sau đó tăng thêm n giảm m; số tấm xanh giảm n tăng thêm m. Hiệu của chúng so với trước đó là $x+n-m-(y-n+m)=x-y+2(n-m)$.
Ta có $n-m=n+m-2m=4-2m$ chẵn. => Hiệu số tấm xanh và số tấm đỏ sau và trước khi chuyển đổi có cùng dư khi chia cho 4 (chia 4 dư 1).
Nếu 2005 tấm đỏ, 0 tấm xanh thì hiệu là -2005 chia 4 dư 3 => Không thể thực hiện được.

CMR: Với a,b,c,d dương; abcd=1 thì:
$\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4+1}+\dfrac{1}{b^4+c^4+d^4+1}+\dfrac{1}{c^4+d^4+a^4+1}+\dfrac{1}{d^4+a^4+b^4+1}<\dfrac{1}{4}$

Tìm x,y,z nguyên: $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$.

chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thỏa mãn đẳng thức x^2 +y^2+z^2=2 thì x+y+z xyz +2

<=>$(x+y+z)^2 \leq (xyz+x^2+y^2+z^2)^2$
Phân tích 2 vế và giản lược, ta được: $0 \leq (xyz)^2+2xyz(x^2+y^2+z^2)$ đúng với mọi x,y,z dương.
Đẳng thức xảy ra <=> xyz=0 <=> Có ít nhất một trong 3 số x;y;z bằng 0.

Tìm các số thực x,y,z sao cho:
$(2x-4y)^2+(6y+2z)^2+(2z+2x-1)^2<3$

Cho tam giác ABC và M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác đó. Tìm O trên mặt phẳng sao cho MO+MA+MB+MC đạt min.

1. Cho tam giác ABC có AM, AD lần lượt là các đường trung tuyến và phân giác. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD ở E. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AM tại F. Chứng minh rằng:
a) Góc ABC = 90 độ.
b) 3 điểm E,F,C thẳng hàng.
2. Cho tam giác ABC và O là giao điểm 3 đường trung trực. Tìm M trong mặt phẳng để A=MA+MB+MC+MO nhỏ nhất.
3. Cho tam giác ABC có các trung tuyến AM và BN sao cho góc CAM= góc CBN=30. Chứng minh ABC là tam giác đều.

Tìm min, max của: $\dfrac{x^2}{(x^2+4)^3}$

Đặt 2005=k; 2006=q.
Ta có tử bằng 10001k.(10001q.100000+200006)=10001.10001.100000qk+20006.10001k
Mẫu bằng 10001q.(10001k.100000+20005)=10001.10001.100000qk+20005.10001.q
Ta có 20005.10001.q=(20006-1).10001.(k+1)=20006.10001.k-10001.k+20006.10001-10001=20006.10001.k+10001(2006-1-k)=20006.10001.k (do 2006-1-k=0)
Suy ra Tử bằng Mẫu
Do đó phân bằng 1.

Giải pt: $2x^2+2y^2+2xy-10x-8y+14=0$

Kí hiệu $p(k)$ là ước số lẻ lớn nhất của k.
Cho n;a là các số nguyên dương.
a/ Tìm n sao cho với mọi a thì: $n+p(n^a)=p(n)+n^a$
b/ Tìm a sao cho với mọi n thì: $n+p(n^a)=p(n)+n^a$

Có hay không cách chia một tam giác thành 5 tam giác bằng nhau?
Trả lời câu hỏi với 7 phần bằng nhau.

Tìm max của $P=xy+2yz+xz$ biết $x \geq y \geq z >0$ và $1+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}x^2=z^2=5-4y^2$