Một cô gái đưa cho ông nhân viên bưu điện 1 đô la và nói:
- Xin ông bán cho tôi ba loại tem: 2 xentơ, 1 xentơ và 5 xentơ. Số tem 1 xentơ gấp 10 lần số tem 2 xentơ. Còn bao nhiêu ông bán cho tem 5 xentơ.
Bạn hãy cho biết, ông nhân viên bưu điện giải bài toán này thế nào cho nhanh?

Lập hệ: Gọi số tem 1 xento là a; 2 xento là b và 5 xento là c.
Ta có: a+2b+5c=100
a=10b
Suy ra: 12b+5c=100
=>12b chia hết cho 5.
=>b chia hết cho 5.
Mà 12b<100.
Suy ra b<9.
b khác 0 nên b=5.
Suy ra a=50.
Vậy, c=8.

1. Cho tam giác ABC có AM, AD lần lượt là các đường trung tuyến và phân giác. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD ở E. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AM tại F. Chứng minh rằng:
a) Góc ABC = 90 độ.
b) 3 điểm E,F,C thẳng hàng.
2. Cho tam giác ABC và O là giao điểm 3 đường trung trực. Tìm M trong mặt phẳng để A=MA+MB+MC+MO nhỏ nhất.
3. Cho tam giác ABC có các trung tuyến AM và BN sao cho góc CAM= góc CBN=30. Chứng minh ABC là tam giác đều.

3/ $x^4-20x^2+100-y^4+28y^2-196=11
<=> (x^2-10)^2-(y^2-14)^2=11
<=> (x^2-10-y^2+14)(x^2-10+y^2-14)=11
<=> (x^2-y^2+4)(x^2+y^2-24)=11$
Xét ước của 11 và giải hệ ta tìm được bộ nghiệm $ (x,y)=( \pm 4; \pm 3); ( \pm 2; \pm 3)$
4/$2x^2+3y^2=z^2$ (1)
Do $2x^2+3y^2 \equiv 0;2 (mod 3); z^2 \equiv 0;1 (mod 3)$ nên x và z cùng chia hết cho 3.
Đặt $x=3x_1; z=3z_1$.
PT trở thành $2.9.x_1^2+3y^2=9.z_1^2 <=> 6x_1^2+y^2=3z_1^2$
Từ đó có y chia hết cho 3. Đặt $y=3y_1$
PT (1) trở thành $2.9.x_1^2+9y_1^2=9z_1^2
<=> 2x_1^2+y_1^2=z_1^2$
Từ đó suy ra $(\dfrac{x}{3}; \dfrac{y}{3}; \dfrac{z}{3})$ cũng là bộ nghiệm của pt.
Cứ tiếp tục như vậy ta có $(\dfrac{x}{3^k};\dfrac{y}{3^k}; \dfrac{z}{3^k})$ (k là một số tự nhiên) cũng là bộ nghiệm của pt.
Điều này chỉ xảy ra khi x=y=z=0.
5) Chú ý rằng $a^2 \equiv 0;1;2;4 (mod 7)$
Do đó $x^2+y^2+z^2$ chia hết cho 7 khi x,y,z cùng chia hết cho 7 hoặc $x^2;y^2;z^2$ lần lượt nhận các số dư khác nhau khi chia cho 7.
Tức là có một số chia 7 dư 1 hoặc 6; một số chia 7 dư 2 hoặc 5; một số chia 7 dư 3 hoặc 4.
Kết luận: PT có vô số nghiệm.

Kí hiệu $p(k)$ là ước số lẻ lớn nhất của k.
Cho n;a là các số nguyên dương.
a/ Tìm n sao cho với mọi a thì: $n+p(n^a)=p(n)+n^a$
b/ Tìm a sao cho với mọi n thì: $n+p(n^a)=p(n)+n^a$

Giả sử $x_0$ là nghiệm của phương trình trên.
Th1: x=0
=>q=0 (không thỏa mãn)
Th2: $x \neq 0$
=>$0 \vdots x$ => $x^4-px+q \vdots x$ => $q \vdots x$
Suy ra x=q hoặc x=1.
*Nếu x=1 thì p-q=1=>Có một số chẵn và một số lẻ. Chú ý rằng p,q nguyên tố, ta được p=3;q=2.
*Nếu x=q thì: $q^4-pq+q=0$
$=>q(q^3-p+1)=0 <=>q^3-p+1=0$ (do q nguyên tố, khác 0).
$=> p-q^3=1$ =>$p$ và $q^3$ khác tính chẵn lẻ. => p và q khác tính chẵn lẻ. Ta đc p=3;q=2 hoặc p=2;q=3.
Thử lại:không có trường hợp nào thỏa mãn.
*Kết luận: p=3;q=2;x=1.

1. $2008^{2008} \equiv 1(mod 3)$
$\Rightarrow 2008^{2008}+1 \equiv 2 (mod 3)$
Ta có $n^3+2006n=(n^3-n)+2007n=(n-1)n(n+1)+2007n \vdots 3 \forall n \in Z$
Vậy pt vô nghiệm nguyên

$x^{100}-1=(x^{50}-1)(x^{50}+1)=(x^{25}-1)(x^{25}+1)(x^{50}+1)
=(x^{25}-1)(x+1)(x^{24}-x^{23}+...-x+1).(x+1)(x^{49}-x^{48}+...-x+1) \vdots (x+1)^2$
Vậy $x^{100}$ chia $(x+1)^2$ dư 1.

$\dfrac{x^{100}-1}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)(x^{99}-x^{98}+...+x-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^{99}-x^{98}+...+x-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)+x^2(x-1)+...+x^{98}(x-1)}{x-1}=1+x^2+x^4+...+x^{98}$
Vậy $x^{100}-1 \vdots (x-1)^2$
Suy ra $x^{100}$ chia $(x-1)^2$ dư 1.

Tìm max của $P=xy+2yz+xz$ biết $x \geq y \geq z >0$ và $1+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}x^2=z^2=5-4y^2$

Đặt 2005=k; 2006=q.
Ta có tử bằng 10001k.(10001q.100000+200006)=10001.10001.100000qk+20006.10001k
Mẫu bằng 10001q.(10001k.100000+20005)=10001.10001.100000qk+20005.10001.q
Ta có 20005.10001.q=(20006-1).10001.(k+1)=20006.10001.k-10001.k+20006.10001-10001=20006.10001.k+10001(2006-1-k)=20006.10001.k (do 2006-1-k=0)
Suy ra Tử bằng Mẫu
Do đó phân bằng 1.

Tìm min, max của: $\dfrac{x^2}{(x^2+4)^3}$

Gọi vận tốc tàu khi nước lặn là a (km/h)
Theo đề bài: $\dfrac{80}{a+4}+\dfrac{80}{a-4}=8h30'=\dfrac{17}{2} (h)
<=> 80 (\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{a-4})=\dfrac{17}{2}
<=> \dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{a-4}=\dfrac{17}{160} <=>\dfrac{2a}{a^2-4}=\dfrac{17}{160}
<=> 2a=\dfrac{17a^2-68}{160} <=> 320a=17a^2-68 <=> 17a^2-320a-68=0$
Tời đây giải pt bậc 2 để tìm a

3) $(x^2+8x+17)(y^2-2y+6)=[(x+4)^2+1][(y-1)^2+5] \geq 1.5=5$
Đẳng thức xảy ra <=> x+4=0 và y-1=0 <=> x=-4 và y=1.
5) $(y^2-4y+5)(z^2+6z+13)=[(y-2)^2+1][(z+3)^2+4] \geq 1.4=4$
$-x^2+4x=-(x^2-4x+4)+4=-(x-2)^2+4 \leq 4$
=> y=2;z=-3;x=2.

Cho tam giác ABC. H là trực tâm. Trung điểm BC là M. Nối MH. Vẽ đường vuông góc với MH tại H cắt AB ở E, AC ở F. CMR: HE=HF.

Nhân chéo tỉ lệ thức đầu tiên:
(a+b)(c-d)=(a-b)(c+d) <=> ac+bc-ad-bd=ac+ad-bc-bd <=> bc-ad=ad-bc <=> 2bc=2ad <=> bc=ad
Do đó $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$

$H=a^{4k}-1=(a^k-1)(a^k+1)(a^{2k}+1)$
a là snt lớn hơn 5 nên a không chia hết cho 2;3;5.
*Mỗi thừa số đều chia hết cho 2. Do đó H chia hết cho 8.
*a chia 3 dư một thì $a^k-1$ chia hết cho 3.
*a chia 3 dư hai thì $a^2+1$ chia hết cho 3.
Tương tự: nếu a chia 5 dư 1 hoặc 4 thì H chia hết cho 5.
Nếu a chia 5 dư 2 hoặc 3 thì $a^{2k}+1$ chia hết cho 5.
Suy ra H chia hết cho 8;3;5. Do (8;3;5)=1 nên H chia hết cho 120.