Cả 2 bài toán này sử dụng BĐT vector ra rất đẹp.Tiếp:
1. Cho các số thực x,y,z với $x+y+z=3$, tìm min của: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$
2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $
1/ Biến đổi trong căn thành $\left(x+\dfrac{y}{2} \right)^2 + \left(\sqrt{3}{\dfrac{y}{2}} \right)^2$, tương tự cho 2 căn thức kia.
Đặt $\vec{u} =\left(x+ \dfrac{y}{2} ; \dfrac{y \sqrt{3} }{2} \right)$
Tương tự cho $\vec{v}$ và $\vec{w}$ .
Suy ra vetor tổng 3 vector.
Dùng BDT vector với độ dài tổng 3 vector lớn hơn hoặc bằng độ dài vector tổng.
=> ycdb $\ge 3 \sqrt{3}$
2/ Biến đổi điều kiện thành $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Biết đổi trong căn thành $\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}$
Tương tự như 2 căn thức kia.
Đặt $\vec{ u}=\left(\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{a} \right)$
Tương tự cho 2 vector v và w
Dùng BDT tương tự như trên ta suy ra kết quả.