$$2(5x-3)\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}=3(5x+1).$$

$$\begin{cases}x^3-y^3=9\\x^2+2y^2=x-4y\end{cases}$$

Hình như đề thiếu dấu bình phương ở mẫu vế trái phải không bạn? (Nếu không thì cần ngoặc làm gì??)

Mình đoán là nhân liên hợp ở vế trái...

Từ hệ suy ra phương trình đồng bậc $4$ là

$$(x^3+8y^3-4xy^2)(2x+y)=1.(2x^4+y^4)$$

tương đương với

$$y(x^3-8x^2y+12xy^2+7y^3)=0.$$

Đến đây mình không có máy tính nên không biết pt bậc 3 kia có nghiệm là gì...

Mình muốn viết chữ hoặc cả công thức Toán (có nhiều dòng) trong một khung có kẻ viền thì phải làm thế nào?

Nếu dùng \fbox thì chỉ được một dòng thôi.

 

Hơn nữa, nếu mình muốn tô màu cho cả khung đó thì dùng lệnh như thế nào?

 

Mong mọi người chỉ bảo giúp. Rất cảm ơn mọi người.

Bài này nên chia 2 vế cho $x$, rồi đặt $t=\sqrt{2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}}$ thì dễ hơn.

 

Tuy nhiên, làm cách này thì cần xét 2 trường hợp $x>0$ và $x<0$ nhé!

Lấy (2) trừ (1) theo vế được

$$x^2+(2y+1)x+4y-2=0.$$

 

(Đoạn này nháp: Coi đây là pt bậc hai với $x$ là ẩn, $y$ là tham số. Tính được $\Delta =(2y-3)^2$, từ đó theo công thức nghiệm tìm được $x=-2$ hoặc $x=-2y+1$)

 

Khi đó pt tương đương với $(x+2)(x+2y-1)=0$ hay $x=-2$ hoặc $x=-2y+1$.

 

Thay vào một trong hai pt ban đầu, tìm được nghiệm của hệ.

Đoạn này hình như bị sai bạn ạ. Nhầm $xy^2$ thành $x^2y$ phải không nhỉ?

Có phải bị thiếu ngoặc ở 3 chố lô ga không bạn ơi?

Bạn giải thích dùm mình cái $\frac{log_{2}(x+1)^{2}-log_{3}(x+1)^{3}}{x^{2}-3x-4}>0\Leftrightarrow \frac{ln(x+1)}{x-4}>0$?

Như thế này bạn ạ: ĐK: $x>-1, x\neq 4$. Khi đó vế trái bpt biến đổi thành

 

$$VT=\dfrac{\frac{2\ln (x+1)}{\ln 2}-\frac{3\ln (x+1)}{\ln 3}}{(x+1)(x-4)}$$

$$=\dfrac{\ln (x+1)}{x-4}.\dfrac{\frac{2}{\ln 2}-\frac{3}{\ln 3}}{x+1}.$$

 

Chú ý là $x+1>0$ và bấm máy tính để thấy dấu của $\dfrac{2}{\ln 2}-\dfrac{3}{\ln 3}$.

Sử dụng liên hợp thôi! Sau khi mò được nghiệm $x=-1$ thì ta làm như sau:

 

PT tương đương với một trong các pt sau:

$$(x+1)+4(\sqrt{2-2x}-2)+2(\sqrt{x+2}-1)=0$$

$$(x+1)+4\dfrac{2-2x-4}{\sqrt{2-2x}+2}+2\dfrac{x+2-1}{\sqrt{x+2}+1}=0$$

$$(x+1)\left [1-\dfrac{8}{\sqrt{2-2x}+2}+\dfrac{2}{\sqrt{x+2}+1}\right ]=0$$

 

Đến đây chứng minh được biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $-2\le x\le 1$.

Nếu được thì từ sau mình mong bạn

N H Tu prince

sẽ viết nhiều hơn 1 chút, cụ thể là giải thích cho mọi người tại sao lại tách được như vậy (ở câu 1)...

 

Thế thì lần sau mọi người mới có thể tự mày mò được nếu gặp bài tương tự chứ!

 

Cảm ơn bạn rất nhiều!

 

Giải các phương trình:

3) $2(x^2+2x+3)=5\sqrt{x^3+3x^2+3x+2}$

Pt tương đương với

$$2(x^2+x+1)+2(x+2)=5\sqrt{(x+2)(x^2+x+1)}.$$

Đặt (cho dễ nhìn) $a=\sqrt{x^2+x+1}$, $b=\sqrt{x+2}$ thì pt trở thành

$$2a^2-5ab+2b^2=0$$

tương đương $$(a-2b)(2a-b)=0.$$

Do đó $a=2b$ hoặc $b=2a$. Đến đây dễ rồi.

Giải phương trình: $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$.

Mình giải như thế này không biết có đúng không nữa

Điều kiện $x \ge -8$

Ta có:

$(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$

$\Longleftrightarrow (x+1)\sqrt{x+8}-3(x+1)=x^2-2x+1$

$\Longleftrightarrow (x+1)(\sqrt{x+8}-3)=(x-1)^2$

Nhân lượng liên hợp của $\sqrt{x+8}-3$,ta được:

$\dfrac{(x+1)(x-1)}{\sqrt{x+8}+3}=(x-1)^2$

$\Longrightarrow x=1$ hoặc

$\dfrac{x+1}{\sqrt{x+8}+3}=x-1$

$\Longleftrightarrow x\sqrt{x+8}-\sqrt{x+8}=-2x+4$

Tới đây thì ta đặt $t=\sqrt{x+8}$,pttt:

$t^3+2t^2-9t-20=0$

Tới đây ta áp dụng CTTQ và tìm ra được $t$

$\Longrightarrow$ Tìm được $x$

Nếu làm theo cách này thì hơi phức tạp.

 

Từ đầu có thể đặt $t=\sqrt{x+8}$ thì được ngay pt

$$(t-3)(t^3+2t^2-9t-20)=0.$$

Liệu có cách nào khác mà không dùng đến công thức nghiệm pt bậc 3 không các bạn nhỉ?

Có thể đưa về hệ $$\begin{cases} x^3=2-xy\\ y^3=-3-3xy\end{cases}.$$

Nhân 2 phương trình theo vế, đặt $t=xy$ ta có

$$t^3=-6-3t+3t^2$$

tương đương

$$(t-1)^3=-7$$

hay $t=1-\sqrt[3]{7}$. Từ đó tìm được $x$, $y$.

 

Tính ra cách này cũng giống cách bạn 1110004 thôi.

1) Nên làm cách này:

PT tương đương với $x^2-6x+9+x+1-4\sqrt{x+1}+4=0$ hay $(x-3)^2+(\sqrt{x+1}-2)^2=0$. Từ đó tìm được $x=3$ là nghiệm duy nhất.

Bạn Longqnh bị nhầm dấu 1 chút.

 

Có thể làm như sau nhé: Đặt $y=\sqrt{x-1}$ thì $y^2=x-1$. Ta có bpt

$$x^3-(3x^2-4y^2)y\le 0$$

hay $$x^3-3x^2y+4y^3\le 0.$$

Đây là bpt đẳng cấp bậc 3 hoặc gọi là bpt đồng bậc 3 gì đó...

Có thể bấm máy tính (nhập hệ số như bpt bậc 3 ẩn $x$ - cụ thể là 1, -3, 0, 4) để thấy nghiệm là $-1$ và $2$.

Thế thì có thể đoán $2$ là nghiệm kép (nhờ vào hệ số 4 cuối cùng) và  phân tích bpt thành

$$(x+y)(x-2y)^2\le 0.$$

Hoặc nếu là hs cấp 2 thì có thể phân tích thành

$$x^3+x^2y-4x^2y-4xy^2+4xy^2+4y^3\le 0$$

tương đương với

$$x^2(x+y)-4xy(x+y)+4y^2(x+y)\le 0,$$

đấy, có nhân tử chung là $(x+y)$ rồi.

Câu b) ở đây nhé!

 

http://diendantoanho...i-học/?p=380020

 

Cảm ơn bạn MIM một lần nữa!

còn $x^{2}-xy+2y^{2}=0$ thì sao bạn?

$x^{2}-xy+2y^{2}=(x-\frac{y}{2})^2+\dfrac{7y^2}{4}=0$ khi $x=y=0$.

Nên làm cách này: Nhận xét $x\neq 0$, chia 2 vế cho $x^2$, đặt $t=\dfrac{x^2+x+4}{x}$ thì được ngay pt bậc 2 ẩn $t$, đó là $t^2+3t+3=0$.

 

Còn nếu thành thạo rồi thì nên tách thành tích ngay cho nhanh.

 

 

Tóm lại, pt đẳng cấp $ma^2+n(ab)+pb^2=0$ có thế giải bằng cách chia 2 vế cho $a^2$ hoặc $b^2$ rồi đặt $t=\dfrac{a}{b}$ hoặc $t=\dfrac{b}{a}$ (thường dùng cho Cấp 2).

 

Với Cấp 3 thì nên bấm máy tính (nhập hệ số lần lượt là $m$, $n$, $p$ như khi giải 1 pt bậc hai), máy cho ra 2 nghiệm là $k$ và $h$ thì tách ngay pt thành $m(a-kb)(a-hb)=0$ do đó $a=kb$ hoặc $a=hb$.

 

 

Phương trình có dạng ma^2+nab+pb^2=0 được gọi là đẳng cấp (hoặc thuần nhất, hay đồng bậc), vì bậc của mỗi số hạng vế trái đều bằng 2 bạn ạ!

 

Ở bài toán trên nếu đặt $a=x^2+x+4$ thì trở thành đồng bậc với $a$ và $x$.

Nếu học lớp 12 rồi thì có thể làm bằng pp hàm số:

PT tương đương với $(2x)^3+(2x)=(\sqrt{2x+1})^3+\sqrt{2x+1}$.

 

Xét hàm số $f(t)=t^2+t$ thấy đồng biến trên $\mathbb{R}$, mà $f(2x)=f(\sqrt{2x+1})$ nên $2x=\sqrt{2x+1}$.

 

Đến đây dễ rồi. @@

 

 

Nếu chưa học về đạo hàm cũng không sao. Biến đổi như trên rồi đặt $a=2x$, $b=\sqrt{2x+1}$, pt trở thành

$$a^3+a=b^3+b$$

tương đương với

$$(a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0$$

tương đương $a=b$ do $a^2+ab+b^2+1>0$ với mọi $a, b$.

Mình soạn sách (dùng lớp books), muốn đánh trang chẵn, lẻ về hai góc của lề duới (trang chẵn ở góc trái, trang lẻ ở góc phải). Nếu để theo mặc định thì nó sẽ đánh số trang ở lề trên, kèm theo là nó hiện ra tên các chương, mục ở lề trên. Hơn nữa, mình muốn ở Mục lục xuất hiện là Chương 1. ... Chương 2. ... Thay vì nó chỉ hiện 1. ... 2. ... Mong mọi người chỉ bảo giúp ạ.

Cảm ơn bạn, tuy nhiên:

1. Khi dùng lệnh  \pagestyle{plain} thì số trang lại vào chính giữa trang, chứ không dàn sang 2 bên.

2. Làm mục lục như vậy, vì chỉ dịch được 1 lần nên chỉ có Chương 1 là hiện ra chữ Chương, còn các chương sau vẫn chỉ có 2,3,... thôii!

(mình dùng Texmaker). Thường thì phải dịch 2 lần trở lên nó mới load hết mục lục được bạn ạ.

Hic... dù sao cũng cảm ơn bạn đã nhiệt tình.