Các môn còn lại các bạn dowload tại link sau:

Link 1

https://drive.google...0EB?usp=sharing

Link 2: https://drive.google...7kL?usp=sharing

TXĐ: $\left ( 0;+\infty \right )$.

Ta có $\ln f(x) = \pi^x \ln x$. 

Giả sử $f(x)$ có đạo hàm là $f'(x)$. Khi đó

$$\left (\ln f(x)   \right )'= \left (\pi^x \ln x  \right )'\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\pi^x\ln x\ln \pi + \pi^x.\frac{1}{x} \Rightarrow  f'(x)=\left (\pi^x\ln x\ln \pi + \pi^x.\frac{1}{x}  \right )x^{\pi^x}$$

Từ đó suy ra $f'(1)$

Ai giúp chứng minh phát biểu sau với: Gọi a là số nguyên dương bất kì. Bình phương của a luôn bằng với bình phương của số trước (a - 1) cộng với một số lẻ theo 1,3,5,7,9,11,13, ... Có thể hơi khó hiểu nhưng là như này: giả sử a là 5. $a^2$ = $5^2$ = 25. 25 = 16 + 5. hay $4^2$ + 5. Hoặc a là 10. $a^2$ = $10^2$ = 100. 100 = 81 + 19 = $9^2$ + 19. Hoặc a = 11. $a^2$ = $11^2$ = 121. 121 = 100 + 21 = $10^2$ + 21. Ta có thể thấy 5,10,11 bình phương lên sẽ bằng số trước nó bình phương cộng thêm một số lẻ trong dãy 1,3,5,7,9,11,13,... *Lưu ý phát biểu trên chỉ do Nhật làm ra. Chưa có chứng minh chính thức. Hoặc có thể đã xuất hiện ở đâu đó nhưng Nhật không biết. Xin cảm ơn!".

$\forall n \in \mathbb{Z}$, ta có

$$n^2-(n-1)^2=n^2-n^2+2n-1=2n-1 \quad \text{(lẻ)}$$

Đó là điều bạn cần phải không?

Ta có đẳng thức

$$1-x^a=(1-a)(1+x+x^2+...+x^{a-1}).$$

Do đó

\begin{align*}\lim_{x\to 1}\left ( \frac{a}{1-x^a} - \frac{1}{1-x} \right ) &=\lim_{x\to 1} \dfrac{a-(1+x+x^2+...+x^{a-1})}{1-x^a}    \\ &=\lim_{x\to 1} \dfrac{(1-x)+(1-x^2)+...(1-x^{a-1})}{1-x^a}    \\  &=\lim_{x\to 1} \dfrac{(1-x)\left[1+(1+x)+...+(1+x+...x^{a-2})\right]}{(1-x)(1+x+x^2+...+x^{a-1})}    \\  &=\lim_{x\to 1} \dfrac{1+(1+x)+...+(1+x+...x^{a-2})}{1+x+x^2+...+x^{a-1}}    \\  &=\dfrac{1+2+...+(a-1)}{1+2+...+a}=\dfrac{a(a-1)}{2a}=\dfrac{a-1}{2}. \end{align*}

Tương tự ta cũng có

$$\lim_{x\to 1}\left (  \frac{1}{1-x} -\frac{a}{1-x^a} \right ) =-\dfrac{b-1}{2}.$$

Do đó 

$$\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{a}{1-x^a} - \frac{b}{1-x^b} \right ) =\dfrac{a-1}{2} -\dfrac{b-1}{2} = \dfrac{a-b}{2}.$$

Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases} x_{1}=1 \\x_{n+1}=\frac{3x_{n}+1}{2x_{n}+1}, n\geq 1 \end{cases}$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó

Ta cần chứng minh dãy số đã cho tăng và bị chặn trên bởi $\dfrac{3}{2}$.

1) Ta chứng minh dãy số đã cho tăng bằng quy nạp toán học. Ta có $x_2 = \dfrac{4}{3} > 1 = x_1$.

Hàm số $f(t)=\dfrac{3t+1}{2t+1}$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ nên nếu $x_n< x_{n+1}$ thì $x_{n+1}<x_{n+2}$. Ta có điều phải chứng minh

2) Dễ thấy $x_n>0, \forall n \geq 1$ và

$$x_{n+1}-\dfrac{3}{2} = \dfrac{-1}{2x_n+1} \leq 0,\quad \forall n \geq 1.$$

Vậy dãy $(x_n)$ bị chặn trên.

Từ 1) và 2) suy ra dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn là $a>0$. Trong $x_{n+1}=\frac{3x_{n}+1}{2x_{n}+1}$, cho $n \to + \infty$, ta có

$$a=\frac{3a+1}{2a+1} \Leftrightarrow a = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.$$

Vậy $\lim x_n = dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.$

Ta biết rằng

- hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$ là hàm số chẵn khi và chỉ khi $\begin{cases} x \in D \Leftrightarrow -x \in D \\ f(x)=f(-x), \forall x \in D \end{cases}$

- hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$ là hàm số lẻ khi và chỉ khi $\begin{cases} x \in D \Leftrightarrow -x \in D \\ f(x)=-f(-x), \forall x \in D \end{cases}$.

Dễ thấy hàm số đề bài cho có $D=(-\infty,-1)\cup (-1,+\infty)$ mà $1\in D$ nhưng $-1\notin D$. Vậy hàm số đã cho không chẵn cũng không lẻ.